2022届高考大一轮复习知识点精练：直线的点斜式与斜截式方程

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：直线的点斜式与斜截式方程，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 过点 −1,2 且倾斜角为 150∘ 的直线方程为
A. 3x−3y+6+3=0B. 3x−3y−6+3=0
C. 3x+3y+6+3=0D. 3x+3y−6+3=0

2. 若过原点的直线 l 的倾斜角为 150∘，则直线 l 的方程是
A. 3x+y=0B. x+3y=0C. x−3y=0D. 3x−y=0

3. 下列直线中过第一，二，四象限的是
A. y=2x+1B. y=12x+12C. y=−2x+4D. y=32x−3

4. 直线 x=3y−1 的斜率和在 y 轴上的截距分别为
A. 33，−33B. 3，−1C. 33，33D. 3，33

5. 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 △ABC 的顶点 A2,0，B0,4，且 AC=BC，则 △ABC 的欧拉线的方程为
A. x+2y+3=0B. 2x+y+3=0C. x−2y+3=0D. 2x−y+3=0

6. 过点 P2,1 且与原点 O 距离最远的直线方程为
A. 2x+y−5=0B. 2x−y−3=0C. x+2y−4=0D. x−2y=0

7. 已知点 M 是直线 l:2x−y−4=0 与 x 轴的交点，将直线 l 绕点 M 按逆时针方向旋转 45∘，得到的直线方程是
A. x+y−3=0B. x−3y−2=0C. 3x−y+6=0D. 3x+y−6=0

8. 将直线 y=3x 绕原点按逆时针方向旋转 90∘，再向右平移 1 个单位长度，则所得到的直线方程为
A. x+3y−1=0B. x+3y−3=0C. 3x−y−3=0D. x−3y+3=0

9. y=ax+ba+b=0,ab≠0 的图象可能是下列图中的
A. B.
C. D.

10. 已知直线 l 经过点 P−2,5，且斜率为 −34，则直线 l 的方程为
A. 3x+4y−14=0B. 3x−4y+14=0C. 4x+3y−14=0D. 4x−3y+14=0

11. 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 △ABC 的顶点 A1,0，B0,2，且 AC=BC，则 △ABC 的欧拉线的方程为
A. 4x+2y+3=0B. 2x−4y+3=0C. x−2y+3=0D. 2x−y+3=0

12. 已知直线 l 的斜率为 3，在 y 轴上的截距为另一条直线 x−2y−4=0 的斜率的倒数，则直线 l 的方程为
A. y=3x+2B. y=3x−2C. y=3x+12D. y=−3x+2

13. 已知直线 l1 经过 A−3,4，B−8,−1 两点，直线 l2 的倾斜角为 135∘，那么 l1 与 l2
A. 垂直B. 平行C. 重合D. 相交但不垂直

14. 过点 0,−2 的直线 l 的倾斜角 α 满足 sinα2=13，则直线 l 的方程是
A. 42x+7y+14=0B. 42x+7y−14=0
C. 42x−7y+14=0D. 42x−7y−14=0

15. 将直线 l:y=2x+1 绕点 A1,3 按逆时针方向旋转 45∘ 得到直线 lʹ，则直线 lʹ 的方程为
A. 2x−y+1=0B. x−y+2=0C. 3x−2y+3=0D. 3x+y−6=0

16. 任意三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知 △ABC 的顶点 A2,0，B0,4，若其欧拉线的方程为 x−y+2=0，则顶点 C 的坐标为
A. −4,0B. −3,−1C. −5,0D. −4,−2

17. 下面说法正确的是
A. 经过定点 Px0,y0 的直线都可以用方程 y−y0=kx−x0 表示
B. 不经过原点的直线都可以用方程 xa+yb=1 表示
C. 经过定点 A0,b 的直线都可以用方程 y=kx+b 表示
D. 经过任意两个不同的点 Px1,y1，Qx2,y2 的直线都可以用方程 x2−x1y−y1=y2−y1x−x1 表示

18. 已知直线 l1 的方程是 ax−y+b=0，l2 的方程是 bx−y−a=0 （ ab≠0，a≠b ），则下列各示意图中，正确的是
A. B.
C. D.

19. 直线 l 垂直于直线 y=x+1，原点 O 到 l 的距离为 1，且 l 与 y 轴正半轴有交点，则直线 l 的方程是
A. x+y−2=0B. x+y+1=0C. x+y−1=0D. x+y+2=0

20. 已知直线 l 经过 A1,3 和 B−1,−1 两点，若将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 π4 后到达直线 lʹ 的位置，则 lʹ 的方程为
A. x−y+2=0B. 3x+y−6=0C. 2x−y+5=0D. 3x+y+4=0

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 直线 l 的方程为 y−a=a−1x+2，若直线 l 在 y 轴上的截距为 6，则 a= ．

22. 已知直线 l 与直线 x+y−2=0 垂直，且直线 l 在 y 轴上的截距为 4，则直线 l 的方程为 ．

23. 已知点 M 是直线 l：y=3x+3 与 x 轴的交点，将直线 l 绕点 M 旋转 30∘，所得到的直线 lʹ 的方程为 ．

24. 在直线方程 y=kx+b 中，当 x∈−3,4 时，y∈−8,13，则此直线的方程为 ．

25. 若直线 l:y=kx−3 与直线 y=−23x+2 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 一次函数的解析式 y=kx+b 与直线的斜截式方程 y=kx+b 有何异同?

27. 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：
（1）过定点 A−3,4；
（2）斜率为 16．

28. 如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成 45∘ 和 30∘ 角，过点 P1,0 作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y=12x 上时，求直线 AB 的方程．

29. 已知：△ABC 的顶点 A2,3 和 B−1,−1，∠ABC 的角平分线所在直线方程为 x−3y−2=0，求 BC 边所在直线方程．

30. 已知直线 l 过点 P1,2，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 S．若 S 分别等于 3，5 时，则相应的直线分别有几条?

31. 已知直角坐标平面 xOy 内的两点 A8,−6，B2,2．
（1）求线段 AB 的中垂线所在直线的方程；
（2）求以向量 AB 为方向向量且过点 P2,−3 的直线 l 的方程；
（3）一束光线从点 B 射向 y 轴，反射后的光线过点 A，求反射光线所在的直线方程．
答案
第一部分
1. D【解析】因为 k=tan150∘=−33，
所以直线方程为 y−2=−33x+1，即 3x+3y−6+3=0．
2. B【解析】由题意得：直线 l 过原点，
可设正比例函数为 y=kx，
又因为 k=tan150∘=−33，
故直线 l 的方程为 y=−33x，
即 3x+3y=0，即 x+3y=0．
3. C【解析】若直线 y=kx+b 过第一，二，四象限，则 k<0，b>0，选项 A，B，D 中直线的斜率都大于 0，只有 C 满足 k<0，b>0．
4. C【解析】将 x=3y−1 化为斜截式为 y=33x+33，即该直线的斜率为 33，在 y 轴上的截距为 33．
5. C
【解析】因为 AC=BC，所以欧拉线为 AB 的中垂线，
又 A2,0，B0,4，故 AB 的中点为 1,2，kAB=−2，
故 AB 的中垂线方程为 y−2=12x−1，即 x−2y+3=0．
6. A【解析】过点 P2,1 且与原点 O 距离最远的直线为过点 P2,1 且与 OP 垂直的直线，因为直线 OP 的斜率为 1−02−0=12，所以所求直线的斜率为 −2，故所求直线方程为 2x+y−5=0．
7. D【解析】设直线 l 的倾斜角为 α，则 tanα=k=2，
直线 l 绕点 M 按逆时针方向旋转 45∘，
所得直线的斜率 kʹ=tanα+π4=2+11−2×1=−3，
又点 M2,0，所以 y=−3x−2，即 3x+y−6=0．
8. A
9. D
10. A
11. B【解析】因为 AC=BC，所以欧拉线为 AB 的中垂线，
又 A1,0，B0,2，
故 AB 的中点为 12,1，kAB=−2，
故 AB 的中垂线方程为 y−1=12x−12，
即 2x−4y+3=0．
12. A【解析】直线 x−2y−4=0 的斜率为 12，
所以直线 l 在 y 轴上的截距为 2．
所以直线 l 的方程为 y=3x+2．
13. A【解析】由题意可知直线 l1 的斜率 k1=4−−1−3−−8=1，
又由直线 l2 的倾斜角是 135∘，可知其斜率 k2=tan135∘=−1，
所以 k1k2=−1，
故直线 l1 与直线 l2 垂直．
14. D
15. D
【解析】直线 l:y=2x+1 绕点 41,3 按逆时针方向旋转 45∘ 得到直线 lʹ，
设直线 lʹ 的斜率为 k，
则根据到角公式的应用，tan45∘=k−21+2k=1，
解得 k=−3，
所以直线 lʹ 的方程为 y−3=−3x−1，
整理得 3x+y−6=0．
16. A【解析】设 Cm,n，由重心坐标公式，得 △ABC 的重心为 2+m3,4+n3，代入欧拉线的方程得 2+m3−4+n3+2=0，
整理得 m−n+4=0. ⋯⋯ ①
AB 的中点为 1,2，kAB=4−00−2=−2，
所以 AB 的垂直平分线的方程为 y−2=12x−1，即 x−2y+3=0．
由 x−2y+3=0,x−y+2=0,
解得 x=−1,y=1.
所以 △ABC 的外心为 −1,1．
则 m+12+n−12=32+12=10. ⋯⋯ ②
由①②联立，得 m=−4，n=0 或 m=0，n=4．
当 m=0，n=4 时，B，C 重合，不符合题意，舍去，
所以顶点 C 的坐标是 −4,0．
17. D
18. D【解析】将直线 l1，l2 的方程化为点斜式方程，
得直线 l1:y=ax+b，直线 l2:y=bx−a，
得到直线 l1 的斜率 k1=a，在 y 轴上的截距为 b ；
直线 l2 的斜率 k2=b，在 y 轴上的截距为 −a，
选项A、B中，直线 l1 的斜率 k1=a>0；
选项A中，l1 在 y 轴上截距 b>0，得到相应 k2>0，−a<0，不合题意；
选项B中，l1 在 y 轴上的截距 b<0，得到相应 k2<0，与图形不符；
在选项C中，k1=a<0，b>0，相应直线 l2 的斜率 k2>0，与图形不符，排除A、B、C．
19. A【解析】因为直线 l 与直线 y=x+1 垂直，所以直接设直线 l 的方程为 y=−x+b，又 l 与 y 轴正半轴有交点，知 b>0，即 x+y−b=0b>0 的距离 ∣0+0−b∣12+12=1，求得 b=2b=−2舍去，所以所求直线 l 的方程为 x+y−2=0．
20. B
【解析】因为直线 l 经过 A1,3 和 B−1,−1 两点，
所以直线 l 的斜率为 kAB=−1−3−1−1=2，
将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 π4 后到达直线 lʹ 的位置，
设 lʹ 的斜率为 k，由题意得 k<0，
则 tanπ4=2−k1+2k，解得 k=−3 或 k=13（舍），
所以 lʹ 的方程为 y−3=−3x−1，即 3x+y−6=0．
第二部分
21. 83
【解析】直线 l 的方程可化为 y=a−1x+3a−2，由直线 l 在 y 轴上的截距为 6，可得 3a−2=6，解得 a=83．
22. x−y+4=0
【解析】因为直线 l 与直线 x+y−2=0 垂直，
所以斜率 kl=1．
因为直线 l 在 y 轴上的截距为 4，
所以直线 l 的方程为 y=x+4，整理得 x−y+4=0．
23. x+3=0 或 y=33x+3
【解析】在 y=3x+3 中，令 y=0，得 x=−3，即 M−3,0．因为直线 l 的斜率为 3，所以其倾斜角为 60∘．若直线 l 绕点 M 逆时针旋转 30∘，则得到的直线 lʹ 的倾斜角为 90∘，此时直线 lʹ 的斜率不存在，故其方程为 x+3=0；若直线 l 绕点 M 顺时针旋转 30∘，则得到的直线 lʹ 的倾斜角为 30∘，此时直线 lʹ 的斜率为 tan30∘=33，故其方程为 y=33x+3．综上所述，所求直线 lʹ 的方程为 x+3=0 或 y=33x+3．
24. y=3x+1 或 y=−3x+4
【解析】由一次函数单调性可知：
当 k>0 时，函数为增函数，
所以 −3k+b=−8,4k+b=13, 解得 k=3,b=1.
当 k<0 时，函数为减函数，
所以 4k+b=−8,−3k+b=13, 解得 k=−3,b=4.
所以直线方程为 y=3x+1 或 y=−3x+4．
25. α30∘<α<90∘
【解析】画出图象如图所示，
直线 l 过定点 A0,−3．
又 B3,0，所以直线 AB 的斜率 kAB=33，
此时直线 AB 的倾斜角为 30∘，
由于直线 l:y=kx−3 与直线 y=−23x+2 的交点位于第一象限，
故倾斜角 α 的取值范围是 α30∘<α<90∘．
第三部分
26. 一次函数中 x 的系数 k≠0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程 y=kx+b 中的 k 可以为 0．相同点是 k 都表示直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距．
27. （1） 由题意知，直线 l 存在斜率．
设直线 l 的方程为 y=kx+3+4，
在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 −4k−3，3k+4，
由已知得 3k+44k+3=±6，
解得 k1=−23 或 k2=−83．
故直线 l 的方程为 2x+3y−6=0 或 8x+3y+12=0．
（2） 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程是 y=16x+b，则它在 x 轴上的截距是 −6b，
由已知得 ∣−6b⋅b∣=6，
所以 b=±1．
所以直线 l 的方程为 x−6y+6=0 或 x−6y−6=0．
28. 由题意可得 kOA=tan45∘=1，kOB=tan180∘−30∘=−33，
所以直线 lOA:y=x，lOB:y=−33x．
设 Am,m，B−3n,n，
所以 AB 的中点 Cm−3n2,m＋n2，
由点 C 在直线 y=12x 上，且 A，P，B 三点共线得，
m+n2=12⋅m−3n2,m−0m−1=n−0−3n−1,
解得 m=3，所以 A3,3．
又 P1,0，所以 kAB=kAP=33−1=3+32，
所以 lAB:y=3+32x−1，
即直线 AB 的方程为 3+3x−2y−3−3=0．
29. 设点 A 关于直线 x−3y−2=0 的对称点为 Aʹx0,y0，
满足 y0−3x0−2⋅13=−1,x0+22−3⋅y0+32−2=0, 解方程组，得 x0=195,y0=−125.
所以点 Aʹ 的坐标为 195,−125，点 Aʹ 也在 BC 边所在的直线上，
从而可求得方程为 7x+24y+31=0．
30. 设 l：y−2=kx−1k≠0，则可求得 l 与 x 轴的交点 A1−2k,0，与 y 轴的交点 B0,2−k．S△AOB=12∣OA∣⋅∣OB∣=121−2k⋅∣2−k∣=k−222∣k∣．当 k−222∣k∣=3 时，整理，得 k2−10k+4=0 或 k2+2k+4=0．由 k2−10k+4=0 解得 k=5±21；k2+2k+4=0 无解．所以，这样的直线有两条．当 k−222∣k∣=5 时，整理，得 k2−14k+4=0 或 k2+6k+4=0．由 k2−14k+4=0 解得 k=7±35；由 k2+6k+4=0 解得 k=−3±5．所以，这样的直线有四条．
31. （1） 由 8+22=5，−6+22=−2，
得线段 AB 的中点坐标为 5,−2．
因为 kAB=−6−28−2=−43，
所以线段 AB 的中垂线的斜率为 34，
所以由直线方程的点斜式可得线段 AB 的中垂线所在直线方程为 y+2=34x−5，即 3x−4y−23=0．
（2） 由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线 l 的斜率为 −43，
由直线方程的点斜式得直线 l 的方程为 y+3=−43x−2，
即 4x+3y+1=0．
（3） 易知 B2,2 关于 y 轴的对称点为 Bʹ−2,2，
所以 kABʹ=2−−6−2−8=−45，
则直线 ABʹ:y−2=−45x+2，
即反射光线所在的直线方程为 4x+5y−2=0．