2023 人教版数学九年级下册开学测试卷（一）

这是一份2023 人教版数学九年级下册开学测试卷（一），文件包含2023人教版数学九年级下册开学测试卷一解析版docx、2023人教版数学九年级下册开学测试卷一原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

开学测试卷一
一．选择题（共12小题）
1．实数3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）

A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
5．估计的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．若x＝﹣3，y＝1，则代数式2x﹣3y+1的值为（　　）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．10
7．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinA＝
8．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）

A．
B．
C．
D．
9．若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
10．若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A． B．3π C．6π D．9π
11．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
12．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
二．填空题（共6小题）
13．分解因式：4x2﹣16y2＝　 　．
14．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是　 　．
15．一抹“凉都绿”，一杯生态茶．凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵树
3000
5000
8000
10000
20000
…
成活棵树
2690
4507
7195
9003
17998
…
成活率
0.8967
0.9014
0.8993
0.9003
0.8999
…
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为　 　（结果保留一位小数）．
16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B与双曲线分别交于点C，D．
下面四个结论：
①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；
②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；
③至少存在一个点P使S△PCD＝10；
④至少存在一个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．
所有正确结论的序号是　 　．

17．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　 　．

18．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果C，D旋转后分别落在点E，F的位置，那么∠EFD的正切值是　 　．

三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AE＝CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．

22．（8分）“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：
销售单价x（元/千克）
12
16
20
24
日销售量y（千克）
220
180
140
m
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据以上信息，填空：
①m＝　 　千克；
②当销售价格x＝　 　元时，日销售利润W最大，最大值是　 　元；
（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．
23．（9分）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ．
（1）若α＝60°，BQ＝CP．
①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；
②直接写出PA、PQ的数量关系；
（2）如图2，当α＝45°，PA＝PQ时．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段BQ与CP之间的数量关系，并证明．

24．（9分）如图在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当x1＝1，y2＝2．
①若A，B关于原点中心对称，则k＝　 　；
②若y1＝4，记线段AB中点的纵坐标为m，当x＝时的函数值为n，则m　 　n（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）当k＞0时，若x1＜0，x2＜0，则（+）　 　（填“≥”、“＝”或“≤”）．


开学测试卷一
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．实数3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数3的相反数是：﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3，
∴其顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看两次摸到球的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：易得共有3×3＝9种可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以概率是．
故选：B．

【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）

A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
5．估计的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
【解答】解：2+1＝+1，
∵4＜＜5，
∴5＜+1＜6，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜＜5是解题关键，又利用了不等式的性质．
6．若x＝﹣3，y＝1，则代数式2x﹣3y+1的值为（　　）
A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．10
【分析】代入后求出即可．
【解答】解：∵x＝﹣3，y＝1，
∴2x﹣3y+1＝2×（﹣3）﹣3×1+1＝﹣8，
故选：B．
【点评】本题考查了求代数式的值，能正确代入是解此题的关键，注意：代入负数时要有括号．
7．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinA＝
【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
则sinA＝，cosA＝，tanA＝，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
8．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．

∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH＝EJ＝x，
∴y＝EJ•GH＝x2．
当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．

y＝FJ•GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
9．若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【分析】通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用360°除以外角度数即可求出这个正多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，
∴其一个外角度数为180°﹣108°＝72°，
则这个正多边形的边数为360°÷72°＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，多边形的内角与外角公式，求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360°知识求解更简单．
10．若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A． B．3π C．6π D．9π
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：S扇形＝＝9π，
故选：D．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积＝＝lr（r是扇形的半径，l是扇形的弧长）．
11．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500＝7500000（平方米）＝7.5（平方千米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
12．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【分析】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3
【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，
解得≤m＜3，
当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为m≥．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题）
13．分解因式：4x2﹣16y2＝　4（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：4x2﹣16y2＝4（x2﹣4y2）＝4（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：4（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
14．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m的取值范围是　﹣2＜m＜1　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【解答】解：点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点为：（﹣2﹣m，1﹣m），
∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限，
∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0，
解得：﹣2＜m＜1．
故答案为：﹣2＜m＜1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
15．一抹“凉都绿”，一杯生态茶．凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵树
3000
5000
8000
10000
20000
…
成活棵树
2690
4507
7195
9003
17998
…
成活率
0.8967
0.9014
0.8993
0.9003
0.8999
…
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为　0.9　（结果保留一位小数）．
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种茶树种植成活的概率为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B与双曲线分别交于点C，D．
下面四个结论：
①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；
②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；
③至少存在一个点P使S△PCD＝10；
④至少存在一个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．
所有正确结论的序号是　①②④　．

【分析】设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过解S△PCD＝10，可对③进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对④进行判断．
【解答】解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），

∴S△AOC＝＝3，S△BOD＝＝3，
∴S△AOC＝S△BOD，
∴①正确；
∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，
∴S△POA＝S△POB，
∴②正确；
∵，
∴当﹣时，即3m2+4mn+3n2＝0，
∵△＝16n2﹣36n2＝﹣20n2＜0，
∴此方程m无解，
∴③错误；
∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（）＝3﹣，
∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，
∴m＝2n（舍去）或m＝﹣n，
此时P点为无数个，
∴④正确．
故答案为①②④．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
17．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 　1　．

【分析】方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
方法二：设DF，CE交于O，根据正方形的性质得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根据线段中点的定义得到BE＝CF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根据勾股定理得到CE＝DF＝＝，点G，H分别是EC，PC的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝，
∴AP＝AD﹣PD＝，
∴PE＝＝＝2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH＝EP＝1；
方法二：设DF，CE交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴BE＝CF，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CE＝DF＝＝，
∵点G，H分别是EC，PC的中点，
∴CG＝FH＝，
∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，
∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠FCO＝∠CDO，
∵∠DCF＝∠COF＝90°，
∴△COF∽△DOC，
∴＝，
∴CF2＝OF•DF，
∴OF＝＝＝，
∴OH＝，OD＝，
∵∠COF＝∠COD＝90°，
∴△COF∽△DCF，
∴，
∴OC2＝OF•OD，
∴OC＝＝，
∴OG＝CG﹣OC＝﹣＝，
∴HG＝＝＝1，
故答案为：1．

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果C，D旋转后分别落在点E，F的位置，那么∠EFD的正切值是　　．

【分析】作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、BD、CD、AD，根据旋转变换的性质得到∠FBD＝∠CBA，证明FB∥AH，根据四点共圆得到∠EFD＝∠GBD，求出tan∠GBD即可．
【解答】解：作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝3，
由勾股定理得，AH＝＝4，
×BC×AH＝×AC×BD，即6×4＝5×BD，
解得，BD＝，
∴CD＝＝，AD＝，
∵∠FBD＝∠CBA，
∴∠FBE＝∠DBC，
∵∠DBC+∠C＝90°，∠HAC+∠C＝90°，
∴∠FBE＝∠BAH，
∴FB∥AH，
∴∠FBC＝∠AHC＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠E＝∠ABC＝∠C＝∠EGA，
∴AG＝AE＝BE﹣AB＝BC﹣AB＝1，
∴DG＝，
∴∠F＝∠BDC＝90°，
∴F、B、D、G四点共圆，
∴∠EFD＝∠GBD，
∴tan∠GBD＝＝，
∴∠EFD的正切值是，
故答案为：．

【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用，掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、立方根的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣（2﹣）﹣3
＝1+4﹣2+﹣3
＝．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子，即可解答本题．
【解答】解：（2﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AE＝CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；
（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．

【分析】（1）连接DE，根据∠ABC＝90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE＝90°，根据CD⊥AC，AD＝CD，可证AE＝CE；
（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE即⊙O的直径求出；
（3）根据Rt△ADE∽Rt△EDF，＝n，可将DE的长表示出来，在Rt△CDE中，根据勾股定理可将CE的长表示出来，从而可将sin∠CAB的值求出．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵∠ABC＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC的中点
∴DE是AC的垂直平分线
∴AE＝CE；

（2）解：在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴
即
∴AE＝2cm；

（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，
∴∠ADE＝∠AEF＝90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴
∵，AD＝CD
∴CF＝nCD
∴DF＝（1+n）CD
∴DE＝CD
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2＝CD2+（CD）2＝（n+2）CD2
∴CE＝CD
∵∠CAB＝∠DEC
∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝＝＝．

【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形的性质和应用．
22．（8分）“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：
销售单价x（元/千克）
12
16
20
24
日销售量y（千克）
220
180
140
m
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据以上信息，填空：
①m＝　100　千克；
②当销售价格x＝　21　元时，日销售利润W最大，最大值是　1690　元；
（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，由待定系数法求解即可；
（2）①将x＝24代入一次函数解析式，计算即可得出m的值；②根据日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）写出函数关系式，并将其配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；
（3）根据题意，W＝﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，变形得出关于x的二次不等式，然后解一元二次方程，再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（12，220），（16，180）代入得：
，
解得：．
∴y＝﹣10x+340；
（2）①∵当x＝24时，y＝﹣10×24+340＝100，
∴m＝100．
故答案为：100；
②由题意得：
W＝（﹣10x+340）（x﹣8）
＝﹣10x2+420x﹣2720
＝﹣10（x﹣21）2+1690，
∵﹣10＜0，
∴当x＝21时，W有最大值为1690元．
故答案为：21，1690；
（3）由题意得：
W＝﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，
∴x2﹣42x+432≤0，
当x2﹣42x+432＝0时，
解得：x1＝18，x2＝24，
∵函数y＝x2﹣42x+432的二次项系数为正，图象开口向上，
∴18≤x≤24，
∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
23．（9分）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ．
（1）若α＝60°，BQ＝CP．
①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；
②直接写出PA、PQ的数量关系；
（2）如图2，当α＝45°，PA＝PQ时．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段BQ与CP之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）①如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°；
②作辅助线，证明△PCD'≌△PCQ，可得PA＝PQ；
（2）①依题意补全图形即可；
②如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△PAD≌△PQC（AAS），根据全等三角形的性质得AD＝CQ，可得出CD＝BQ．根据等腰直角三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，

∵∠ACM＝60°，
∴△ADC为等边三角形．
∴∠DAC＝60°．
∵C为AB的中点，Q为BC的中点，
∴AC＝BC＝2BQ．
∵BQ＝CP，
∴AC＝BC＝CD＝2CP．
∴AP平分∠DAC．
∴∠PAC＝∠PAD＝30°；
②如下图，将△APD绕点A顺时针旋转60°得△AD'C，连接CD'，

∴∠ACD'＝∠ADP＝60°，AP＝AD'，∠PAD'＝60°，CD'＝PD，
∴△APD'是等边三角形，
∴PD'＝AP，
∵CD＝AC＝BC，BQ＝CP，
∴PD＝CQ＝CD'，
∵∠PCQ＝180°﹣∠ACP＝120°，
∠PCD'＝∠ACP+∠ACD'＝120°，
∴∠PCD'＝∠PCQ，
在△PCD'和△PCQ中，
，
∴△PCD'≌△PCQ（SAS），
∴PD'＝PQ，
∴PA＝PQ；
（2）①依题意补全图形，如图：

②过点P作PC的垂线交AC于点D，如图2．
∵∠ACM＝45°，
∴∠PDC＝∠PCD＝45°．
∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．
∵PA＝PQ，
∴∠PAD＝∠PQC，
在△PAD和△PQC中，
，
∴△PAD≌△PQC（AAS）．
∴AD＝CQ．
∵AC＝BC，
∴CD＝BQ．
∵PD⊥PC，∠ACM＝45°，
∴CP2+PD2＝CD2，
∵PC＝PD，CD＝BQ．
∴2CP2＝BQ2，
∴BQ＝CP．
【点评】本题是三角形的综合题，考查三角形全等的性质和判定、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构建等边三角形和三角形全等，难度适中，属于中考常考题型．
24．（9分）如图在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当x1＝1，y2＝2．
①若A，B关于原点中心对称，则k＝　﹣2　；
②若y1＝4，记线段AB中点的纵坐标为m，当x＝时的函数值为n，则m　＞　n（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）当k＞0时，若x1＜0，x2＜0，则（+）　≤　（填“≥”、“＝”或“≤”）．

【分析】（1）①判断出A，B的坐标，可得结论．
②分别求出m，n的值，可得结论．
（2）利用图象法解决问题即可．
【解答】解：（1）①由题意A（1，﹣2），B（﹣1，2），
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．

②由题意A（1，4），
∴k＝4，
∴B（2，2），
∴m＝＝3，
∵n＝＝，
∴m＞n，
故答案为：＞．

（2）如图，不妨假设x1＜x2，AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，CD的中点为E，过点E作x轴的垂线交反比例函数的图象于K，交AB于J．

∴点K的纵坐标大于点J的纵坐标，
∴＞（+），
∴（+）＜，
当A，B重合时，（+）＝，
故答案为：≤．
【点评】本题考查反比例函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．

日期：2022/1/5 22:50:15；用户：初中账号20；邮箱：；学号：39888732