专题14 二次函数二——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案（教师版+学生版）

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华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题14 二次函数二
一、综合题
1．（2022九上·青田期中）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点.

（1）求直线BD的解析式；
（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（2022九上·莲都期中）已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由.
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（y﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围.
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（14，y1），D（34，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小.
3．（2022九上·定海期中）设抛物线y=(x-m)(x-n)（m、n是实数）.
（1）若m=2，n=1，求二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值；
（2）当m=-3，n=1时，已知抛物线y=(x+3)(x-1)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移a（a>0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求a的值；
（3）当0 4．（2022九上·南湖期中）如图，二次函数y1=-x2+bx+c的图象与一次函数y2的图象交于点A(a，1)，B(3，4).

（1）若y2的解析式为y2=32x-12，求点A的坐标和y1的函数表达式；
（2）在（1）的条件下若点P(m，0)是x轴上一点，过点P做直线l垂直x轴于点P，直线l与函数y1，y2交于点M，N，当线段MN=1时，求m的值；
（3）若点C(n，1)(n>a)是二次函数y1上的点，且AC=5，请直接写出二次函数y1的对称轴.
5．（2022九上·嘉兴期中）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB.

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度.
6．（2022九上·津南期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
7．（2022九上·浦江期中）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2022九上·舟山月考）如图，抛物线y=-x2+mx+n交x轴于点A(-2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在抛物线上，且S△AOM=2S△BOC，求点M的坐标．
9．（2022九上·新昌期中）已知菱形OABC的边长为5，且点A(3，4)，点E是线段BC的中点，过点A，E的抛物线y=ax2+bx+c与边AB交于点D，

（1）求点E的坐标；
（2）连接DE，将△BDE沿着DE翻折.
①当点B的对应点B'恰好落在线段AC上时，求点D的坐标；
②连接OB，BB'，若△BB'D与△BOC相似，请直接写出此时抛物线二次项系数a= .
10．（2022九上·舟山期中）已知抛物线y=ax2-3ax-4a与x轴交于A、B两点（A左B右），交y轴负半轴点C，P是第四象限抛物线上一点．

（1）若S△ABC=5，求a的值；
（2）若a=1，过点P作直线垂直于x轴，交BC于点Q，求线段PQ的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）直线AP交y轴于点M，直线BP交y轴于点N，求4OM+ONOC的值．
11．（2022九上·龙港期中）如图，抛物线y＝−x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D在射线CO上运动.

（1）求该抛物线的表达式和对称轴.
（2）过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝2OC，求点E的坐标.
（3）记抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长.
12．（2022·攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为-1，点M(1，m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0，1).

（1）求二次函数的表达式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由.

答案解析部分
1．【答案】（1）解：对于y=-x2+2x+3①，令x=0，则y=3，令y=-x2+2x+3=0，解得x=-1或3，
故点A、B、C的坐标分别为(-1，0)、(3，0)、(0，3)，
∵点D与点C关于x轴对称，故点D(0，-3)，
设直线BD的表达式为y=kx+b，则b=-30=3k+b，解得k=1b=-3，
故直线BD的表达式为y=x-3
（2）解：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y=-x+3，
设点P(x，-x2+2x+3)，则点H(x，-x+3)，
则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB=12×OB⋅OC+12×PH×OB=12×3×3+12×3×(-x2+2x+3+x-3)=-32x2+92x+92，
∵-32<0，故四边形BOCP面积存在最大值，当x=32时，四边形BOCP面积最大值为458，此时点P(32，154)；
（3）解：存在，理由：
①当∠PBD为直角时，如上图所示，
此时点P与点C重合，过点P的坐标为(0，3)；
②当∠PDB为直角时，
由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45°，
当∠PDB为直角时，即PD⊥BD，则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°，
故设直线PD的表达式为y=-x+t，
将点D的坐标代入上式得，-3=0+t，解得t=-3，
故直线PD的表达式为y=-x-3②，
联立①②并解得：x=3±332，
故点P的坐标为(3+332，-9+332)或(3-332，-9-332)，
综上，点P的坐标为(3+332，-9+332)或(3-332，-9-332)或(0，3).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用y=-x2+2x+3求出B、C的坐标，由点D与点C关于x轴对称可求出D坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可；
（2）连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H， 先求出直线BC解析式为y=-x+3， 设点P(x，-x2+2x+3)，则点H(x，-x+3)，则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB，据此求出关于x关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3） 分两种情况：①当∠PBD为直角时 ， ②当∠PDB为直角时，据此分别求解即可.
2．【答案】（1）解：点M在直线y＝4x+1上，理由：
∵点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，
得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）解：如图1，
直线y＝mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5），
又B在抛物线上，
∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，
解得b＝2，
二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（5，0），
由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）解：把A（5，0）代入y＝mx+5得，
0＝5m+5，
解得m＝﹣1，
∴y＝﹣x+5，
∵M（b，4b+1）在△AOB内部，
∴0 解得0＜b＜45，
当点C，D关于对称轴对称时，b＝14+342＝12，
∴0＜b＜12时，y1＞y2，
b＝12时，y1＝y2，
12＜b＜45，y1＜y2.
【知识点】一次函数的图象；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先求出顶点M的坐标，再代入y＝4x+1中检验即可；
（2）由y＝mx+5求出B（0，5） ，再将其代入y＝﹣（x﹣b）2+4b+1 中求出b值，即得y＝﹣（x﹣2）2+9， 从而求出A（5，0），由图象可知当x＜0或x＞5时，直线y＝mx+5的图象在y＝﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的上方，据此即得结论；
（3）由（2）可得y＝﹣x+5， 由M（b，4b+1）在△AOB内部， 可求出0＜b＜45， 当点C，D关于对称轴对称时可求出b＝12， 从而得出当0＜b＜12时，y1＞y2，当b＝12时，y1＝y2，当12＜b＜45，y1＜y2.

3．【答案】（1）解：将m=2，n=1代入y=(x-m)(x-n)，
得y=(x-2)(x-1)=x2-3x+2=(x-32)2-14，
则该二次函数的对称轴是x=32，且当x=32时，有最小值为-14；
（2）解：分为两种情况：
①如图，当C在B的左侧时，B，C是线段AD的三等分点，

∴AC=BC=BD，
∵抛物线向右平移a个单位，
∴AC=BD=a，
当y=0时，(x+3)(x-1)=0，
解得x1=-3，x2=1，
∵点A在点B的左侧，
∴A(-3，0)，B(1，0)，
∴AB=1-(-3)=4，
∴AC=BC=2，
∴a=2；
②同理，当C在B的右侧时，
∵AB=1-(-3)=4，
∴AB=BC=CD=4，
∴a=AB+BC=4+4=8；
（3）解：∵y=(x-m)(x-n)图象经过(0，p)，(1，q)两点，
∴p=mn，q=(1-m)(1-n)，
∴pq=mn(1-m)(1-n)，
=(m-m2)(n-n2)，
=[-(m-12)2+14][-(n-12)2+14]，
∵0 ∴0<-(m-12)2+14≤14，
∴0<-(n-12)2+14≤14，
∵m ∴m、n不能同时等于14，
∴0 【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将m=2与n=1代入y=（x-m）（x-n）可得该函数的解析式，进而将解析式配成顶点式，即可得出答案；
（2） 分为两种情况： ①如图，当C在B的左侧时，B，C是线段AD的三等分点 ，令解析式中的y=0算出对应的自变量的值可得点A、B的坐标，可得AB的长，据此即可求出答案； ②当C在B的右侧时， 同理可得AB的长，进而即可根据a=AB+BC算出答案；
（3）根据函数图象上的点的坐标特征可得p=mn，q=（1-m）（1-n），进而可表示出pq并配方成顶点式的乘积形式，由 0 4．【答案】（1）解：将A点坐标代入得：1=32a-12，解得：a=1，
∴A(1，1)，
将A、B点代入二次函数解析式得：
-12+b+c=1-32+3b+c=4，
解得：b=112c=-72，
∴二次函数解析式为：y1=-x2+112x-72.
（2）解：将x=m代入一次函数和二次函数解析式得：
y1=-m2+112m-72，y2=32m-12，
∵线段MN=1，
∴|y1-y2|=1，
即|-m2+112m-72-32m+12|=1，
∴-m2+4m-3=1或-m2+4m-3=-1，
解得：m1=2+2；m2=2-2；m3=m4=2.
（3）对称轴为x=6±132
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）将点B代入二次函数解析式得：
4=-9+3b+c，
则c=13-3b，
∵A(a，1)，C(n，1)(n>a)，在二次函数图象上，得c=13-3b，
∴a、n是方程-x2+bx+c=1的两个根，
根据韦达定理得，n+a=b，na=1-c=1-(13-3b)=3b-12，
∵AC=5，
∴n-a=5，
∵(n-a)2=(n+a)2-4an，
∴25=b2-4(3b-12)=b2-12b+48，
解得：b=6±13，
∴ 对称轴为直线x=6±132.
【分析】（1）将点A（a，1）代入y2的解析式，求出a的值，从而可得点A的坐标，将A、B两点的坐标分别代入y1=-x2+bx+c得出关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而求出y1的解析式；
（2）将x=m分别代入两个函数解析式算出y1与y2，根据MN=1可得 |y1-y2|=1， 求解得出m的值；
（3）将点B代入二次函数y1=-x2+bx+c得c=13-3b，根据二次函数与一元二次方程的关系，结合A、C两点的纵坐标相同可得A、C两点的横坐标是方程-x2+bx+c=1的解，根据一元二次方程根与系数的关系得n+a=b，na=1-c=3b-12，再结合AC=5可得n-a=5，进而利用完全平方公式变形可得关于字母b的方程，求解得b的值，最后根据抛物线的对称轴直线公式即可得出抛物线的解析式.
5．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x=2，
∴c=0，-b2=2，
则b=-4、c=0，
∴抛物线解析式为y=x2-4x
（2）解：设点B(a，a2-4a)，
∵y=x2-4x=(x-2)2-4，
∴点A(2，-4)，
则OA2=22+42=20、OB2=a2+(a2-4a)2、AB2=(a-2)2+(a2-4a+4)2，
①若OB2=OA2+AB2，则a2+(a2-4a)2=20+(a-2)2+(a2-4a+4)2，
解得a=2(舍)或a=52，
∴B(52，-154)，
则直线OB解析式为y=-32x，
当x=2时，y=-3，即P(2，-3)，
∴t=(-3+4)÷1=1；
②若AB2=OA2+OB2，则(a-2)2+(a2-4a+4)2=20+a2+(a2-4a)2，
解得a=0(舍)或a=92，
∴B(92，94)，
则直线OB解析式为y=12x，
当x=2时，y=1，即P(2，1)，
∴t=[1-(-4)]÷1=5；
③若OA2=AB2+OB2，则20=(a-2)2+(a2-4a+4)2+a2+(a2-4a)2，
整理，得：a3-8a2+21a-18=0，
a3-3a2-5a2+15a+6a-18=0，
a2(a-3)-5a(a-3)+6(a-3)=0，
(a-3)(a2-5a+6)=0，
(a-3)2(a-2)=0，
则a=3或a=2(舍)，
∴B(3，-3)，
∴直线OB解析式为y=-x，
当x=2时，y=-2，即P(2，-2)，
∴t=[-2-(-4)]÷1=2；
综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5
（3）解：∵⊙M为△AOB的外接圆，
∴点M在线段OA的中垂线上，
∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，
当t=1时，如图1，

由（2）知∠OAB=90°，
∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，
∵B(52，-154)，
∴M(54，-158)；
当t=5时，如图2，

由（2）知，∠AOB=90°，
∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，
∵B(92，94)、A(2，-4)，
∴M(134，-78)；
当t=2时，如图3，

由（2）知，∠OBA=90°，
∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，
∵A(2，-4)，
∴M(1，-2)；
则点M经过的路径长度为(54-1)2+(-158+2)2+(1-134)2+(-2+78)2=58+958=554.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将（0，0）代入y=x2+bx+c中可得c=0，根据对称轴为直线x=2可得b=-4，据此可得抛物线的解析式；
（2）设B（a，a2-4a），根据抛物线的解析式可得A（2，-4），由两点间距离公式表示出OA2、OB2、AB2，然后结合勾股定理求出a的值，得到点B的坐标，利用待定系数法求出直线OB的解析式，令x=2，求出y的值，得到点 P的坐标，进而可得t的值；
（3）由题意可得点M在线段OA的中垂线上，故当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OS中垂线上的一条线段，当t=1时，Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，据此可得点M的坐标；当t=5时，Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，利用中点坐标公式可得点M的坐标；当t=2时，Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，同理可得点M的坐标，然后结合两点间距离公式可求出点M经过的路径长度.
6．【答案】（1）解：将A(-1，0)，B(4，0)代入y=ax2+bx-4得
a-b-4=016a+4b-4=0
解得a=1b=-3
∴y=x2-3x-4，
对称轴为直线x=32
（2）解：过点P作PH∥y轴交直线AD于H

当x=0时，y=-4，
∴点C(0，-4)，
∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线，
∴D(3，-4)，
∵A(-1，0)，
∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，
设P(m，m2-3m-4)，则H(m，-m-1)，
∴PH=-m-1-(m2-3m-4)
=-m2+2m+3，
∴SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6，
当m=-42×(-2)=1时，SΔAPD最大为8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=ax2+bx-4求出a、b的值即可；
（2）过点P作PH∥y轴交直线AD于H，先求出直线AD的解析式y=-x-1，设P(m，m2-3m-4)，则H(m，-m-1)，再求出SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6，最后利用二次函数的性质求解即可。
7．【答案】（1）解：由题意得
c=0-16+4b+c=0
解之：b=4c=0
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+4x
（2）解：如图，


∵点A（4，0），点B（0，4），
∴设直线AB的函数解析式为y=kx+4
∴4k+4=0，
解之：k=-1，
∴直线AB的解析式为y=-x+4；
设点N（m，-m2+4m），点M（m，-m+4）
∵点M是线段AB上的一点，
∴0＜m＜4，
MN=|-m2+4m-（-m+4）|=|-m2+5m-4|=2
∴-m2+5m-4=±2，
当-m2+5m-4=2时，
解之：m1=3，m2=2，
当m=3时-m+4=1；
当m=2时-m+4=2；
∴点M（2，2）或（3，1）；
当-m2+5m-4=-2，
解之：m3=5-172，m4=5+172>4（舍去），
∴-m+4=-5-172+4=3+172
∴点M（ 5-172 ， 3+172 ）
满足条件的点M的坐标有三个（ 5-172 ， 3+172 ）或（2，2）或（3，1）
（3）解：存在
当AC为矩形的边时，

∵-x2+4x=-x+4
解之：x1=4，x2=1，
当x=1时y=-1+4=3，
∴点C（1，3），
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴点D（2，4）
当x=2时y=-2+4=2，
∴点R（2，2）
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD2＝（1-2）2＋(4−3)2＝2，CR2＝1，RD＝2，
∴CD2＋CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P1与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），
此时直线P1C的解析式为：y＝x＋2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），
∴直线P2A的解析式为：y＝x−4，
∵点P2是直线y＝x−4与抛物线y＝−x2＋4x的交点，
∴−x2＋4x＝x−4，
解之：x1＝−1，x2＝4（舍），
∴P2（−1，−5），
当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P2（−1，−5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（−4，−2）；
当AC是矩形的对角线时，

设P3（m，−m2＋4m）
当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴P3KCK＝AHP3H
∴-m2＋4m-3m-1＝4-m-m2＋4m，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴−m2−3m＋1＝0，
∴m=3±52，
∴如图，满足条件的点P有两个，即P33+52，5+52，P43-52，5-52


当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，
∵P33+52，5+52向左平移-1+52个单位，向下平移-1+52个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移1+52个单位，向下平移-1+52个单位得到Q37-52，1-52
当P4C∥AQ4，P4C＝AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P43-52，5-52向右平移-1+52个单位，向上平移1+52个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移-1+52个单位，向上平移1+52个单位得到Q47+52，1+52
∴点Q的坐标为（5，1）或（﹣4，﹣2）或（ 7-52 ， 1-52 ）或（ 7+52 ， 1+52 ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A和点O的坐标代入，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式.
（2）利用待定系数法及点A，B的坐标求出直线AB的函数解析式，设点N（m，-m2+4m），点M（m，-m+4），同时可得到m的取值范围，利用MN=2可得到关于m的方程为：|-m2+5m-4|=2，解方程求出符合题意的m的值，可得到点M的坐标.
（3）分情况讨论：当AC为矩形的边时，将两函数解析式联立方程组，可求出点C，D，R的坐标；过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，利用勾股定理的逆定理证明∠RCD=90°，可知点P1与点D重合；当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，利用点的坐标平移规律可得到点P1，Q1的坐标，同时可求出直线P1C的解析式和直线P2A的解析式，再求出点P2的坐标，当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，利用点的坐标平移规律，可得到点Q2的坐标；AC是矩形的对角线时，设P3（m，−m2＋4m），当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，易证△P3CK∽△AP3H，利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到满足条件的点P的坐标；当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，利用点的坐标平移规律可求出点Q3及点Q4的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
8．【答案】（1）解：把 A(-2，0)，C(0，2) 代入抛物线的解析式 y=-x2+mx+n ，
得 -4-2m+n=0n=2 ，解得 m=-1n=2 ，
∴抛物线的解析式为 y=-x2-x+2
（2）解：由（1）知，该抛物线的解析式为 y=-x2-x+2 ，
令 y=0 ，则 y=-x2-x+2=0 ，
解得： x1=-2，x2=1 ，
∴B(1，0) ，
设 M(m，-m2-m+2) 然后依据 S△AOM=2S△BOC 列方程可得：
12⋅AO×|-m2-m+2|=2×12×OB×OC=2 ，
∴m2+m=0 或 m2+m-4=0 ，
解得 x=0 或 -1 或 -1+172 或 -1-172 ，
∴符合条件的点M的坐标为： (0，2) 或 (-1，2) 或 (-1+172，-2) 或 (-1-172，-2) ．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，设M（m，-m2-m+2），利用三角形的面积公式列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案.
9．【答案】（1）解：∵菱形OABC的边长为5，且点A(3，4)，
∴B(8，4)，C(5，0)，
∴E(xB+xC2，yB2)，即E(132，2)；
（2）解：①设直线AC解析式为y=kx+m(k≠0)，
∴4=3k+m0=5k+m，解得：k=-2m=10，
∴直线AC解析式为y=-2x+10.
设B'(x，-2x+10)，
由折叠性质可知BE=B'E，
∵BE2=(xB-xE)2+(yB-yE)2=(8-132)2+(4-2)2=254，B'E2=(xB'-xE)2+(yB'-yE)2=(x-132)2+(-2x+10-2)2，
∴(x-132)2+(-2x+10-2)2=254，
解得：x1=4，x2=5，
∴B'(4，2)或(5，0).
设D(t，4)，
同理由BD=B'D可得(t-4)2+4=(8-t)2或(t-5)2+16=(8-t)2，
解得t=112或t=236，
∴D(112，4)或D(236，4)；
②-47
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（2）②由折叠的性质可知△BB'D和△BB'E为等腰三角形，
∴∠DB'B=∠DBB'，∠EB'B=∠EBB'.
由菱形的性质可知△BOC为等腰三角形，
∵△BB'D与△BOC相似，
∴∠DBB'=∠CBO，
∴点B'在BO上，
∴∠DB'B=∠DBB'=∠EB'B=∠EBB'，
∴BD∥EB'，B'D∥EB，
∴四边形B'DBE为平行四边形.
∵B'D=BD，
∴平行四边形B'DBE为菱形，
∴BD=BE=(xB-xE)2+(yB-yE)=52，
∴D(112，4).
将A(3，4)，D(112，4)，E(132，2)代入y=ax2+bx+c，
得：4=9a+3b+c4=(112)2a+112b+c2=(132)2a+132b+c，解得：a=-47.
故答案为：-47.
【分析】（1）根据菱形的性质并结合点A的坐标可得出B，C的坐标，由中点坐标公式可求出E点坐标；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝−2x＋10，根据直线上的点的坐标特点设出点B'的坐标，根据翻折的性质得BE=B'E，利用平面内两点间的距离公式分别表示出BE2及B'E2，从而建立方程，求解可得x的值，从而可得点B'的坐标，设D（d，4），由BD＝B'D可得t的方程，则D点坐标可求出；
②由题意可得若△BB'D与△BOC相似，△BB'D是等腰三角形，则点B′恰好落在线段OB上，证出平行四边形B'DBE为菱形，则BD＝BE，根据平面内两点间的距离公式可算出BE的长，可得点D的坐标，由物线y＝ax2＋bx＋c过点A，E，D三点，由待定系数法可求出a的值．
10．【答案】（1）解：令 y=0 ，得 ax2-3ax-4a=0 ，解得： x1=-1 ， x2=4 ．
∵y=ax2-3ax-4a 与x轴交于 AB 两点（A左B右），与y轴交于点C，
∴A（-1，0） ， B（4，0） ， C（0，-4a） ， AB=5 ，
∵S△ABC=5 ， S△ABC=12×AB×OC=12×5×4a=5 ，
解得： a=12 ；
（2）解：当 a=1 时，抛物线为 y=x2-3x-4 ，
将点 B（4，0） 、 C（0，-4） 的坐标代入一次函数表达式可求得：
直线 BC 的表达式为： y=x-4 ，
设点 P（t，t2-3t-4） ，则点 Q（t，t-4） ，
∴PQ=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2＋4t=-（t-2）2＋4 ，
∴当 t=2 时， PQ 有最大值4，此时点 P（2，-6） ；
（3）解：由（1）知： A（-1，0） 、 B（4，0） 、 C（0，-4a） ，
设点 P（m，am2-3am-4a） ，
将点P、A的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 PA 的表达式为： y=a（m-4）x+a（m-4） ，
故 OM=-a（m-4） ，
同理，直线 BP 为 y=a（m＋1）x-4a（m＋1） ， ON=4a（m+1） ，
∴4OM＋ON=-4a（m-4）＋4a（m＋1）=20a ，
∵C（0，-4a） ，
∴OC=4a ，
∴4OM+ONOC=20a4a=5 ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，同时求出AB的长；然后利用△ABC的面积为5，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）将a=1代入方程，可得到函数解析式，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用两函数解析式点 P（t，t2-3t-4） ，则点 Q（t，t-4） ，可表示出PQ的长，将PQ与x的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出PQ的最大值及点P的坐标.
（3）设点 P（m，am2-3am-4a） ，利用待定系数法求出直线PA的函数解析式，可表示出OM的长；同理可求出直线BP的函数解析式，可得到ON的长；再表示出4OM+ON及OC的长；然后代入可求出 4OM+ONOC的值.
11．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴-1-b+c=0-9+3b+c=0
解得b=2c=3，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣22×(-1)＝1；
（2）解：设点E（m，﹣m2+2m+3），（m＜0），
∴由轴对称性得FE＝2（1﹣m）＝2﹣2m，C（0，3），
∴OC＝3，
∵EF＝2OC，
∴2﹣2m＝6，
解得m＝−﹣2，
∴E（﹣2，﹣5）；
（3）解：当点P到x轴的距离等于1时，点P的纵坐标为1或﹣1，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点为（1，4），
∴点E，F（点E在点F的左侧）的纵坐标为52或32，
当y＝52时，﹣x2+2x+3＝52，
解得x＝2±62，
∴EF＝2+62﹣2-62＝6；
当y＝32时，﹣x2+2x+3＝32，
解得x＝2±102，
∴EF＝2+102﹣2-102＝10.
综上所述，线段EF的长为6或10.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点 A（﹣1，0），点B（3，0）分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c可得关于未知数b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而即可得出抛物线的解析式，进而根据对称轴直线公式算出其对称轴直线；
（2）根据抛物线上的点的坐标特点设 点E（m，﹣m2+2m+3），（m＜0） ，根据抛物线的对称轴，可得EF长度应该是点E横坐标绝对值的2倍，据此可表示出EF的长，利用抛物线的解析式易得点C的坐标，从而得出OC的长，进而根据EF=2OC，列出方程，求解即可可得m的值，从而即可求出点E的坐标；
（3） 当点P到x轴的距离等于1时，点P的纵坐标为1或﹣1， 将抛物线的解析式配成顶点式可得其顶点坐标，根据对称性可得 点E，F（点E在点F的左侧）的纵坐标为52或32， 然后分两种情况将y的值代入抛物线的解析式算出对应的自变量的值，从而即可求出EF的长度.
12．【答案】（1）解：∵二次函数的最小值为-1，点M(1，m)是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为(1，-1)，
设二次函数解析式为y=a(x-1)2-1，
将点O(0，0)代入得，a-1=0，
∴a=1，
∴y=(x-1)2-1=x2-2x；
（2）解：如图，连接OP，

当y=0时，x2-2x=0，
∴x=0或2，∴A(2，0)，
∵点P在抛物线y=x2-2x上，
∴点P的纵坐标为t2-2t，
∴S=S△AOB+S△OAP-S△OBP
=12×2×1+12×2(-t2+2t)-12t
=-t2+32t+1；
（3）解：N(1，-1)或(3，3)或(-1，3).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（3）解：设N(n，n2-2n)，
当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0=1+n，∴n=1，∴N(1，-1)，
当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1=n+0，∴n=3，∴N(3，3)，
当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n=0+1，∴n=-1，∴N(-1，3)，
综上：N(1，-1)或(3，3)或(-1，3).
【分析】（1）根据题意易得抛物线的顶点坐标为（1，-1），设出抛物线的顶点式，进而将（0，0）代入可算出二次项的系数a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）令解析式中的y=0算出对应的自变量的值，从而即可得出点A的坐标，根据抛物线上的点的坐标特点，表示出点P的坐标，进而根据S=S△AOB+S△OAP-S△OBP建立出S与t的函数关系式；
（3）根据抛物线上的点的坐标特点，表示出点N的坐标，然后分当AB为对角线，AM为对角线及AN为对角线，三种情况，分别根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式建立方程，求解即可求出n的值，从而求出点N的坐标.