23.2图形的变换 课件

师生活动

设计意图

一、创设情境，引入新课

提问：你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？

在学生回答的基础上，教师用计算机演示动画图片.

教师向学生说明：在生活中，我们经常见到钟表的指针、电风扇的扇叶、车轮等，在它们的转动过程中，就包含着我们今天要学习的数学知识----旋转变换.

通过举出与旋转现象有关的生活实例，加深学生对旋转的感性认识.

二、合作探究，学习新知

1．认识旋转变换

问题1：这些旋转现象有共同的特点吗？

学生先独立思考，然后与同桌进行交流，教师适时安排课件的动画演示，引导学生观察生活中的旋转现象，抽象出数学图形的旋转变换的特点.

学生回答问题后，教师引导其他学生修改、补充，总结出这些旋转现象的共同特点是“一个图形沿某个方向绕定点转动”.

问题2：你能尝试叙述一下“旋转变换”的概念吗?

引导学生类比“平移变换”的概念进行思考，在学生回答的基础上，修改、补充，达成共识后教师进行板书．

（板书）在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转变换，简称旋转．

问题3：你认为在旋转变换的概念中，哪些是关键的字词？

学生独立思考后进行回答，在其他学生补充后，教师指出：旋转变换的概念中三个重要的关键词----定点、方向、角度是影响旋转的重要因素，并结合多媒体课件演示介绍

和旋转变换有关的知识：

定点O称为旋转中心，

转动的角称为旋转角．

如果图形上的点A经过旋转到点A′，

那么这两个点叫做旋转的对应点．

问题4：钟表的指针在转动过程中，

其形状、大小是否发生改变？电风扇扇叶的转动呢？

学生就问题自由发言，发表自己的看法，最后达成共识．教师结合学生的发言指出：“旋转不改变图形的形状和大小”是对概念的进一步理解和认识，并进行板书.

2．探究旋转的性质

教师先用多媒体课件演示一个图形的旋转过程，

请学生观察后进行思考．

  观 察 

如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边

上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置．      图1

通过解决问题1，总结出旋转现象的特点.

通过解决问题2，抽象出旋转变换的概念.

通过解决问题3，抓住旋转变换概念中的关键词，认识旋转变换概念的本质．

通过解决问题4，进一步理解和认识了旋转变换概念的内涵.

  思 考 

（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？

（2）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置？

（3）请写出图中所有的旋转的对应点．

请学生利用教师提供的教具----三角形纸板，在实物投影上一边演示操作一边回答问题，其他同学给予补充．

学生明确了此图形中的“旋转中心、旋转角度和旋转的对应点”后，教师安排学生进行动手测量．

  测 量   

（1）每组对应点与旋转中心连线所成的角的度数.

（2）每组对应点与旋转中心所连线段的长度.

你有什么发现吗？

学生拿到下发的图形（图1），以小组为单位进行动手测量，并由各小组的代表进行汇报，师生共同总结得出：每组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，每组对应点到旋转中心的距离相等．

师生达成共识后，教师继续引导学生思考：是否可以将这个结论推广到一般情况呢？学生和教师一起借助课件的演示进行观察、分析和验证.

  推 广  （几何画板课件的演示）

如图，△ABC绕某一点O旋转一定角度后到达△A′B′C′的位置．① 观察图中对应点与旋转中心所连线段的长度的关系，每组对应点与旋转中心连线所成的角度的关系，上述结论是否成立？② 改变点O的位置，再对△ABC作旋转变换，上述结论是否仍然成立？

[来源:学+科+网]

在学生回答问题的基础上，教师引导学生对以上结论进行归纳.

  归 纳 旋转的性质：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

“探究旋转的性质”是本节课的难点，采用“观察—思考—测量—推广—归纳”的模式展开教学，引导学生深层次的参与知识的形成过程，加深对旋转性质的理解．

学生通过观察、分析和验证，经历从特殊到一般的认识过程，在丰富的活动中培养学生的思维能力.

三、应用知识，培养能力

[例1] 如图2，△ACB与△ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ACB以某个点为旋转中心，逆时针旋转一定角度后与△ADE重合.

（1）请指出其旋转中心与旋转角度；

（2）如果再将图2作为“基本图形”绕着

A点顺时针连续旋转组合得到图3，那么图3是

图2通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？        图2

学生在独立思考后发言、讨论，教师再通过激励性评价明确正误.

最后教师用动画把图3补充成一个漂亮的风车(图4)，用这个实例说明旋转与现实生活联系紧密，许多美丽的图案可以由旋转设计而成．

答案：（1）旋转中心是点A，旋转角度是45°；

（2）图3是图2绕着A点顺时针通过3次旋转组合得到的，旋转角度分别为90°、180°、270°．

图3                            图4

[例2] 请按照题目要求完成作图.

    （1）如图5，画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形．

分析：假设点B、A的对应点为B′、A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′=90°，CB′=CB，CA′=CA．

             图5                             图6

答案：见图6．

（2）如图7，△ABC绕点C顺时针旋转后，点B的对应点为点B′．试确定点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形．

分析：假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′=90°，CB′=CB，CA′=CA．

[

             图7                     图8

答案：见图8．

（3）如右图，△ABC绕点C顺时针旋转后，B的对应点为点B′．

试确定点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形．

    分析：假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′，CB′=CB，CA′=CA．

    解：① 联结CB′；

② 以AC为一边作∠ACF，使∠ACF =∠BCB′；

③ 在射线CF上截取CA′= CA；

④ 联结B′A′．

右下图中的△A′B′C就是△ABC绕点C按

顺时针旋转后的图形．

要求学生先独立画出图形再进行小组

交流，并请学生利用实物投影叙述作图过程.

然后请学生结合例2进行小结：如何按要求作

出简单平面图形旋转后的图形？在学生交流的基础

上，教师进行评价，师生达成共识：按题目要求找

到旋转中心、旋转方向、旋转角度和对应点是作图

的关键.

[拓展练习] 如图9，点O是六个正三角形

的公共顶点，这个图案可以看作是哪个“基本

图形”以点O为旋转中心经过怎样旋转组合得

到的？

请同学们以小组为单位进行探究，看哪个

小组得到的方案最多？

                                             图9

在小组讨论的基础上，请学生展示各种方案：

（1）图10和图11是分别以“等边三角形”、“折线”为基本图形，以点O为旋转中心顺时针旋转5次组合得到的，旋转角度分别为

60°、120°、180°、240°、300°．

图  10                    图  11

（2）图12和图13是分别以“一个内角为60°的菱形”、“一个底角为60°的等腰梯形”为基本图形，以点O为旋转中心顺时针旋转4次组合得到的，旋转角度分别为60°、120°、180°、240°．

图  12                    图  13

（3）其它答案：

通过例1的讲解，使学生巩固旋转的概念，并体会旋转与现实生活的紧密联系.

通过例2的教学，使学生在动手画图的过程中，理解旋转的性质，掌握有关画图的操作步骤，认识旋转图形的形成过程.

第（1）小题的设计目的是使学生会按题目给出的旋转方向、旋转角度画出旋转后的三角形.

第（2）小题是在第（1）小题的基础上，使学生能根据题目给出的一组对应点找到旋转中心、旋转方向和旋转角度，并画出旋转后的三角形.

第（3）小题是在第（2）题的基础上，当旋转角不再是特殊角、同时没有网格背景时，使学生能根据题目给出的一组对应点找到旋转中心、旋转方向和旋转角度，并画出旋转后的三角形．

“拓展练习”是一道开放性练习，通过这道题的分析和讲解，让学生多角度地认识旋转图形的形成过程，同时培养学生的观察能力和动手操作能力．

四、课堂小结，回顾知识

1．学生自己总结，并在班上交流

本节课——

我学会了……

使我感触最深的……

我感到最困难的是……

2．结合学生所述，教师给予指导：

① 正确理解旋转变换的概念及其基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．

② 生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多生活中的实际问题．

知识的小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行．

五、布置作业，巩固知识

1．基础题：课后习题第48页第1、2、3题．

2．实践题：        小小设计师

如下图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的“立体图形”!但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！

第1题是基础题，加深知识的巩固；第2题是实践题，供学有余力的学生完成，让学生在坐标系中尝试画出旋转后的图形，感受图形上点的坐标与图形旋转之间的关系，发展学生的形象思维能力和数形结合意识，为以后的教学埋下伏笔．