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浙江七年级上学期期末【压轴82题专练】-七年级数学上学期考试满分全攻略(浙教版）
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这是一份浙江七年级上学期期末【压轴82题专练】-七年级数学上学期考试满分全攻略(浙教版），文件包含浙江七年级上学期期末压轴82题专练解析版docx、浙江七年级上学期期末压轴82题专练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共166页， 欢迎下载使用。
浙江七年级上学期期末【压轴82题专练】
一、单选题
1．（2020·浙江杭州·七年级期末）某信用卡上的号码由17位数字组成，每一位数字写在下面的一个方格中，如果任何相邻的三个数字之和都等于20，则x+y的值等于（ ）．
A．18 B．11 C．7 D．4
2．（2020·浙江金华·七年级期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示91颗的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·浙江杭州·七年级期末）我们知道，不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数n，我们可以得到．同理可得，，．那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．1
4．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，已知在矩形ABCD内，将两张边长分别为5和3的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠）；矩形中末被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴部分的面积为当时，的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（2020·浙江杭州·七年级期末）将一个正方形剪成个小正方形，第一次操作按照图1所示，分割出4个正方形．第二次操作按如图2所示，分割出6个正方形，第三次操作按如图3所示，按照上述规律，则第次操作，正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·浙江杭州·七年级期末）将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐弯处，3在第2个拐弯处，5在第3个拐弯处，7在第4个拐弯处，……．那么，在第200个拐弯处的数是（ ）
A．10101 B．10001 C．399 D．398
8．（2020·浙江杭州·七年级期末）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张黑色正方形纸片，第2个图中有5张黑色正方形纸片，第3个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第n个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
…．
A．4n+1 B．3n+1 C．3n D．2n+1
9．（2020·浙江·温岭市实验学校七年级期末）设一列数a1，a2，a3，…，a2015，…中任意三个相邻的数之和都是20，已知a2＝2x，a18＝9+x，a65＝6﹣x，那么a2020的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
10．（2020·浙江杭州·七年级期末）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
11．（2020·浙江杭州·七年级期末）如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足，那么的值为________．
12．（2020·浙江杭州·七年级期末）若我们规定表示不小于x的最小整数，例如，，则以下结论：①；②；③的最小值是0；④存在实数x使成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
13．（2020·浙江杭州·七年级期末）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出______．
14．（2020·浙江杭州·七年级期末）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和-1，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2015次后，点B所对应的数是________．
15．（2020·浙江宁波·七年级期末）已知有理数，，满足，且，则_____．
16．（2020·浙江杭州·七年级期末）大于1的正整数的三次方都可以分解为若干个连续奇数的和，如，按此规律，若分解后，其中有一个奇数为1799，则m的值为____________．
17．（2020·浙江·七年级期末）把正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），，，，…，现用表示正奇数是第组第个数（从左往右数），如，则表示的数为_______，________．
18．（2020·浙江杭州·七年级期末）下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m为________，第n个正方形的中间数字为______．（用含n的代数式表示）
…………
19．（2020·浙江杭州·七年级期末）下列式子按一定规律排列：，，，，…，则第5个式子是_____则第个式子是______．
20．（2020·浙江杭州·七年级期末）下图各圆中三个数之间都有相同的规律，根据这个规律，探索第个圆中的________．（用含的代数式表示）．
21．（2020·浙江·七年级期末）图1是一把可折叠的软直尺，现将尺子的两端分别沿和折叠，使点A，B分别落至点，处（如图2）．当点E，C所在的刻度之差为10，且点A在点B的左侧时，点与的距离是原直尺长度的；若点与点的距离是原直尺长度的，则（1）原直尺的长度________；（2）点E，C所在的刻度之差为____________．
22．（2020·浙江杭州·七年级期末）将长为4宽为a（a大于1且小于4）的长方形纸片按如图所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按同样的方式操作，称为第二次操作；如此反复操作下去 ，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．
23．（2020·浙江杭州·七年级期末）有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是，底面的长是，宽是，水箱里盛有深为的水，若往水箱里放入棱长为的立方体铁块，则此时水深为______．（用含的代数式表示）
24．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．
25．（2020·浙江·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．
26．（2020·浙江金华·七年级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形（一边长为4）的盒子底部（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知阴影部分均为长方形，且图2与图3阴影部分周长之比为5：6，则盒子底部长方形的面积为_____．
三、解答题
27．（2020·浙江杭州·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ．
（3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）最小值是 ，的最小值是 ．
28．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足，点是数轴原点．
（1）点表示的数为_________，点表示的数为________，线段的长为________．
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为_________．
（3）现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？
29．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？
（3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？
30．（2020·浙江杭州·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
31．（2020·浙江杭州·七年级期末）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
【解决问题】
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
32．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知数轴上三点对应的数分别为，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为。
（1）三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点（把一条线段分成相等部分的点），那么的值是_________．
（2）数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是7？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点以每分钟3个单位长度的速度从原点向右运动时，点和点分别以每分钟4个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几分钟后，三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点
33．（2020·浙江杭州·七年级期末）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果：________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______；_______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算：________．
34．（2020·浙江·七年级期末）【阅读理解】求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”， 记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作aⓝ，读作“的圈次方”．
（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；
[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（2）（）ⓝ_________；（）ⓝ=____________．（且为正整数）；
[实践应用]
（3）计算
①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ（其中）
35．（2020·浙江杭州·七年级期末）若a、b互为相反数，若，并且m的立方等于它本身．
（1）求出m的值，并把b，m的位置标在数轴上；
（2）化简；
（3）请思考：x为有理数时，是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最值，若不存在，请说明理由．
36．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，点是数轴上的一个动点．
（1）求出、之间的距离；
（2）若到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数；
（3）数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数．
37．（2020·浙江杭州·七年级期末）请阅读以下材料完成下列问题：规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把把，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“-3的圈4次方”．一般地，把（n个a且），读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：________；________；________．
（2）计算：
38．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“白马有理数对”，记为，如：数对都是“白马有理数对”．
（1）数对中是“白马有理数对”的是_________；
（2）若是“白马有理数对”，求的值；
（3）若是“白马有理数对”，则是“白马有理数对”吗？请说明理由．
（4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）
39．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：______，______，______．
（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，则化简；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B、点C都以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离为，点A与点B之间的距离为，请问：的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
40．（2020·浙江·七年级期末）任何一个正整数n都可以这样分解：（p、q是正整数，且），则n的所有这种分解中，如果两因数p，q之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．
例如：18可以分解成或，则．
（1）计算：、．
（2）如果一个三位正整数（，x，y为自然数），交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整除，那么我们称这个数t为“心意数”．
①求所有满足条件的“心意数”t；
②对于满足“心意数”t中的x，y，设，求的最小值．
41．（2021·浙江·七年级期末）已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：________，________，__________；
（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，化简；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A、点C都以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离为，点B与点C之间的距离为，请问：的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求出的值．
42．（2020·浙江·七年级期末）如果一个两位数的个位数字是，十位数字是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 如果一个三位数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，那么我们可以把这个三位数简记为，即．
（1）若一个两位数满足，请求出，的数量关系并写出这个两位数．
（2）若规定：对任意一个三位数进行运算，得到整数． 如：． 若一个三位数满足，求这个三位数．
（3）已知一个三位数和一个两位数，若满足，请求出所有符合条件的三位数．
43．（2020·浙江·温岭市实验学校七年级期末）观察下面的三行单项式
x，2x2，4x3，8x4，16x5…①
﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5…②
2x，﹣3x2，5x3，﹣9x4，17x5…③
根据你发现的规律，完成以下各题：
（1）第①行第8个单项式为 ；第②行第2020个单项式为 ．
（2）第③行第n个单项式为 ．
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当x＝时，256（A+）的值．
44．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知关于的多项式，其中为互不相等的整数，且．
（1）求的值．
（2）当时，这个多项式的值为64，求的值．
（3）当时，求这个多项式的所有可能的值．
45．（2020·浙江杭州·七年级期末）（1）如图，长为，宽为的大长方形被分刚为8小块，除阴影外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．
①从图可知，每个小长方形较长一边长是_____（用含的代数式表示）．
②求图中两块阴的周长和（可以用含的代数式表示）．
（2）将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为，宽为，且，当长度不变而长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，与的差总保持不变，求满足的关系式．
①为解决上述问题，如图3，小明设，则可以表示出_____，______；
②求满足的关系式，写出推导过程．
46．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
47．（2022·浙江湖州·七年级期末）如图，数轴上的点从左往右依次A，B，C对应的数分别为a，b，c，且|a+3|+|b-6|=0，AB的距离比BC的距离大4，动点P从点A出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，同时动点Q从点B出发沿数轴以每秒2个单位的速度一直向右运动，当点P运动到点C之后立即以原速沿数轴一直向左运动，设运动的时间为t秒．
(1)填空：a＝ ，b＝ ，点Q在数轴上所表示的数为 （用含t的代数式表示）．
(2)当动点P从点A运动到点C过程中，Q点是PC的中点时，则点Q在数轴上所表示的数是多少？
(3)在整个运动过程中，是否存在t使得QB=2PC，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
48．（2021·浙江·七年级期末）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项的系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上三点所对应的数分别是．
（1）则_____，_____，_____．
（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到的距离和为44个单位？
（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点M和点N分别从点A和点C出发，向左运动，点M的速度1个单位/秒，点N的速度5个单位/秒，设点所对应的数分别是，点N出发的时间为t，当时，求的值．
49．（2021·浙江·七年级期末）如图，点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，5秒后，两点相距15个单位长度，已知点B的速度是点A的速度的2倍（速度单位：单位长度/秒）．
（1）求出点A、点B运动的速度；并在数轴上标出A、B两点从原点O出发运动5秒时的位置．
（2）若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，
①t秒后，A点所表示的数为________，B点所表示的数为_________．
②再过几秒，A、B两点重合？
③再过几秒，可以让A、B、O三点中一点是另外两点所成线段的中点？
50．（2021·浙江·七年级期末）如图A在数轴上所对应的数为．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
51．（2020·浙江·七年级期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，关于x，y的多项式是6次多项式，且常数项为．
（1）点A表示的数为_______；
（2）点B表示的数为_______．
（3）某学校无人机社团接到一个无人机飞行任务，小陈同学在数轴上做模拟测试．若1号无人机从点A处以1个单位/秒的速度向右飞行；同时2号无人机从点B处以2个单位/秒的速度也向右飞行，且飞到原点处立即以原来的速度向相反负方向飞行．设无人机飞行的时间为t（秒）．
①当时，1号无人机与原点的距离是______；2号无人机的位置在数轴上所对应的数是______．
②试探究：两架无人机与原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由：若能，请直接写出此时t的值．
52．（2021·浙江·七年级期末）如图，数轴上一点A对应的数是，数轴上一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着数轴正方向匀速运动，设运动时间为秒．
（1）当时，点P表示的数是________．
（2）当点O，P之间的距离是2个单位长度时，求t的值．
（3）点P出发的同时，另一个动点Q从数轴上某一点B出发，沿一个方向匀速运动，它们恰好同时到达原点O，且当时，点P，Q之间的距离是6个单位长度，则点B表示的数为_______（直接写出答案）．
53．（2020·浙江·七年级期末）已知数轴上点A对应的数为，点B在点A右侧，且A，B两点间的距离为8，点P为数轴上一动点，点C在原点位置．
（1）点B的数为_________；
（2）①若点P到点A的距离比到点B的距离大2，点P对应的数为_______；
②数轴上是否存在点P，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（3）已知在数轴上存在点P，当点P到点A的距离与点P到点C的距离之和等于点P到点B的距离时，点P对应的数为__________．
54．（2020·浙江·七年级期末）【阅读理解】
A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是（A，B）的“和谐点”．例如：如图①，点A表示的数为，点B表示的数为3，表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，则点C是（A，B）的“和谐点”：又比如表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，则点D就不是（A，B）的“和谐点”．但点D是（B，A）的“和谐点”．
【知识应用】
（1）如图②，M，N为数轴上的两点，点M表示的数为，点N表示的数为8，则数________表示的点是（M，N）的“和谐点”
（2）如图③，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为45，现有一直电子蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，到达点B时停止设P的运动时间为，当t为何止时，P，A，B中恰好有一个点为其余两个点的“和谐点”？
55．（2020·浙江·七年级期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间，动点Q从点C运动至A点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出两点相遇所需时间；
（3）求当t为何值时，P，O两点在数轴上相距的度与Q、B分两点在数轴上相距的长度相等．
56．（2020·浙江杭州·七年级期末）阅读理解：
某节数学课上，钱老师在复习数轴上的点与数之间的关系时，给出了新的定义：
若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们就称C是的黄金点．
例如，如图①，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的黄金点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的黄金点．
【知识运用】
（1）如图②，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为，点F所表示的数为2．数________所表示的点是的黄金点．
（2）如图③，若数所表示的点G是的黄金点，当点M在点N的右侧，且点N所表示的数为时，此时点M所表示的数为___________．
（3）如图④，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为50．现有一只电子蜗牛P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的黄金点．（请直接写出答案）
57．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．
（1）在图1的数轴上，_________个长度单位；数轴上一个长度单位对应刻度尺上的______；
（2）求数轴上点B所对应的数b；
（3）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数．
（4）若点Q在数轴上表示的数为x，则的最小值为_______，的最大值为__________．
58．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知若数轴上点、点表示的数分别为，则，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
（1）填空：
①两点间的距离______，线段的中点表示的数为_____；
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为______．
（2）求当为何值时，两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
（3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
59．（2020·浙江·七年级期末）如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为，记为．
请结合数轴解决问题：
（1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，，则点N表示的数是___________；
（2）如图2，在数轴上有两个动点C，D都沿着正方向同时移动，其中C点的速度为每秒4个单位，D点的速度为每秒3个单位，点C从数轴上表示的点出发，点D从数轴上原点出发，设运动时间为秒．
①当时，求C，D两点之间的距离．
②当t为何值时，C，D两点相遇，求t的值和相遇点表示的数是什么？
③当t为何值时，C，D两点间的距离为2个单位长度？
60．（2020·浙江·七年级期末）已知点A、B在数轴上的位置如图．
（1）若点P在数轴上，且，求点P对应的数；
（2）若点M在数轴上，且．求M点对应的数；
（3）点A、B、O分别以5单位，2单位，1单位的速度同时向右运动，几秒后，O点恰好为线段的中点？
61．（2020·浙江·七年级期末）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离相等，已知点表示，点表示6
（1）表示原点的点是________，点表示的数是________；
（2）数轴上有两点，点到点的距离为，点到点的距离为4，则点之间的距离是____________________；
（3）点为数轴上一点，点到点的距离是点到点的距离的3倍，则点表示的数是____________．
62．（2020·浙江·七年级期末）点A，B在数轴上对应的数分别为a， b， 且a，b满足， 点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点Q从点B出发， 以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动；
（1）求点P运动t秒后，在数轴上对应的数（结果用含t的代数式表示）；
（2）求PQ相距8个单位时，点P运动的时间；
（3）在点P，Q开始运动的同时，又有一点M从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动．当运动时间为t秒时，求 ．
63．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知，原点O是线段AB上的一点，且．
（1）求a，b的值；
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q重两点停止运动，当t为何值时，；
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后点M就停止运动．求点M停止时，点M在数轴上所对应的数．
64．（2020·浙江宁波·七年级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示和2两点之间的距离是________；
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______；
（2）请你利用（1）中的知识，写出的最小值为___________；
（3）数轴上有三点，它们表示的数分别为，2和0，现点A以1个单位/秒的速度沿着数轴向右运动，点B以2个单位/秒的速度沿着数轴向左运动，经过t秒后，线段的长度是线段长度的倍，求出相应的t的值．
65．（2020·浙江·七年级期末）已知实数，，在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且，，满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB．
（1） ， ， ；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则 ， ；（结果用含t的代数式表示）这种情况下，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B 变为以每秒n（）个单位长度的速度向右运动，当时，，求n的值．
66．（2020·浙江杭州·七年级期末）【阅读理解】如果点在数轴上分别表示实数，在数轴上两点之间的距离表示为或或．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点与点的距离为12个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒2个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
（1）点表示的数为____，点表示的数为____．
（2）用含的代数式表示到点和点的距离：____，____．
（3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒4个单位的速度向点运动，点到达点后停止．在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数：如果不能，请说明理由．
67．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，已知在数轴上有A，B两点，A，B两点所表示的有理数分别为和，且m是绝对值最小的数，n是最小的正整数．
（1）A，B两点之间的距离是________．
（2）现有两动点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点Q以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，当P、Q两点的距离是A、B两点距离的2倍时停止运动，则此时点P、点Q所对应的数分别是多少？
（3）当点P、点Q在（2）问中停止运动的位置时，再一次同时出发，以新的速度点P向右匀速运动，点Q向左匀速运动，已知点P的速度为每秒6个单位长度，当P、A两点的距离是P、B两点距离的3倍时，此时点Q与点A的距离恰好为1个单位长度，则点Q的速度是每秒多少个单位长度？
68．（2020·浙江·七年级期末）已知数轴上（单位长度为1）两点A，B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）当点P以每秒5个单位长度的速度从原点向右运动时，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度向右运动，问它们同时出发，几秒后点P到点A、点B的距离相等？
69．（2020·浙江杭州·七年级期末）【给出定义】数轴上顺次有三点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就称点是（）的“梦想点”例如：图①中，点表示的数分别为、2，表示数1的点是（）的“梦想点”；图②中，点表示对的数分别为、2，表示的点是（）的“梦想点”．
图1
图2
【解决问题】
（1）若数轴上两点所表示的数分别为，且满足，则_____，_____．（）的“梦想点”表示的数为________；
（2）如图3，在数轴上点表示的数分别为和5，点从点出发沿数轴向右运动；
图3
备用图
①若点运动到点停止，则当中恰好有一个点为其余两个点的“梦想点”时，求这个点表示的数；
②若点运动到后，继续沿数轴向右运动的过程中，是否还存在点中恰好有一个点为其余两点的“梦想点”的情况？若存在，请直接写出此时点的表示的数：若不存在，
70．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．
（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
71．（2022·浙江宁波·七年级期末）【定义】如图1，平分，则称射线关于对称．
(1)【理解题意】如图1，射线关于对称且，则_______度；
(2)【应用实际】 如图 2，若在内部，关于对称， 关于对称， 求的度数；
(3)如图3, 若在外部，且关于对称，关于对称，求的度数；
(4)【拓展提升】 如图4， 若关于的边对称， ，求 ．（直接写出答案）
72．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．
(1)若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，
①若点C表示的数是3，求线段MN的长．
②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．
(2)若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数．
73．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数．
(2)如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
(3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由．
74．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第几秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
75．（2021·浙江金华·七年级期末）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
76．（2021·浙江金华·七年级期末）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图①，若，求的度数；
（2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）；
（3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由．
77．（2021·浙江宁波·七年级期末）新定义问题
如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为_______；
【解决问题】
（3）如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的值．
78．（2020·浙江·七年级期末）一段公路米，点是公路上的充电站，其中，现在有甲、乙两辆智能垃圾清扫车从充电站同时出发（如图所示），沿相反方向分别开始对路段的清扫工作，其中甲的速度为每分钟6米，乙的速度为每分钟12米，两车清扫完各自路段（即完成清扫任务后）按原来速度原路返回到站充电．
（1）甲车清扫完路段需共______分钟；乙车清扫完路段需花______分钟；
（2）当两车之间的距离在60米以内时，能互相接收到对方信号，请问接收不到对方信号的时间总共有多长？
（3）某一天早上6点两车同时开始清扫工作，但是当出发25分钟后，乙车发生故障，此时甲车接到指令，完成自己路段的清扫工作后，支援乙车完成路段的剩余工作任务．若甲车速度始终不变，问能否在当天上午9点前完成全部清扫工作？若不能完成，那么甲车在完成自己路段的清扫工作后需要将速度提高到每分钟多少米才能恰好在规定时间内完成全部清扫任务？
79．（2021·浙江宁波·七年级期末）如图1，点O在直线上，过点O引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．
（1）的度数是___________，图1中与它互补的角是___________．
（2）三角尺旋转的度数可表示为___________（用含t的代数式表示）：当___________时，．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，，并说明理由？
（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
80．（2020·浙江杭州·七年级期末）操作探究：将两块相同的直角三角板（含有角）如图1摆放在直线上，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至与射线重合时停止．设旋转时间为t秒．
（1）若三角板保持不动，如图2，当时，试判断和是否相等，并说明理由；
（2）若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转至与射线重合时停止．
①在三角板停止运动之前，求和的度数（用含t的代数式表示）；
②定义：能把一个角分成的两部分的直线叫做该角的三分线，当直线为的三分线时，求t的值．
81．（2020·浙江·温岭市实验学校七年级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝AB，则dC﹣AB＝；反过来，当dC﹣AB＝时，则有AC＝AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义．
应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝ ；
（2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts．
①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系；
②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？
拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB．
82．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．
（1）填空：①A、B两点间的距离________，线段AB的中点表示的数为________；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________；
（2）求当t为何值时，；
（3）当点P运动到点B的右侧时，线段PA的中点为M，N为线段PB的三等分点且靠近于P点，求的值．
浙江七年级上学期期末【压轴82题专练】
一、单选题
1．（2020·浙江杭州·七年级期末）某信用卡上的号码由17位数字组成，每一位数字写在下面的一个方格中，如果任何相邻的三个数字之和都等于20，则x+y的值等于（ ）．
A．18 B．11 C．7 D．4
2．（2020·浙江金华·七年级期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示91颗的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·浙江杭州·七年级期末）我们知道，不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数n，我们可以得到．同理可得，，．那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．1
4．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为，第2幅图形中“”的个数为，第3幅图形中“”的个数为，…，以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，已知在矩形ABCD内，将两张边长分别为5和3的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠）；矩形中末被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴部分的面积为当时，的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（2020·浙江杭州·七年级期末）将一个正方形剪成个小正方形，第一次操作按照图1所示，分割出4个正方形．第二次操作按如图2所示，分割出6个正方形，第三次操作按如图3所示，按照上述规律，则第次操作，正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·浙江杭州·七年级期末）将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐弯处，3在第2个拐弯处，5在第3个拐弯处，7在第4个拐弯处，……．那么，在第200个拐弯处的数是（ ）
A．10101 B．10001 C．399 D．398
8．（2020·浙江杭州·七年级期末）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张黑色正方形纸片，第2个图中有5张黑色正方形纸片，第3个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第n个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
…．
A．4n+1 B．3n+1 C．3n D．2n+1
9．（2020·浙江·温岭市实验学校七年级期末）设一列数a1，a2，a3，…，a2015，…中任意三个相邻的数之和都是20，已知a2＝2x，a18＝9+x，a65＝6﹣x，那么a2020的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
10．（2020·浙江杭州·七年级期末）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
11．（2020·浙江杭州·七年级期末）如果有4个不同的正整数a、b、c、d满足，那么的值为________．
12．（2020·浙江杭州·七年级期末）若我们规定表示不小于x的最小整数，例如，，则以下结论：①；②；③的最小值是0；④存在实数x使成立．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）
13．（2020·浙江杭州·七年级期末）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出______．
14．（2020·浙江杭州·七年级期末）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和-1，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2015次后，点B所对应的数是________．
15．（2020·浙江宁波·七年级期末）已知有理数，，满足，且，则_____．
16．（2020·浙江杭州·七年级期末）大于1的正整数的三次方都可以分解为若干个连续奇数的和，如，按此规律，若分解后，其中有一个奇数为1799，则m的值为____________．
17．（2020·浙江·七年级期末）把正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），，，，…，现用表示正奇数是第组第个数（从左往右数），如，则表示的数为_______，________．
18．（2020·浙江杭州·七年级期末）下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m为________，第n个正方形的中间数字为______．（用含n的代数式表示）
…………
19．（2020·浙江杭州·七年级期末）下列式子按一定规律排列：，，，，…，则第5个式子是_____则第个式子是______．
20．（2020·浙江杭州·七年级期末）下图各圆中三个数之间都有相同的规律，根据这个规律，探索第个圆中的________．（用含的代数式表示）．
21．（2020·浙江·七年级期末）图1是一把可折叠的软直尺，现将尺子的两端分别沿和折叠，使点A，B分别落至点，处（如图2）．当点E，C所在的刻度之差为10，且点A在点B的左侧时，点与的距离是原直尺长度的；若点与点的距离是原直尺长度的，则（1）原直尺的长度________；（2）点E，C所在的刻度之差为____________．
22．（2020·浙江杭州·七年级期末）将长为4宽为a（a大于1且小于4）的长方形纸片按如图所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按同样的方式操作，称为第二次操作；如此反复操作下去 ，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．
23．（2020·浙江杭州·七年级期末）有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是，底面的长是，宽是，水箱里盛有深为的水，若往水箱里放入棱长为的立方体铁块，则此时水深为______．（用含的代数式表示）
24．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．
25．（2020·浙江·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．
26．（2020·浙江金华·七年级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形（一边长为4）的盒子底部（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知阴影部分均为长方形，且图2与图3阴影部分周长之比为5：6，则盒子底部长方形的面积为_____．
三、解答题
27．（2020·浙江杭州·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ．
（3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）最小值是 ，的最小值是 ．
28．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足，点是数轴原点．
（1）点表示的数为_________，点表示的数为________，线段的长为________．
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为_________．
（3）现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度？
29．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？
（3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？
30．（2020·浙江杭州·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
31．（2020·浙江杭州·七年级期末）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
【解决问题】
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
32．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知数轴上三点对应的数分别为，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为。
（1）三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点（把一条线段分成相等部分的点），那么的值是_________．
（2）数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是7？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点以每分钟3个单位长度的速度从原点向右运动时，点和点分别以每分钟4个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几分钟后，三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点
33．（2020·浙江杭州·七年级期末）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果：________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______；_______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算：________．
34．（2020·浙江·七年级期末）【阅读理解】求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”， 记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作aⓝ，读作“的圈次方”．
（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；
[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（2）（）ⓝ_________；（）ⓝ=____________．（且为正整数）；
[实践应用]
（3）计算
①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ（其中）
35．（2020·浙江杭州·七年级期末）若a、b互为相反数，若，并且m的立方等于它本身．
（1）求出m的值，并把b，m的位置标在数轴上；
（2）化简；
（3）请思考：x为有理数时，是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最值，若不存在，请说明理由．
36．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知、在数轴上对应的数分别用、表示，且，点是数轴上的一个动点．
（1）求出、之间的距离；
（2）若到点和点的距离相等，求出此时点所对应的数；
（3）数轴上一点距点个单位长度，其对应的数满足．当点满足时，求点对应的数．
37．（2020·浙江杭州·七年级期末）请阅读以下材料完成下列问题：规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把把，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“-3的圈4次方”．一般地，把（n个a且），读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：________；________；________．
（2）计算：
38．（2020·浙江杭州·七年级期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“白马有理数对”，记为，如：数对都是“白马有理数对”．
（1）数对中是“白马有理数对”的是_________；
（2）若是“白马有理数对”，求的值；
（3）若是“白马有理数对”，则是“白马有理数对”吗？请说明理由．
（4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）
39．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：______，______，______．
（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，则化简；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B、点C都以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离为，点A与点B之间的距离为，请问：的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
40．（2020·浙江·七年级期末）任何一个正整数n都可以这样分解：（p、q是正整数，且），则n的所有这种分解中，如果两因数p，q之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．
例如：18可以分解成或，则．
（1）计算：、．
（2）如果一个三位正整数（，x，y为自然数），交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整除，那么我们称这个数t为“心意数”．
①求所有满足条件的“心意数”t；
②对于满足“心意数”t中的x，y，设，求的最小值．
41．（2021·浙江·七年级期末）已知b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足，请回答下列问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：________，________，__________；
（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点（不包括B、C两点），其对应的数为m，化简；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒一个单位长度的速度向左运动，同时点A、点C都以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离为，点B与点C之间的距离为，请问：的值是否随着t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求出的值．
42．（2020·浙江·七年级期末）如果一个两位数的个位数字是，十位数字是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 如果一个三位数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，那么我们可以把这个三位数简记为，即．
（1）若一个两位数满足，请求出，的数量关系并写出这个两位数．
（2）若规定：对任意一个三位数进行运算，得到整数． 如：． 若一个三位数满足，求这个三位数．
（3）已知一个三位数和一个两位数，若满足，请求出所有符合条件的三位数．
43．（2020·浙江·温岭市实验学校七年级期末）观察下面的三行单项式
x，2x2，4x3，8x4，16x5…①
﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5…②
2x，﹣3x2，5x3，﹣9x4，17x5…③
根据你发现的规律，完成以下各题：
（1）第①行第8个单项式为 ；第②行第2020个单项式为 ．
（2）第③行第n个单项式为 ．
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当x＝时，256（A+）的值．
44．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知关于的多项式，其中为互不相等的整数，且．
（1）求的值．
（2）当时，这个多项式的值为64，求的值．
（3）当时，求这个多项式的所有可能的值．
45．（2020·浙江杭州·七年级期末）（1）如图，长为，宽为的大长方形被分刚为8小块，除阴影外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．
①从图可知，每个小长方形较长一边长是_____（用含的代数式表示）．
②求图中两块阴的周长和（可以用含的代数式表示）．
（2）将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为，宽为，且，当长度不变而长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，与的差总保持不变，求满足的关系式．
①为解决上述问题，如图3，小明设，则可以表示出_____，______；
②求满足的关系式，写出推导过程．
46．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
47．（2022·浙江湖州·七年级期末）如图，数轴上的点从左往右依次A，B，C对应的数分别为a，b，c，且|a+3|+|b-6|=0，AB的距离比BC的距离大4，动点P从点A出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，同时动点Q从点B出发沿数轴以每秒2个单位的速度一直向右运动，当点P运动到点C之后立即以原速沿数轴一直向左运动，设运动的时间为t秒．
(1)填空：a＝ ，b＝ ，点Q在数轴上所表示的数为 （用含t的代数式表示）．
(2)当动点P从点A运动到点C过程中，Q点是PC的中点时，则点Q在数轴上所表示的数是多少？
(3)在整个运动过程中，是否存在t使得QB=2PC，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
48．（2021·浙江·七年级期末）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项的系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上三点所对应的数分别是．
（1）则_____，_____，_____．
（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到的距离和为44个单位？
（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点M和点N分别从点A和点C出发，向左运动，点M的速度1个单位/秒，点N的速度5个单位/秒，设点所对应的数分别是，点N出发的时间为t，当时，求的值．
49．（2021·浙江·七年级期末）如图，点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，5秒后，两点相距15个单位长度，已知点B的速度是点A的速度的2倍（速度单位：单位长度/秒）．
（1）求出点A、点B运动的速度；并在数轴上标出A、B两点从原点O出发运动5秒时的位置．
（2）若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，
①t秒后，A点所表示的数为________，B点所表示的数为_________．
②再过几秒，A、B两点重合？
③再过几秒，可以让A、B、O三点中一点是另外两点所成线段的中点？
50．（2021·浙江·七年级期末）如图A在数轴上所对应的数为．
（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．
51．（2020·浙江·七年级期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，关于x，y的多项式是6次多项式，且常数项为．
（1）点A表示的数为_______；
（2）点B表示的数为_______．
（3）某学校无人机社团接到一个无人机飞行任务，小陈同学在数轴上做模拟测试．若1号无人机从点A处以1个单位/秒的速度向右飞行；同时2号无人机从点B处以2个单位/秒的速度也向右飞行，且飞到原点处立即以原来的速度向相反负方向飞行．设无人机飞行的时间为t（秒）．
①当时，1号无人机与原点的距离是______；2号无人机的位置在数轴上所对应的数是______．
②试探究：两架无人机与原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由：若能，请直接写出此时t的值．
52．（2021·浙江·七年级期末）如图，数轴上一点A对应的数是，数轴上一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着数轴正方向匀速运动，设运动时间为秒．
（1）当时，点P表示的数是________．
（2）当点O，P之间的距离是2个单位长度时，求t的值．
（3）点P出发的同时，另一个动点Q从数轴上某一点B出发，沿一个方向匀速运动，它们恰好同时到达原点O，且当时，点P，Q之间的距离是6个单位长度，则点B表示的数为_______（直接写出答案）．
53．（2020·浙江·七年级期末）已知数轴上点A对应的数为，点B在点A右侧，且A，B两点间的距离为8，点P为数轴上一动点，点C在原点位置．
（1）点B的数为_________；
（2）①若点P到点A的距离比到点B的距离大2，点P对应的数为_______；
②数轴上是否存在点P，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（3）已知在数轴上存在点P，当点P到点A的距离与点P到点C的距离之和等于点P到点B的距离时，点P对应的数为__________．
54．（2020·浙江·七年级期末）【阅读理解】
A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是（A，B）的“和谐点”．例如：如图①，点A表示的数为，点B表示的数为3，表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，则点C是（A，B）的“和谐点”：又比如表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，则点D就不是（A，B）的“和谐点”．但点D是（B，A）的“和谐点”．
【知识应用】
（1）如图②，M，N为数轴上的两点，点M表示的数为，点N表示的数为8，则数________表示的点是（M，N）的“和谐点”
（2）如图③，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为45，现有一直电子蚂蚁P从点A出发，以每秒3个单位的速度向右运动，到达点B时停止设P的运动时间为，当t为何止时，P，A，B中恰好有一个点为其余两个点的“和谐点”？
55．（2020·浙江·七年级期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间，动点Q从点C运动至A点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出两点相遇所需时间；
（3）求当t为何值时，P，O两点在数轴上相距的度与Q、B分两点在数轴上相距的长度相等．
56．（2020·浙江杭州·七年级期末）阅读理解：
某节数学课上，钱老师在复习数轴上的点与数之间的关系时，给出了新的定义：
若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们就称C是的黄金点．
例如，如图①，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的黄金点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的黄金点．
【知识运用】
（1）如图②，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为，点F所表示的数为2．数________所表示的点是的黄金点．
（2）如图③，若数所表示的点G是的黄金点，当点M在点N的右侧，且点N所表示的数为时，此时点M所表示的数为___________．
（3）如图④，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为50．现有一只电子蜗牛P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的黄金点．（请直接写出答案）
57．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．
（1）在图1的数轴上，_________个长度单位；数轴上一个长度单位对应刻度尺上的______；
（2）求数轴上点B所对应的数b；
（3）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数．
（4）若点Q在数轴上表示的数为x，则的最小值为_______，的最大值为__________．
58．（2020·浙江杭州·七年级期末）已知若数轴上点、点表示的数分别为，则，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
（1）填空：
①两点间的距离______，线段的中点表示的数为_____；
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为______．
（2）求当为何值时，两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
（3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
59．（2020·浙江·七年级期末）如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为，记为．
请结合数轴解决问题：
（1）点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，，则点N表示的数是___________；
（2）如图2，在数轴上有两个动点C，D都沿着正方向同时移动，其中C点的速度为每秒4个单位，D点的速度为每秒3个单位，点C从数轴上表示的点出发，点D从数轴上原点出发，设运动时间为秒．
①当时，求C，D两点之间的距离．
②当t为何值时，C，D两点相遇，求t的值和相遇点表示的数是什么？
③当t为何值时，C，D两点间的距离为2个单位长度？
60．（2020·浙江·七年级期末）已知点A、B在数轴上的位置如图．
（1）若点P在数轴上，且，求点P对应的数；
（2）若点M在数轴上，且．求M点对应的数；
（3）点A、B、O分别以5单位，2单位，1单位的速度同时向右运动，几秒后，O点恰好为线段的中点？
61．（2020·浙江·七年级期末）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离相等，已知点表示，点表示6
（1）表示原点的点是________，点表示的数是________；
（2）数轴上有两点，点到点的距离为，点到点的距离为4，则点之间的距离是____________________；
（3）点为数轴上一点，点到点的距离是点到点的距离的3倍，则点表示的数是____________．
62．（2020·浙江·七年级期末）点A，B在数轴上对应的数分别为a， b， 且a，b满足， 点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点Q从点B出发， 以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动；
（1）求点P运动t秒后，在数轴上对应的数（结果用含t的代数式表示）；
（2）求PQ相距8个单位时，点P运动的时间；
（3）在点P，Q开始运动的同时，又有一点M从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动．当运动时间为t秒时，求 ．
63．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知，原点O是线段AB上的一点，且．
（1）求a，b的值；
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q重两点停止运动，当t为何值时，；
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后点M就停止运动．求点M停止时，点M在数轴上所对应的数．
64．（2020·浙江宁波·七年级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示和2两点之间的距离是________；
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么______；
（2）请你利用（1）中的知识，写出的最小值为___________；
（3）数轴上有三点，它们表示的数分别为，2和0，现点A以1个单位/秒的速度沿着数轴向右运动，点B以2个单位/秒的速度沿着数轴向左运动，经过t秒后，线段的长度是线段长度的倍，求出相应的t的值．
65．（2020·浙江·七年级期末）已知实数，，在数轴上所对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，且，，满足．两点之间的距离可用这两点对应的字母表示，如：点A与点B之间的距离可表示为AB．
（1） ， ， ；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，则 ， ；（结果用含t的代数式表示）这种情况下，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）若A，C两点的运动和（2）中保持不变，点B 变为以每秒n（）个单位长度的速度向右运动，当时，，求n的值．
66．（2020·浙江杭州·七年级期末）【阅读理解】如果点在数轴上分别表示实数，在数轴上两点之间的距离表示为或或．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点与点的距离为12个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒2个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
（1）点表示的数为____，点表示的数为____．
（2）用含的代数式表示到点和点的距离：____，____．
（3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒4个单位的速度向点运动，点到达点后停止．在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点表示的数：如果不能，请说明理由．
67．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，已知在数轴上有A，B两点，A，B两点所表示的有理数分别为和，且m是绝对值最小的数，n是最小的正整数．
（1）A，B两点之间的距离是________．
（2）现有两动点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点Q以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，当P、Q两点的距离是A、B两点距离的2倍时停止运动，则此时点P、点Q所对应的数分别是多少？
（3）当点P、点Q在（2）问中停止运动的位置时，再一次同时出发，以新的速度点P向右匀速运动，点Q向左匀速运动，已知点P的速度为每秒6个单位长度，当P、A两点的距离是P、B两点距离的3倍时，此时点Q与点A的距离恰好为1个单位长度，则点Q的速度是每秒多少个单位长度？
68．（2020·浙江·七年级期末）已知数轴上（单位长度为1）两点A，B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）当点P以每秒5个单位长度的速度从原点向右运动时，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度向右运动，问它们同时出发，几秒后点P到点A、点B的距离相等？
69．（2020·浙江杭州·七年级期末）【给出定义】数轴上顺次有三点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就称点是（）的“梦想点”例如：图①中，点表示的数分别为、2，表示数1的点是（）的“梦想点”；图②中，点表示对的数分别为、2，表示的点是（）的“梦想点”．
图1
图2
【解决问题】
（1）若数轴上两点所表示的数分别为，且满足，则_____，_____．（）的“梦想点”表示的数为________；
（2）如图3，在数轴上点表示的数分别为和5，点从点出发沿数轴向右运动；
图3
备用图
①若点运动到点停止，则当中恰好有一个点为其余两个点的“梦想点”时，求这个点表示的数；
②若点运动到后，继续沿数轴向右运动的过程中，是否还存在点中恰好有一个点为其余两点的“梦想点”的情况？若存在，请直接写出此时点的表示的数：若不存在，
70．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动．） 当点P到达B点时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为x．
（1）当x=3时，线段PQ的长为 ．
（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长．
（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
71．（2022·浙江宁波·七年级期末）【定义】如图1，平分，则称射线关于对称．
(1)【理解题意】如图1，射线关于对称且，则_______度；
(2)【应用实际】 如图 2，若在内部，关于对称， 关于对称， 求的度数；
(3)如图3, 若在外部，且关于对称，关于对称，求的度数；
(4)【拓展提升】 如图4， 若关于的边对称， ，求 ．（直接写出答案）
72．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．
(1)若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，
①若点C表示的数是3，求线段MN的长．
②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．
(2)若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数．
73．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数．
(2)如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
(3)将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由．
74．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第几秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
75．（2021·浙江金华·七年级期末）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
76．（2021·浙江金华·七年级期末）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图①，若，求的度数；
（2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）；
（3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由．
77．（2021·浙江宁波·七年级期末）新定义问题
如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为_______；
【解决问题】
（3）如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的值．
78．（2020·浙江·七年级期末）一段公路米，点是公路上的充电站，其中，现在有甲、乙两辆智能垃圾清扫车从充电站同时出发（如图所示），沿相反方向分别开始对路段的清扫工作，其中甲的速度为每分钟6米，乙的速度为每分钟12米，两车清扫完各自路段（即完成清扫任务后）按原来速度原路返回到站充电．
（1）甲车清扫完路段需共______分钟；乙车清扫完路段需花______分钟；
（2）当两车之间的距离在60米以内时，能互相接收到对方信号，请问接收不到对方信号的时间总共有多长？
（3）某一天早上6点两车同时开始清扫工作，但是当出发25分钟后，乙车发生故障，此时甲车接到指令，完成自己路段的清扫工作后，支援乙车完成路段的剩余工作任务．若甲车速度始终不变，问能否在当天上午9点前完成全部清扫工作？若不能完成，那么甲车在完成自己路段的清扫工作后需要将速度提高到每分钟多少米才能恰好在规定时间内完成全部清扫任务？
79．（2021·浙江宁波·七年级期末）如图1，点O在直线上，过点O引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．
（1）的度数是___________，图1中与它互补的角是___________．
（2）三角尺旋转的度数可表示为___________（用含t的代数式表示）：当___________时，．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，，并说明理由？
（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
80．（2020·浙江杭州·七年级期末）操作探究：将两块相同的直角三角板（含有角）如图1摆放在直线上，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至与射线重合时停止．设旋转时间为t秒．
（1）若三角板保持不动，如图2，当时，试判断和是否相等，并说明理由；
（2）若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当旋转至与射线重合时停止．
①在三角板停止运动之前，求和的度数（用含t的代数式表示）；
②定义：能把一个角分成的两部分的直线叫做该角的三分线，当直线为的三分线时，求t的值．
81．（2020·浙江·温岭市实验学校七年级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝AB，则dC﹣AB＝；反过来，当dC﹣AB＝时，则有AC＝AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义．
应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝ ；
（2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts．
①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系；
②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？
拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB．
82．（2020·浙江杭州·七年级期末）如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．
（1）填空：①A、B两点间的距离________，线段AB的中点表示的数为________；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________；
（2）求当t为何值时，；
（3）当点P运动到点B的右侧时，线段PA的中点为M，N为线段PB的三等分点且靠近于P点，求的值．
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