人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和课后作业题
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一.填空题
1.已知等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差___________.
2.在中,若A,B,C成等差数列,且,则_______.
3.已知数列中,,且,数列满足,则的通项公式是_____.
4.已知等差数列的前项和为,且,,设,则数列的前项和为________.
5.已知等差数列,的前项和分别为,,若,则___________.
6.已知等差数列满足,,则________.
7.已知数列的前n项和为.且,是公差为的等差数列,则_______.
8.已知等差数列的前项和为,且满足,则的值是__________.
9.为等差数列的前项和,,,________.
10.如果数列满足,且,则这个数列的第项等于___________.
11.在等差数列中, ,则=_______.
12.在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项,从而形成一个新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次扩充.如数列,,扩充一次后得到,,,扩充两次后得到,,,,,以此类推.设数列,,(为常数),扩充次后所得所有项的和记为,则______________.
13.已知等差数列的前项和为,若,则________.
14.已知数列的前项和与满足:当时,成等比数列,且,则___________.
15.在与之间插入个数,使这个数组成和为的等差数列,则=______;
参考答案与试题解析
1.【答案】;
【解析】分析:先计算,然后再利用方差的计算公式求解即可.
详解:因为是等差数列,公差为,
所以,
所以方差.
故答案为:
2.【答案】
【解析】分析:根据等差中项和三角形内角和定理求出,再根据正弦定理可求得结果.
详解:因为A,B,C成等差数列,所以,
又因为,所以,所以,
由正弦定理可得,即,
又,所以,所以.
故答案为:.
3.【答案】
【解析】分析:根据已知,利用作差法求易判断为等差数列,写出通项公式即可.
详解:∵,
∴,
又,则,
∴数列是首项为,公差为1的等差数列,
∴.
故答案为:.
【点睛】
关键点点睛:应用作差的方法求,判断数列的性质,进而求通项.
4.【答案】
【解析】由题可知,,,
∴,
∴.
5.【答案】
【解析】分析:根据数列,是等差数列,且,设,再利用数列通项与前n项和关系求解.
详解:因为数列,是等差数列,且,
所以设,
所以,
故答案为:
6.【答案】
【解析】分析:根据题中条件,由等差数列的性质,求出,进而可得出结果.
详解:因为等差数列满足,,
所以,则,因此.
故答案为:.
7.【答案】
【解析】分析:利用是公差为的等差数列求出,再根据 与 的关系式求出数列自第二项起构成公比为3的等比数列,再结合等比数列前n项和公式即可得到答案.
详解:解:,则,
∵是公差为的等差数列,
∴,则,
当时,,
,当时,,
∴数列自第二项起构成公比为3的等比数列,
可得.
故答案为:.
8.【答案】
【解析】分析:根据等差数列前项和公式以及等差数列的下标和性质求解出的值,由此可计算出的值.
详解:,,
,
故答案为:.
9.【答案】81
【解析】分析:用基本量法求得公差和首项,然后由前项和公式计算.
详解:设公差为,则,,,
所以.
故答案为:81.
10.【答案】
【解析】分析:由,化简得,则为等差数列,结合已知条件得.
详解:由,化简得,且,,
得,所以是以为首项,以为公差的等差数列,
所以,即
故答案为:
【点睛】
关键点点睛:本题关键在于利用已知递推关系构造等差数列,进而求出通项公式.
11.【答案】
【解析】分析:根据等差中项性质求得,进而得到,,再利用求得结果.
详解:解:设等差数列的公差为,
因为,所以
所以,解得,
所以
所以.
故答案为:
12.【答案】
【解析】分析:根据等差中项的定义,结合题中操作的性质.等差数列的性质进行求解即可.
详解:扩充次后所得数列为,
因此从到是等差数列,项数为,且中间项为;
从到也是等差数列,项数为,且中间项为;
根据等差数列的性质可得.
故答案为:
【点睛】
关键点睛:掌握如果等差数列的项数为,它的前项和是项数与中间项的乘积这一性质是解题的关键.
13.【答案】
【解析】分析:本题首先可根据得出,然后通过等差数列求和公式即可得出结果.
详解:因为,所以,
因为数列是等差数列,
所以,
故答案为:.
14.【答案】
【解析】分析:根据题意得,利用,化简得到,得出数列是以为首项,为公差的等差数列,求得,进而求得,得到答案.
详解:由题意,当时,成等比数列,可得,
又由,所以,
可得,所以,且
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,即,
当时,,
经检验时不合符,所以则.
故答案为:.
15.【答案】5
【解析】分析:利用等差数列的求和公式,列出方程,即可求得的值.
详解:解:和3之间插入个数,这个数组成和为的等差数列,
,解得
故答案为:5.
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