专题2.6 有理数的规律问题（重点题专项讲练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题2.6  有理数的规律问题

【典例1】观察下列各式：

13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；

13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；

13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；

猜想并填空：

（1）13+23+33+43+53＝　            　2＝　            　2；

根据以上规律填空：

（2）13+23+33+…+n3＝　            　2＝　            　2；

（3）求解：163+173+183+193+203．

【思路点拨】

（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；

（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；

（3）利用（2）中的结论进行计算．

【解题过程】

解：（1）由题意可得：

13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，

故答案为：（1+2+3+4+5）；15；

（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[]2，

故答案为：（1+2+3+...+n）；[]；

（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）

＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2

＝[]2﹣[]2

＝2102﹣1202

＝44100﹣14400

＝29700．

1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；

（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．

利用以上规律计算：f（2022）﹣f（）等于（　　）

A．2021 B．2022 C． D．

2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2020次落下时，落点表示的数是（　　）

A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010

3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　）

A．253 B．255 C．257 D．259

4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，1+3+5+…+19＝　   　．

5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 　   　．

6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 　 　．

7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝1，f（4）＝1，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021）＝　   　．

8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：

按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是　   　；数﹣201是第　   　行从左边数第　   　个数．

9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：

①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；

②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；

③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；

④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……

利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　   　．

10．找规律，完成下列各题：

（1）如图①，把正方形看作1，　   　．

（2）如图②，把正方形看作1，　   　．

（3）如图③，把正方形看作1，　   　＝　   　．

（4）计算：　   　．

（5）计算：　   　．

11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝1，f（4）＝1

（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝　   　；（n为正整数）

（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．

12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．

（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；

①|7﹣21|＝　   　；

②|0.8|＝　   　；

③||＝　   　；

（2）用合理的方法计算：||+||﹣||；

（3）用简单的方法计算：||+||+||+…+||．

13．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：

解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式

在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式

式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1

即S＝2101﹣1

即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1

【理解运用】计算

（1）1+3+32+33+…+399+3100

（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．

14．计算：　   　，　   　，　   　，　   　．

你发现什么规律了吗？　   　

把下列的小数化为分数：0.111...＝　   　，

0.222...＝0.1111...×　   　＝　   　×　   　＝　   　，

0.262626...＝0.010101...×　   　＝　   　×　   　＝　   　．

你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：

0.125912591529...＝　   　，0.326457326457...＝　   　．

不要忘记，能约分的要约分哟！

15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：

例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．

例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125

＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）

＝（8×0.125）6＝1．

（1）仿照上面材料的计算方法计算：．

（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝　   　（用字母表示）；

（3）用（2）的规律计算：．

16．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．

通过计算容易发现：

①；②；③

（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：　   　；

（2）通过观察，计算的值．

（3）探究上述的运算规律，试计算的值．

17．（2021秋•松江区期中）阅读理解题；；．

（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式：　   　+　   　；　   　+　   　．

（2）利用以上所得的规律进行计算：．

（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算：．

18．（2021秋•通川区校级月考）探索发现：；；

根据你发现的规律，回答下列问题：

（1）　   　，　   　；

（2）利用你发现的规律计算：；

（3）计算：．