还剩9页未读，
继续阅读
所属成套资源：2023年高考数学二轮复习专项训练
成套系列资料，整套一键下载
2023高考数学复习专项训练《点斜式方程》
展开
这是一份2023高考数学复习专项训练《点斜式方程》，共12页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）若集合A={x∣y=12-x},B={x∈N∣x2-5x-6<0}，则A∩B中元素的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.（5分）函数f(x)=ax+lnx(a∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为( )
A. eB. 1C. -1D. 0
3.（5分）若存在函数f(x)=x2+2x+9，想求解出f(x)的图象与直线x=2，x=3和x轴围成的面积，我们可以将f(x)转化为F(x)=13x3+x2+9x+a”(其中a为任意常数)，用“F(3)-F(2)”表示“f(x)的图象与直线x=2，x=3和x轴围成的面积”．不难发现“F'(x)=f(x)”，我们称F(x)为f(x)的“面积函数”．那么函数g(x)=ex(5x+7)的图象与直线x=2，x=3和x轴围成的面积是()
A. 11e3-8e2B. 22e3-17e2
C. 19e3-e2D. 17e3-12e2
4.（5分）过曲线y=f(x)=x1-x图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线，则当Δx=0.5时割线的斜率为( )
A. 13B. 23C. 1D. -53
5.（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是增函数的是( )
A. y=x12B. y=ln|x|C. y=x|x|D. y=-x2
6.（5分）下列命题中的假命题是( )
A. ∀x∈R，2x-1>0 B. ∀x∈N *，(x-1)2>0
C. ∃x0∈R，lg x0<1 D. ∃x0∈R，tan x0=2
7.（5分）函数y=sinxtanx(0A. B.
C. D.
8.（5分）函数f(x)=(3sinx+csx)(3csx-sinx)的最小正周期是( )
A. π2B. πC. 3π2D. 2π
9.（5分）函数y=sin(2x+π6)的图象可由函数y=3sin2x-cs2x的图象( )
A. 向右平移π3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到
B. 向右平穆π6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到
C. 向左平移π3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12横坐标不变得到
D. 向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12横坐标不变得到
10.（5分）已知单位向量a→，b→的夹角为3π4，若向量m→=2a→，n→=4a→-λb→，且m→⊥n→，则|n→|=( )
A. -2B. 2C. 4D. 6
11.（5分）下列说法错误的是( )
A. 命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1<0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1⩾0”
B. 命题“若x2-4x+3=0，则x=3”的否命题是真命题
C. 若p∧q为假命题，则p∨q为假命题
D. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
12.（5分）在ΔABC中，已知a，b，c成等差数列，∠B=30°，ΔABC的面积为32，则b=( )
A. 1+3B. 2+3C. 1+32D. 2+32
13.（5分）由曲线y=x3，y=x围成的封闭图形的面积为( )
A. 512B. 13C. 14D. 12
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）sin20°cs10°-cs160°sin10°=______．
15.（5分）已知函数f(x)=sin2x+23sinxcsx+sin(x+π4)sin(x-π4)，若x=x0(0⩽x0⩽π2)为函数f(x)的一个零点，则cs2x0=______．
16.（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示：则函数f(x)的解析式为______．
17.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(0<ω<8,|ϕ|<π2)，若f(x)满足f(3π16)+f(11π16)=2，则下列结论正确的是______．
①函数f(x)的图象关于直线x=3π16对称②函数f(x)的图象关于点(7π16,0)对称
③函数f(x)在区间[-π16,π16]上单调递增④存在m∈(0,5π8]，使函数f(x+m)为偶函数
18.（5分）已知直线l与曲线y=x3-6x2+14x-11相交，交点依次为A，B，C，且|AB|=|BC|=10，则直线l的方程为______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知 sinα=k ，csα=1-k，则实数k的值为__________.
20.（12分）(1)设全集U={ x|x⩽4}，集合A={ x|x2-x-6<0}，集合B={ x|-3(2)当tanα=3，求sinα+csαsinα-csα，cs2α-3sinαcsα的值．
21.（12分）已知函数f(x)=cs2(x2-5π12)+3sin(x2+π12)cs(x2+π12)-12．
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且c=3，f(π2-C)=12，若向量 m=(1,sinA)，n→=(2,sinB)共线，求三角形ABC的面积．
22.（12分）已知函数f(x)=sin(2x-π6)+cs2x.
(Ⅰ)若f(θ)=1，求sinθ⋅csθ的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间；
(Ⅲ)若x∈[π4,π]，求f(x)的取值范围．
23.（12分）已知函数f(x)=ax+lnx+1．
(Ⅰ)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)对任意的x>0，不等式f(x)⩽ex恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】因为A={x|y=12-x}={x|2-x>0}={x|x<2}，B={x∈N|
x2-5x-6<0}={x∈N|-12.【答案】C;
【解析】
求出原函数的导函数，得到f'(1)，再求出f(1)，得到切线方程，取x=0得答案．
此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
解：由f(x)=ax+lnx，得f'(x)=a+1x，
则f'(1)=a+1，
又f(1)=a，
∴函数f(x)=ax+lnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-a=(a+1)(x-1)，
取x=0，可得y=-1．
∴函数f(x)=ax+lnx的图象在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为-1．
故选：C．
3.【答案】D;
【解析】解：由题意，不妨设G(x)=ex(ax+b)，其中G'(x)=g(x)=ex(5x+7)，
∴G'(x)=ex[ax+b+a]，
∴{a=5b+a=7，解得{a=5b=2，
∴G(x)=ex(5x+2)，∴G(3)-G(2)=17e3-12e2，
∴函数g(x)=ex(5x+7)的图象与直线x=2，x=3和x轴围成的面积是17e3-12e2.
故选：D.
由导数的运算法则及新定义下的面积计算公式即可求解．
此题主要考查定积分的运算，考查导数性质、定积分性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B;
【解析】
由题意，当Δx=0.5时，2+Δx=2.5，代入函数式求得-2+Δy，由斜率公式可得．
该题考查了变化率的应用，斜率公式的运用，属于基础题．
解：当Δx=0.5时，2+Δx=2.5，
故-2+Δy=2.51-2.5=-53，
故k=-53--22.5-2=23．
故选B．
5.【答案】B;
【解析】略
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查含有量词的命题的真假判断， 比较基础.
根据含有量词的命题的真假判断方法进行判断即可.
解：对于A，∀x∈R，2x-1>0， 正确；
对于B，当x=1时，(x-1)2=0，此时∀x∈N*，(x-1)2>0错误；
对于C， 当0对于D， y=tanx的值域为R，∴∃x0∈R，tanx0=2正确，
故选： B .
7.【答案】A;
【解析】解：因为y=sinxtanx(0所以函数y=csx(0故选A．
结合余弦函数的图象，进而画出函数y=sinxtanx(0此题主要考查三角函数的图象，注意函数的定义域，是基础题．
8.【答案】B;
【解析】
该题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
解：函数f(x)=(3sinx+csx)(3csx-sinx)=2sinxcsx+3(cs2x-sin2x)=sin2x+3cs2x=2sin(2x+π3)，
∴T=π，
故选B．
9.【答案】D;
【解析】解：把函数y=3sin2x-cs2x=2sin(2x-π6)的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin(2x+π6) 的图象；
再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到函数y=sin(2x+π6)的图象，
故选：D．
利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换规律，得出结论．
此题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换规律，属于基础题．
10.【答案】C;
【解析】解：单位向量a→，b→的夹角为3π4，∴a→.b→=cs3π4=-22．
∵向量m→=2a→，n→=4a→-λb→，且m→⊥n→，
∴m→⋅n→=2a→⋅(4a→-λb→)=8a2→-2λa→.b→=0，
∴8-2λ×(-22)=0，解得λ=-42．
则|n→|=16a2→+32b2→+322a→.b→=4．
故选：C．
单位向量a→，b→的夹角为3π4，可得a→.b→=cs3π4=-22.由向量m→=2a→，n→=4a→-λb→，且m→⊥n→，可得m→⋅n→=2a→⋅(4a→-λb→)=0，解得λ.进而得出．
此题主要考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】C;
【解析】解：命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1<0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1⩾0”，所以A正确；
命题“若x2-4x+3=0，则x=3”的否命题是“若x2-4x+3≠0，则x≠3”，是真命题，所以B正确；
若p∧q为假命题，则p，q至少一个是假命题，当两个命题都是假命题时，p∨q才为假命题，所以C不正确；
若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，所以D正确；
故选：C．
利用命题的否定形式判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；充要条件判断D的正误；
该题考查命题的逆否关系的应用，涉及充要条件以及复合命题的真假的判断．是基本知识的考查．
12.【答案】A;
【解析】解：在ΔABC中，已知a，b，c成等差数列，∴2b=a+c ①．
再由，∠B=30°，ΔABC的面积为32，可得，解得 ac=6 ②．
再由余弦定理可得csB=a2+c 2-b 22ac=32 ③．
由①②③可得a2+c 2-b 22ac=3b2-1212=32，解得b=1+3，
故选A．
由a，b，c成等差数列可得2b=a+c结合B=30°而要求b故不能采用正弦定理而采用余弦定理即csB=a2+c 2-b 22ac=32，再利用面积公式可得12acsinB=32然后代入化简即可求值．
这道题主要考查了求解三角形．求b可利用余弦定理还是利用正弦定理关键是要分析题中所获得的条件：2b=a+c，ac=6.而这两个条件在正弦定理中是体现不出来的，故采用余弦定理，同时在求解的过程中用到了配方变形这一技巧！属于中档题．
13.【答案】A;
【解析】
本主要题考查利用定积分求封闭图形的面积．
可先把所求面积用定积分表示，再求解即可.
解：由题知封闭图形的面积为01(x-x3)dx=(23x32-14x4)|01=512.
故选A.
14.【答案】12;
【解析】解：sin20°cs10°-cs160°sin10°=sin20°cs10°+cs20°sin10°
=sin(20°+10°)=12，
故答案为：12．
由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式化简所给的式子，可的结果．
这道题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，属于基础题．
15.【答案】35+18;
【解析】
先根据三角函数的化简得到f(x)=2sin(2x-π6)+12，再根据函数零点得到sin(2x0-π6)=-14，利用同角的三角形函数的关系和两角和的余弦公式即可求出．
此题主要考查额三角函数的化简，重点掌握二倍角公式，两角和的正弦和余弦公式，以及函数零点的问题，属于中档题．
解：函数f(x)=sin2x+23sinxcsx+sin(x+π4)sin(x-π4)=12-12cs2x+3sin2x-12cs2x=3sin2x-cs2x+12=2sin(2x-π6)+12，
令f(x0)=0，
∴2sin(2x0-π6)+12=0，
∴sin(2x0-π6)=-14
∵0⩽x0⩽π2，
∴-π6⩽2x0-π6⩽5π6，
∴cs(2x0-π6)=1-116=154，
∴cs2x0=cs(2x0-π6+π6)=cs(2x0-π6)csπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=154×32+14×12=35+18，
故答案为35+18．
16.【答案】f（x）=2sin（π8x+π4）;
【解析】解：由图象得到f(x)的最大值为2，周期为16，且过点(2,2)
所以A=2，
又T=2πω=16，
所以ω=π8，
将点(2,2)代入f(x)，|ϕ|<π2．
得到ϕ=π4，
所以f(x)=2sin(π8x+π4)
故答案为f(x)=2sin(π8x+π4)．
由图象得到f(x)的最大值为2，周期为16，且过点(2,2)，然后利用三角函数的周期公式求出函数的解析式．
本题是基础题，考查由y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．
17.【答案】①③④;
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的周期为：T，由已知条件f(x)满足f(3π16)+f(11π16)=2，可得nT=11π16-3π16=π2.n∈N+，
所以T=π2n=2πω，∴ω=4n，又0<ω<8，∴ω=4，f(x)=sin(4x+ϕ)，代入x=3π16，又|ϕ|<π2，ϕ=-π4，
所以f(x)=sin(4x-π4)，①x=3π16时，y=1，所以函数f(x)的图象关于直线x=3π16对称，正确；
②x=7π16时，y=-1，函数f(x)的图象关于点(7π16,0)对称，不正确；
③函数f(x)在区间[-π16,π16]上单调递增，正确；
④存在m∈(0,5π8]，使函数f(x+m)为偶函数，m=3π16时，函数f(x+m)化为y=cs4x是偶函数，正确．
故答案为：①③④．
利用已知条件求出函数的解析式，然后判断函数的对称性，单调性奇偶性即可．
该题考查命题的真假的判断，三角函数的解析式的求法，函数的图象与性质的应用，是中档题．
18.【答案】y=3x-5;
【解析】解：f'(x)=3x2-12x+14，∴f″(x)=6x-12，
令f″(x)=0得x=2，代入原曲线得y=1，
又f'(x)>0恒成立，所以B(2,1)为曲线的对称中心，且|AC|=210．
设l的方程为y=k(x-2)+1……①
与y=x3-6x2+14x-11联立消去y得：x3-6x2+14x-11=k(x-2)+1……②
整理得(x-2)(x2-4x+6-k)=0，
所以x-2=0或x2-4x+6-k=0，
显然A，C两点的横坐标是x2-4x+6-k=0的两根，设为x1，x2，
所以x1+x2=4，x1x2=6-k，
则1+k2×(x1+x2)2-4x1x2=1+k2×16-4×(6-k)=210，解得k=3，
代入①得直线l的方程为：y=3x-5．
故答案为：y=3x-5．
由|AB|=|BC|=10可知，B是A，C两点的中点，由此联想到B是y=x3-6x2+14x-11的对称中心，然后对y=x3-6x2+14x-11求二阶导数，求出零点即为对称中心的横坐标，然后设出所求直线方程的点斜式，与曲线方程联立化简，最后借助于韦达定理及弦长公式求出斜率．
该题考查了利用导数研究函数的性质的基本思路．本题的关键在于，由|AB|=|BC|=10发现B是A、C的中点，并进一步分析出，B即为原函数的对称中心．同时在解方程②时，关键是将方程凑成关于(x-2)的式子．本题难度较大．
19.【答案】0或1;
【解析】略
20.【答案】解：（1）由题意可知，A={x|-2＜x＜3}，则∁UA=（-∞，-2]∪[3，4]，
所以，（∁UA）∩B={x|-3＜x≤-2，x=3}．
（2）因为tanα=3，
由题意可知，sinα+csαsinα-csα=tanα+1tanα-1=3+13-1=2；
因为cs2α-3sinαcsα=cs2α-3sinαcsαsin2α+cs2α=1-3tanαtan2α+1，且tanα=3，
所以，原式=1-3×332+1=-45．;
【解析】
(1)求出A与B中不等式的解集确定出A与B，由全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．
(2)利用同角三角函数基本关系式化简所求，结合已知即可得解．
此题主要考查了交、并、补集的混合运算，考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：（1）函数f（x）=cs2（x2-5π12）+3sin（x2+π12）cs（x2+π12）-12
=1+cs(x-5π6)2+32sin（x+π6）-12
=32sin（x+π6）-12cs（x+π6）
=sin（x+π6-π6）
=sinx，
所以f（x）的单调递增区间是[2kπ-π2，2kπ+π2]，k∈Z．
（2）由题意知，f（π2-C）=sin（π2-C）=csC=12，
又C∈（0，π），所以C=π3；
又c=3，由余弦定理得，
c2=a2+b2-2abcsπ3=a2+b2-ab=3；
由向量m→=（1，sinA），n→=（2，sinB）共线，
则sinB-2sinA=0，由正弦定理得b-2a=0，即b=2a；
所以a2+b2-ab=a2+4a2-2a2=3a2=3，
解得a=1，b=2，
所以△ABC的面积为
S△ABC=12absinC=12×1×2×sinπ3=32．;
【解析】
(1)利用三角恒等变换化简函数f(x)，再求出f(x)的单调递增区间；
(2)由题意求出C的值，再利用余弦定理和向量共线以及正弦定理求得a、b的值，即可计算ΔABC的面积．
本题看出来三角函数的图象与性质的应用问题，也看出来正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．
22.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（2x-π6）+cs2x=3sinxcsx-12•（2cs2x-1 ）+cs2x=3sinxcsx+12，
∵f（θ）=3sinθcsθ+12=1，求sinθ•csθ=36．
（Ⅱ）函数f（x）=3sinxcsx+12=32sin2x+12，令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2，
求得kπ-π4≤x≤kπ+π2，可得f（x）的单调增区间为[kπ-π4，kπ+π2]，k∈Z．
（Ⅲ）若x∈[π4，π]，则2x∈[π2，2π]，则sin2x∈[-1，1]，32sin2x∈[-32，32]，
∴f（x）∈[1-32，1+32]．;
【解析】
(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换，求出sinθ⋅csθ的值．
(Ⅱ)由题意利用正弦函数的单调性，求出函数f(x)的单调增区间．
(Ⅲ)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出f(x)的取值范围．
此题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）x＞0f（x）=-x+lnx+1，∴f'(x)=1-xx
令f'（x）＞0，得0＜x＜1；令f'（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），
（Ⅱ）不等式ax+lnx+1≤ex恒成立，等价于a≤ex-lnx-1x在（0，+∞）恒成立，
令g(x)=ex-lnx-1x，x＞0，g'(x)=(x-1)ex+lnxx2，
令h（x）=（x-1）ex+lnx，x＞0，h'(x)=xex+1x＞0，
所以h（x）在（0，+∞）单调递增，而h（1）=0，
所以x∈（0，1）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）单调递减；
x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，g（x）单调递增；
所以在x=1处g（x）取得最小值g（1）=e-1
所以a≤e-1，即实数a的取值范围是{a|a≤e-1}．;
【解析】
(Ⅰ)a=-1，求出函数的导数，利用导函数的符号．即可求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)对任意的x>0，不等式f(x)⩽ex恒成立，转化为：a⩽ex-lnx-1x在(0,+∞)恒成立，构造函数，利用导数求解函数的最小值，即可求实数a的取值范围．
此题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）若集合A={x∣y=12-x},B={x∈N∣x2-5x-6<0}，则A∩B中元素的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.（5分）函数f(x)=ax+lnx(a∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为( )
A. eB. 1C. -1D. 0
3.（5分）若存在函数f(x)=x2+2x+9，想求解出f(x)的图象与直线x=2，x=3和x轴围成的面积，我们可以将f(x)转化为F(x)=13x3+x2+9x+a”(其中a为任意常数)，用“F(3)-F(2)”表示“f(x)的图象与直线x=2，x=3和x轴围成的面积”．不难发现“F'(x)=f(x)”，我们称F(x)为f(x)的“面积函数”．那么函数g(x)=ex(5x+7)的图象与直线x=2，x=3和x轴围成的面积是()
A. 11e3-8e2B. 22e3-17e2
C. 19e3-e2D. 17e3-12e2
4.（5分）过曲线y=f(x)=x1-x图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线，则当Δx=0.5时割线的斜率为( )
A. 13B. 23C. 1D. -53
5.（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是增函数的是( )
A. y=x12B. y=ln|x|C. y=x|x|D. y=-x2
6.（5分）下列命题中的假命题是( )
A. ∀x∈R，2x-1>0 B. ∀x∈N *，(x-1)2>0
C. ∃x0∈R，lg x0<1 D. ∃x0∈R，tan x0=2
7.（5分）函数y=sinxtanx(0
C. D.
8.（5分）函数f(x)=(3sinx+csx)(3csx-sinx)的最小正周期是( )
A. π2B. πC. 3π2D. 2π
9.（5分）函数y=sin(2x+π6)的图象可由函数y=3sin2x-cs2x的图象( )
A. 向右平移π3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到
B. 向右平穆π6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到
C. 向左平移π3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12横坐标不变得到
D. 向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12横坐标不变得到
10.（5分）已知单位向量a→，b→的夹角为3π4，若向量m→=2a→，n→=4a→-λb→，且m→⊥n→，则|n→|=( )
A. -2B. 2C. 4D. 6
11.（5分）下列说法错误的是( )
A. 命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1<0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1⩾0”
B. 命题“若x2-4x+3=0，则x=3”的否命题是真命题
C. 若p∧q为假命题，则p∨q为假命题
D. 若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
12.（5分）在ΔABC中，已知a，b，c成等差数列，∠B=30°，ΔABC的面积为32，则b=( )
A. 1+3B. 2+3C. 1+32D. 2+32
13.（5分）由曲线y=x3，y=x围成的封闭图形的面积为( )
A. 512B. 13C. 14D. 12
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）sin20°cs10°-cs160°sin10°=______．
15.（5分）已知函数f(x)=sin2x+23sinxcsx+sin(x+π4)sin(x-π4)，若x=x0(0⩽x0⩽π2)为函数f(x)的一个零点，则cs2x0=______．
16.（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图所示：则函数f(x)的解析式为______．
17.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(0<ω<8,|ϕ|<π2)，若f(x)满足f(3π16)+f(11π16)=2，则下列结论正确的是______．
①函数f(x)的图象关于直线x=3π16对称②函数f(x)的图象关于点(7π16,0)对称
③函数f(x)在区间[-π16,π16]上单调递增④存在m∈(0,5π8]，使函数f(x+m)为偶函数
18.（5分）已知直线l与曲线y=x3-6x2+14x-11相交，交点依次为A，B，C，且|AB|=|BC|=10，则直线l的方程为______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知 sinα=k ，csα=1-k，则实数k的值为__________.
20.（12分）(1)设全集U={ x|x⩽4}，集合A={ x|x2-x-6<0}，集合B={ x|-3
21.（12分）已知函数f(x)=cs2(x2-5π12)+3sin(x2+π12)cs(x2+π12)-12．
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且c=3，f(π2-C)=12，若向量 m=(1,sinA)，n→=(2,sinB)共线，求三角形ABC的面积．
22.（12分）已知函数f(x)=sin(2x-π6)+cs2x.
(Ⅰ)若f(θ)=1，求sinθ⋅csθ的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间；
(Ⅲ)若x∈[π4,π]，求f(x)的取值范围．
23.（12分）已知函数f(x)=ax+lnx+1．
(Ⅰ)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)对任意的x>0，不等式f(x)⩽ex恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】因为A={x|y=12-x}={x|2-x>0}={x|x<2}，B={x∈N|
x2-5x-6<0}={x∈N|-1
【解析】
求出原函数的导函数，得到f'(1)，再求出f(1)，得到切线方程，取x=0得答案．
此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
解：由f(x)=ax+lnx，得f'(x)=a+1x，
则f'(1)=a+1，
又f(1)=a，
∴函数f(x)=ax+lnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-a=(a+1)(x-1)，
取x=0，可得y=-1．
∴函数f(x)=ax+lnx的图象在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为-1．
故选：C．
3.【答案】D;
【解析】解：由题意，不妨设G(x)=ex(ax+b)，其中G'(x)=g(x)=ex(5x+7)，
∴G'(x)=ex[ax+b+a]，
∴{a=5b+a=7，解得{a=5b=2，
∴G(x)=ex(5x+2)，∴G(3)-G(2)=17e3-12e2，
∴函数g(x)=ex(5x+7)的图象与直线x=2，x=3和x轴围成的面积是17e3-12e2.
故选：D.
由导数的运算法则及新定义下的面积计算公式即可求解．
此题主要考查定积分的运算，考查导数性质、定积分性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B;
【解析】
由题意，当Δx=0.5时，2+Δx=2.5，代入函数式求得-2+Δy，由斜率公式可得．
该题考查了变化率的应用，斜率公式的运用，属于基础题．
解：当Δx=0.5时，2+Δx=2.5，
故-2+Δy=2.51-2.5=-53，
故k=-53--22.5-2=23．
故选B．
5.【答案】B;
【解析】略
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查含有量词的命题的真假判断， 比较基础.
根据含有量词的命题的真假判断方法进行判断即可.
解：对于A，∀x∈R，2x-1>0， 正确；
对于B，当x=1时，(x-1)2=0，此时∀x∈N*，(x-1)2>0错误；
对于C， 当0
故选： B .
7.【答案】A;
【解析】解：因为y=sinxtanx(0
结合余弦函数的图象，进而画出函数y=sinxtanx(0
8.【答案】B;
【解析】
该题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
解：函数f(x)=(3sinx+csx)(3csx-sinx)=2sinxcsx+3(cs2x-sin2x)=sin2x+3cs2x=2sin(2x+π3)，
∴T=π，
故选B．
9.【答案】D;
【解析】解：把函数y=3sin2x-cs2x=2sin(2x-π6)的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin(2x+π6) 的图象；
再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到函数y=sin(2x+π6)的图象，
故选：D．
利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换规律，得出结论．
此题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换规律，属于基础题．
10.【答案】C;
【解析】解：单位向量a→，b→的夹角为3π4，∴a→.b→=cs3π4=-22．
∵向量m→=2a→，n→=4a→-λb→，且m→⊥n→，
∴m→⋅n→=2a→⋅(4a→-λb→)=8a2→-2λa→.b→=0，
∴8-2λ×(-22)=0，解得λ=-42．
则|n→|=16a2→+32b2→+322a→.b→=4．
故选：C．
单位向量a→，b→的夹角为3π4，可得a→.b→=cs3π4=-22.由向量m→=2a→，n→=4a→-λb→，且m→⊥n→，可得m→⋅n→=2a→⋅(4a→-λb→)=0，解得λ.进而得出．
此题主要考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】C;
【解析】解：命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1<0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1⩾0”，所以A正确；
命题“若x2-4x+3=0，则x=3”的否命题是“若x2-4x+3≠0，则x≠3”，是真命题，所以B正确；
若p∧q为假命题，则p，q至少一个是假命题，当两个命题都是假命题时，p∨q才为假命题，所以C不正确；
若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，所以D正确；
故选：C．
利用命题的否定形式判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；充要条件判断D的正误；
该题考查命题的逆否关系的应用，涉及充要条件以及复合命题的真假的判断．是基本知识的考查．
12.【答案】A;
【解析】解：在ΔABC中，已知a，b，c成等差数列，∴2b=a+c ①．
再由，∠B=30°，ΔABC的面积为32，可得，解得 ac=6 ②．
再由余弦定理可得csB=a2+c 2-b 22ac=32 ③．
由①②③可得a2+c 2-b 22ac=3b2-1212=32，解得b=1+3，
故选A．
由a，b，c成等差数列可得2b=a+c结合B=30°而要求b故不能采用正弦定理而采用余弦定理即csB=a2+c 2-b 22ac=32，再利用面积公式可得12acsinB=32然后代入化简即可求值．
这道题主要考查了求解三角形．求b可利用余弦定理还是利用正弦定理关键是要分析题中所获得的条件：2b=a+c，ac=6.而这两个条件在正弦定理中是体现不出来的，故采用余弦定理，同时在求解的过程中用到了配方变形这一技巧！属于中档题．
13.【答案】A;
【解析】
本主要题考查利用定积分求封闭图形的面积．
可先把所求面积用定积分表示，再求解即可.
解：由题知封闭图形的面积为01(x-x3)dx=(23x32-14x4)|01=512.
故选A.
14.【答案】12;
【解析】解：sin20°cs10°-cs160°sin10°=sin20°cs10°+cs20°sin10°
=sin(20°+10°)=12，
故答案为：12．
由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式化简所给的式子，可的结果．
这道题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，属于基础题．
15.【答案】35+18;
【解析】
先根据三角函数的化简得到f(x)=2sin(2x-π6)+12，再根据函数零点得到sin(2x0-π6)=-14，利用同角的三角形函数的关系和两角和的余弦公式即可求出．
此题主要考查额三角函数的化简，重点掌握二倍角公式，两角和的正弦和余弦公式，以及函数零点的问题，属于中档题．
解：函数f(x)=sin2x+23sinxcsx+sin(x+π4)sin(x-π4)=12-12cs2x+3sin2x-12cs2x=3sin2x-cs2x+12=2sin(2x-π6)+12，
令f(x0)=0，
∴2sin(2x0-π6)+12=0，
∴sin(2x0-π6)=-14
∵0⩽x0⩽π2，
∴-π6⩽2x0-π6⩽5π6，
∴cs(2x0-π6)=1-116=154，
∴cs2x0=cs(2x0-π6+π6)=cs(2x0-π6)csπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=154×32+14×12=35+18，
故答案为35+18．
16.【答案】f（x）=2sin（π8x+π4）;
【解析】解：由图象得到f(x)的最大值为2，周期为16，且过点(2,2)
所以A=2，
又T=2πω=16，
所以ω=π8，
将点(2,2)代入f(x)，|ϕ|<π2．
得到ϕ=π4，
所以f(x)=2sin(π8x+π4)
故答案为f(x)=2sin(π8x+π4)．
由图象得到f(x)的最大值为2，周期为16，且过点(2,2)，然后利用三角函数的周期公式求出函数的解析式．
本题是基础题，考查由y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．
17.【答案】①③④;
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的周期为：T，由已知条件f(x)满足f(3π16)+f(11π16)=2，可得nT=11π16-3π16=π2.n∈N+，
所以T=π2n=2πω，∴ω=4n，又0<ω<8，∴ω=4，f(x)=sin(4x+ϕ)，代入x=3π16，又|ϕ|<π2，ϕ=-π4，
所以f(x)=sin(4x-π4)，①x=3π16时，y=1，所以函数f(x)的图象关于直线x=3π16对称，正确；
②x=7π16时，y=-1，函数f(x)的图象关于点(7π16,0)对称，不正确；
③函数f(x)在区间[-π16,π16]上单调递增，正确；
④存在m∈(0,5π8]，使函数f(x+m)为偶函数，m=3π16时，函数f(x+m)化为y=cs4x是偶函数，正确．
故答案为：①③④．
利用已知条件求出函数的解析式，然后判断函数的对称性，单调性奇偶性即可．
该题考查命题的真假的判断，三角函数的解析式的求法，函数的图象与性质的应用，是中档题．
18.【答案】y=3x-5;
【解析】解：f'(x)=3x2-12x+14，∴f″(x)=6x-12，
令f″(x)=0得x=2，代入原曲线得y=1，
又f'(x)>0恒成立，所以B(2,1)为曲线的对称中心，且|AC|=210．
设l的方程为y=k(x-2)+1……①
与y=x3-6x2+14x-11联立消去y得：x3-6x2+14x-11=k(x-2)+1……②
整理得(x-2)(x2-4x+6-k)=0，
所以x-2=0或x2-4x+6-k=0，
显然A，C两点的横坐标是x2-4x+6-k=0的两根，设为x1，x2，
所以x1+x2=4，x1x2=6-k，
则1+k2×(x1+x2)2-4x1x2=1+k2×16-4×(6-k)=210，解得k=3，
代入①得直线l的方程为：y=3x-5．
故答案为：y=3x-5．
由|AB|=|BC|=10可知，B是A，C两点的中点，由此联想到B是y=x3-6x2+14x-11的对称中心，然后对y=x3-6x2+14x-11求二阶导数，求出零点即为对称中心的横坐标，然后设出所求直线方程的点斜式，与曲线方程联立化简，最后借助于韦达定理及弦长公式求出斜率．
该题考查了利用导数研究函数的性质的基本思路．本题的关键在于，由|AB|=|BC|=10发现B是A、C的中点，并进一步分析出，B即为原函数的对称中心．同时在解方程②时，关键是将方程凑成关于(x-2)的式子．本题难度较大．
19.【答案】0或1;
【解析】略
20.【答案】解：（1）由题意可知，A={x|-2＜x＜3}，则∁UA=（-∞，-2]∪[3，4]，
所以，（∁UA）∩B={x|-3＜x≤-2，x=3}．
（2）因为tanα=3，
由题意可知，sinα+csαsinα-csα=tanα+1tanα-1=3+13-1=2；
因为cs2α-3sinαcsα=cs2α-3sinαcsαsin2α+cs2α=1-3tanαtan2α+1，且tanα=3，
所以，原式=1-3×332+1=-45．;
【解析】
(1)求出A与B中不等式的解集确定出A与B，由全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．
(2)利用同角三角函数基本关系式化简所求，结合已知即可得解．
此题主要考查了交、并、补集的混合运算，考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：（1）函数f（x）=cs2（x2-5π12）+3sin（x2+π12）cs（x2+π12）-12
=1+cs(x-5π6)2+32sin（x+π6）-12
=32sin（x+π6）-12cs（x+π6）
=sin（x+π6-π6）
=sinx，
所以f（x）的单调递增区间是[2kπ-π2，2kπ+π2]，k∈Z．
（2）由题意知，f（π2-C）=sin（π2-C）=csC=12，
又C∈（0，π），所以C=π3；
又c=3，由余弦定理得，
c2=a2+b2-2abcsπ3=a2+b2-ab=3；
由向量m→=（1，sinA），n→=（2，sinB）共线，
则sinB-2sinA=0，由正弦定理得b-2a=0，即b=2a；
所以a2+b2-ab=a2+4a2-2a2=3a2=3，
解得a=1，b=2，
所以△ABC的面积为
S△ABC=12absinC=12×1×2×sinπ3=32．;
【解析】
(1)利用三角恒等变换化简函数f(x)，再求出f(x)的单调递增区间；
(2)由题意求出C的值，再利用余弦定理和向量共线以及正弦定理求得a、b的值，即可计算ΔABC的面积．
本题看出来三角函数的图象与性质的应用问题，也看出来正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．
22.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（2x-π6）+cs2x=3sinxcsx-12•（2cs2x-1 ）+cs2x=3sinxcsx+12，
∵f（θ）=3sinθcsθ+12=1，求sinθ•csθ=36．
（Ⅱ）函数f（x）=3sinxcsx+12=32sin2x+12，令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2，
求得kπ-π4≤x≤kπ+π2，可得f（x）的单调增区间为[kπ-π4，kπ+π2]，k∈Z．
（Ⅲ）若x∈[π4，π]，则2x∈[π2，2π]，则sin2x∈[-1，1]，32sin2x∈[-32，32]，
∴f（x）∈[1-32，1+32]．;
【解析】
(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换，求出sinθ⋅csθ的值．
(Ⅱ)由题意利用正弦函数的单调性，求出函数f(x)的单调增区间．
(Ⅲ)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出f(x)的取值范围．
此题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）x＞0f（x）=-x+lnx+1，∴f'(x)=1-xx
令f'（x）＞0，得0＜x＜1；令f'（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），
（Ⅱ）不等式ax+lnx+1≤ex恒成立，等价于a≤ex-lnx-1x在（0，+∞）恒成立，
令g(x)=ex-lnx-1x，x＞0，g'(x)=(x-1)ex+lnxx2，
令h（x）=（x-1）ex+lnx，x＞0，h'(x)=xex+1x＞0，
所以h（x）在（0，+∞）单调递增，而h（1）=0，
所以x∈（0，1）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）单调递减；
x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，g（x）单调递增；
所以在x=1处g（x）取得最小值g（1）=e-1
所以a≤e-1，即实数a的取值范围是{a|a≤e-1}．;
【解析】
(Ⅰ)a=-1，求出函数的导数，利用导函数的符号．即可求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)对任意的x>0，不等式f(x)⩽ex恒成立，转化为：a⩽ex-lnx-1x在(0,+∞)恒成立，构造函数，利用导数求解函数的最小值，即可求实数a的取值范围．
此题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
相关试卷
高考数学三轮冲刺卷：直线的点斜式与斜截式方程（含答案）： 这是一份高考数学三轮冲刺卷：直线的点斜式与斜截式方程（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023高考数学复习专项训练《两点式方程》： 这是一份2023高考数学复习专项训练《两点式方程》，共12页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
2023高考数学复习专项训练《截距式方程》： 这是一份2023高考数学复习专项训练《截距式方程》，共19页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
