2023 浙教版数学九年级下册开学测试卷（二）

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开学测试卷二
一、选择题（本大题有共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若2y﹣7x＝0，则x：y等于（　　）
A．2：7 B．4：7 C．7：2 D．7：4
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次都是正面朝上，则第4次正面朝上的概率（　　）
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
5．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm
7．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（　　）

A．b＝a B．b＝a C．b＝ D．b＝a
9．已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣1
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　）

A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．要使分式有意义，x的取值应满足　 　．
12．分解因式：3x2﹣6x+3＝　 　．
13．如图，已知▱ABCD的对角线BD＝4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为　 　cm．

14．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是　 　．

15．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　 　．

16．在△ABC中，AB＝AC，点D在直线BC上，DC＝3DB，点E为AB边的中点，连接AD，射线CE交AD于点M，则的值为　 　．
三．解答题（共5小题，满分46分）
17．（8分）计算
（1）+2﹣1﹣4cos30°+|﹣×22015|．
（2）先化简，再求值：﹣，其中a＝﹣1．
18．（8分）如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：AP与⊙O相切；
（2）如果PD＝，求AP的长．

19．（8分）某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元），销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的实际意义．
（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式．
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．

21．（12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；
（3）如图3，C是函数y＝图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．


开学测试卷二
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若2y﹣7x＝0，则x：y等于（　　）
A．2：7 B．4：7 C．7：2 D．7：4
【分析】若2y﹣7x＝0，根据分式的基本性质得2y＝7x，从而求出x：y．
【解答】解：∵2y﹣7x＝0，
∴2y＝7x，
∴x：y＝2：7，
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．正确对已知条件进行变形是解决本题的关键．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴sinB＝＝，

故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据三视图的定义即可判断．
【解答】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．
4．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次都是正面朝上，则第4次正面朝上的概率（　　）
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
【分析】利用概率的意义直接得出答案．
【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是正面朝上，
他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
5．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得．
【解答】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，
所以x＞3的概率是．
故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
6．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．
方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．
故选：A．
【点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
7．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设线段OP＝x，则可求出AP、BP，继而分别得出梯形ACOP、BCOP的面积，然后两者相减可得出△ABC的面积．
【解答】解：设线段OP＝x，则PB＝，AP＝，
∴S四边形ACOP＝（OC+AP）×OP＝OC+1；SBCOP＝（OC+BP）×OP＝OC+2，
∴S△ABC＝S四边形BCOP﹣S四边形ACOP＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了反比例函数的k的几何意义，解答本题的关键是表示出线段OP、BP、AP的长度，利用“面积作差法”求解△ABC的面积，难度一般．
8．如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（　　）

A．b＝a B．b＝a C．b＝ D．b＝a
【分析】首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b之间的关系即可．
【解答】解：∵半圆的直径为a，
∴半圆的弧长为
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则：2πr＝
解得：r＝
∴AC＝a﹣r＝，
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，
则：AC2+AB2＝BC2
即：（）2+（）2＝（）2
整理得：b＝a
故选：D．

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是利用两圆相外切的性质得到两圆的圆心距，从而利用勾股定理得到a、b之间的关系．
9．已知函数y＝x2+x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣1
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围．
【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，
∴该函数图象开口向上，当x＝﹣是，该函数取得最小值﹣，当y＝1时，x1＝﹣2，x2＝1，
∵当m≤x≤m+2时，﹣≤y≤1，
∴
解得﹣2≤m≤﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（　　）

A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE＝BD＝x，根据等腰三角形求出BQ＝CQ＝6，求出CM＝QM＝3，解直角三角形求出EM＝3y，AQ＝6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，
∴BD＝DE＝x，
∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，
∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，
∴AQ＝6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM＝QM＝CQ＝3，
∴EM＝3y，
∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2＝9，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．要使分式有意义，x的取值应满足　x≠1　．
【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．
【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．
解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
12．分解因式：3x2﹣6x+3＝　3（x﹣1）2　．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣6x+3，
＝3（x2﹣2x+1），
＝3（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．如图，已知▱ABCD的对角线BD＝4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为　2π　cm．

【分析】将平行四边形旋转180°后，点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
【解答】解：将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴其长度为＝＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查了利用弧长的公式求弧长，本题中所涉及的圆弧恰好是半圆，所以其长度可以是圆周长的一半．
14．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是　　．

【分析】如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．首先证明∠APC＝∠ECD，再证明∠CDE＝90°，根据tan∠APC＝tan∠ECD，即可解决问题；
【解答】解：如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．

由题意：EC∥AB，
∴∠APC＝∠ECD，
∵∠CDO＝60°，∠EDB＝30°，
∴∠CDE＝90°，
∵CD＝2，DE＝，
∴tan∠APC＝tan∠ECD＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　﹣1≤t＜8　．

【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x＝﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y＝x2+bx与y＝t在x的范围内有交点解答．
【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝1，
解得b＝﹣2，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，
x＝﹣1时，y＝1+2＝3，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．

【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．在△ABC中，AB＝AC，点D在直线BC上，DC＝3DB，点E为AB边的中点，连接AD，射线CE交AD于点M，则的值为　或　．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：如图1，

过E作EQ∥BC，
设EQ＝a，则BD＝2a，DC＝6a，
设QM＝x，则MD＝6x，AQ＝7x，
∴AM＝8x，MD＝6x，
∴，
如图2，

过E作EH∥BC，过M作MP∥BC，
∵DC＝3BD，
设BD＝a，则DC＝3a，BC＝2a，
∴＝＝＝，
∴＝
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝
故答案为：或．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
三．解答题（共5小题，满分46分）
17．（8分）计算
（1）+2﹣1﹣4cos30°+|﹣×22015|．
（2）先化简，再求值：﹣，其中a＝﹣1．
【分析】（1）先化简二次根式、计算负整数指数幂、代入三角函数值、计算绝对值内的式子，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣4×+|﹣|
＝2+﹣2+
＝1；

（2）原式＝﹣
＝，
当a＝﹣1时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的运算．
18．（8分）如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：AP与⊙O相切；
（2）如果PD＝，求AP的长．

【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E＝∠ACE＝∠OCA＝∠OAC＝30°，∠EAC＝120°，进而得出∠EAO＝90°，即可得出答案；
（2）首先根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，从而求得OA、OP，进而利用勾股定理得出AP的长．
【解答】（1）证明：连接AO，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵AO＝CO，AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP，∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠P＝∠ACP＝∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠PAC＝120°，
∴∠PAO＝90°，
∴AP是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝R，OP＝+R，
∵∠PAO＝90°，∠P＝30°，
∴OP＝2OA，即+R＝2R，
解得R＝，
∴OA＝，OP＝2，
∴PA＝
根据勾股定理得，AP＝＝＝3．

【点评】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理定理和切线的判定、等腰三角形的性质等知识，根据已知得出圆的半径是解题关键．
19．（8分）某厂家生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元），销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的实际意义．
（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式．
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为140kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为40元；
（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）先求出销售价y2与产量x之间的函数关系，利用：总利润＝每千克利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．
【解答】解：（1）点D的实际意义：当产量为140kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为40元．

（2）设线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式为y2＝k1x+b1，
∵点（0，124），（140，40）在函数y2＝k1x+b1的图象上
∴，解得：，
∴y2与x之间的函数表达式为y2＝﹣x+124（0≤x≤140）；

（3）设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k2x+b2，
∵点（0，60），（100，40）在函数y1＝k2x+b2的图象上
∴，解得：，
∴y1与x之间的函数表达式为y1＝﹣x+60（0≤x≤100）
设产量为x千克时，获得的利润为W元
①当0≤x≤100时，W＝[（﹣x+124）﹣（﹣x+60）]x＝﹣（x﹣80）2+2560，
∴当x＝80时，W的值最大，最大值为2560元．
②当100≤x≤140时，W＝[（﹣x+124）﹣40]x＝﹣（x﹣70）2+2940
由﹣＜0知，当x≥70时，W随x的增大而减小
∴当x＝100时，W的值最大，最大值为2400元．
∵2560＞2400，
∴当该产品的质量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为2560元．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．

【分析】（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；
（2）根据BD＝CD＝DE，可得BC的长，再根据相似三角形的性质求出CE，AE得解；
（3）设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，求得S△CDE＝S△BDE＝5k，根据相似三角形的性质得到，求得S△ABE＝4S△OBF，于是得到S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，再由相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；
（3）∵，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BC＝2CD，
∴．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
21．（12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积；
（3）如图3，C是函数y＝图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

【分析】（1）由角平分线求出∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，再证出∠OAP＝∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例，得出OP2＝OA•OB，即可得出结论；
（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP＝∠OPB，即可得出∠APB＝180°﹣α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB＝OB•AH，即可得出S△AOB＝sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：＝，得出OB＝3b，OA＝，求出OA•OB＝18，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB＝CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，得出OA•OB＝2，求出OP，即可得出点P的坐标．
【解答】（1）证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，
∴∠OAP+∠APO＝135°，
∵∠APB＝135°，
∴∠APO+∠OPB＝135°，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴，
∴OP2＝OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；
（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴OA•OB＝OP2，
∴，
∵P为∠MON的平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝α，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°﹣α，
即∠APB＝180°﹣α；
过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：
则S△AOB＝OB•AH＝OB•OAsinα＝OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△AOB＝sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：
BC＝2CA不可能；
当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：
∵BC＝2CA，
∴，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴OB＝3b，OA＝，
∴OA•OB＝•3b＝＝18，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP＝＝＝3，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（3，3）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：
∵BC＝2CA，
∴AB＝CA，
在△ACH和△ABO中，
，
∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，
∴OA•OB＝a•b＝2，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（1，﹣1）；
综上所述：点P的坐标为：（3，3），或（1，﹣1）．




【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，证明三角形相似和三角形全等才能得出结果．

日期：2022/1/6 23:05:26；用户：初中账号20；邮箱：；学号：39888732