第6讲 2023高考热点分类提分复习 导数求切线及公切线归类

第6讲 导数求切线及公切线归类 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc12181" 【题型一】 求切线基础型：给切点求切线  PAGEREF _Toc12181 1 HYPERLINK \l "_Toc11593" 【题型二】 求切线基础型：有切线无切点求切点  PAGEREF _Toc11593 3 HYPERLINK \l "_Toc29458" 【题型三】 求切线基础：无切点求参  PAGEREF _Toc29458 5 HYPERLINK \l "_Toc3897" 【题型四】 无切点多参  PAGEREF _Toc3897 6 HYPERLINK \l "_Toc13231" 【题型五】 “过点”型切线  PAGEREF _Toc13231 7 HYPERLINK \l "_Toc22331" 【题型六】 判断切线条数  PAGEREF _Toc22331 9 HYPERLINK \l "_Toc1723" 【题型七】 多函数（多曲线）的公切线  PAGEREF _Toc1723 12 HYPERLINK \l "_Toc766" 【题型八】 切线的应用：距离最值  PAGEREF _Toc766 16 HYPERLINK \l "_Toc8798" 【题型九】 切线的应用：距离公式转化型  PAGEREF _Toc8798 18 HYPERLINK \l "_Toc10869" 【题型十】 切线的应用：恒成立求参等应用  PAGEREF _Toc10869 20 HYPERLINK \l "_Toc14207" 【题型十一】 切线的应用：零点等  PAGEREF _Toc14207 23热点题型总结【题型一】 求切线基础型：给切点求切线【典例分析】已知函数，则曲线在点处的切线的方程为__________.【详解】因为，所以，则所求切线的方程为.故答案为：.【提分秘籍】基本规律以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．【变式演练】1.曲线在点处的切线方程为______.解：由，得，所以在点处的切线的斜率为，所以所求的切线方程为，即，故答案为：，2.已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_________.【详解】因为点在曲线上，，可得，所以，，对函数求导得，则曲线在点处的切线斜率为，因此，曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.3.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）A．1 B． C． D．解:函数的导数,函数f(x)在x=1处的倾斜角为,,,故选B.【题型二】 求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A． B． C．和 D．和【详解】令，解得，，故点的坐标为，故选C.【提分秘籍】基本规律以曲线上的点(x0，f(x0))（x0为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．【变式演练】1.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（ ）A． B． C． D．【详解】为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D2.过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（ ）A． B．C． D．【详解】解：∵，∴，曲线在点处的切线斜率是，∴过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为，∴所求直线方程为，即．故选：A.3.曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________.【详解】由函数，则，设切点的坐标为，则斜率，所以，解得，当时，切点为，此时切线方程为；当，切点为，不满足题意，综上可得，切点为.故答案为：.【题型三】 求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的取值是（ ）A．-1 B． C．1 D．【详解】，，直线，，故，解得.故选：.【提分秘籍】基本规律规律同上，注意待定系数法的应用【变式演练】1.若曲线的一条切线是直线，则实数b的值为___________【详解】设切点为，对函数求导，得到，又曲线的一条切线是直线，所以切线斜率为，∴，因此，即切点为，代入切线，可得.故答案为：.2.已知曲线与直线相切，则实数a的值为__________.解：设切点为，由得，则由题意得，，解得，故答案为：23.已知轴为曲线的切线，则的值为________.【详解】由题意，设轴与曲线的切点为，则，解得.故答案为：.【题型四】 无切点多参 【典例分析】若直线是曲线的切线，且，则实数b的最小值是______.【详解】的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，∴，又，∴（），，当时，，函数b递增，当时，，函数b递减，∴为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为.故答案为：．【提分秘籍】基本规律思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）【变式演练】1已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.【详解】∵在点处的切线方程为，，代入得①.又②.联立①②解得：..故答案为：0.2.若曲线在处的切线方程为，则__________解：将代入，得切点为，①，又，，②.联立①②解得：，，故.故答案为：.3.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）A． B． C． D．【详解】，将代入得，故选D．【题型五】 “过点”型切线【典例分析】过原点作曲线的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.解：设切点坐标为；；故由题意得，；解得，；故切点坐标为；切线的斜率为；故切线方程为，整理得．故答案为：；.【提分秘籍】基本规律以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图 【变式演练】1.过点与曲线相切的直线方程为______________.【详解】设切点坐标为，由得，切线方程为，切线过点，，即，，即所求切线方程为.故答案为：.2.过点作曲线（）的切线，则切点坐标为________．【详解】由（），则，化简得，则，设切点为，显然不在曲线上，则，得，则切点坐标为.故答案为：.3.已知直线是曲线的切线，则实数（ ）A． B． C． D．【详解】设切点为，∴切线方程是，∴，故答案为：C【题型六】 判断切线条数【典例分析】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）A． B． C． D．【详解】设在曲线上的切点为，，则，所以，曲线在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程得，即，解得，，.因此，过点可向引切线，有三条.故选：C.【提分秘籍】基本规律1.设点列方程过程同前（求切线过程）2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断【变式演练】1.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.2.已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线l与曲线相切，符合情况的切线l（ ）A．有3条 B．有2条 C．有1条 D．不存在【解析】试题分析：，依题意，在上有解.当时，在上无解，不符合题意；当时，符合题意，故.易知曲线在处的切线为.假设该直线与相切，设切点为，即有，消去化简得，分别画出的图像，观察可知它们交点横坐标，，这与矛盾，故不存在.3.已知函数，当时，曲线在点与点处的切线总是平行时，则由点可作曲线的切线的条数为（ ）A． B． C． D．无法确定【解析】分析：由曲线在点与点处的切线总是平行,可得导函数的对称轴，从而求出的值，设出切点坐标，可得关于切点横坐标的方程有三个解，从而可得结果. 详解：由，得，曲线在点与点处的切线总是平行，关于对称，即，点，即为，所以，，设切点为切线的方程为，将点代入切线方程可得，化为，设令得或，令得，在上递增，在上递减，在处有极大值，在处有极小值，且，与有三个交点，方程有三个根，即过的切线有条，故答案为.【题型七】 多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：；设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：，构造函数,当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.故选：C【提分秘籍】基本规律1.两个曲线有公切线，且切点是同一点2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。【变式演练】1.函数与有公切线，则实数的值为（ ）A．4 B．2 C．1 D．【详解】设公切线与两个函数与图象的切点分别为A和B，由，，可得解得，所以有化简得，令，则恒成立，即得函数在定义域上为增函数，又因，则可解得方程，，则由解得.故选：A.2.曲线与曲线有（ ）条公切线.A．1 B．2 C．3 D．4【详解】设是曲线图像上任意一点，，所以，所以过点的切线方程为，整理得①.令，解得，则，所以曲线上过点的切线方程为：，整理得②.由于切线①②重合，故，即③.构造函数，则，，故当时递减、当时递增，注意到当时，且，所以当时递减，当时，递增，而，根据零点存在性定理可知在区间各存在的一个零点，也即有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线和曲线有两条公切线.故选：B3.若函数与函数有公切线，则实数的最小值为（ ）A． B． C． D．【详解】解：，设公切线与曲线相切的切点为，则公共切线为，即，其与相切，联立消去得：，则有解，即有解，令，，则，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，则，则，所以实数的最小值为.故选：A.【题型八】 切线的应用：距离最值【典例分析】点在函数的图像上，若满足到直线的距离为1的点有且仅有1个，则（ ）A． B． C． D．【详解】函数的导函数为，设直线与相切于点，则，解得切点为，由题可知到直线的距离为1，所以，解得，结合图象可知，.故选：B.【提分秘籍】基本规律主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合【变式演练】1.点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（ ）A． B．1 C． D．2【详解】设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切，则两平行线间的距离即为的最小值．设直线y＝x＋b与曲线的切点为，则由切点还在直线y＝x＋b上可得，由切线斜率等于切点的导数值可得，联立解得m＝1，b＝－1，由平行线间的距离公式可得的最小值为，故选：A.2.已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．3【详解】因为函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，所以的最小值为函数的图象上的点到直线的距离的2倍，即为函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍，因为，所以函数的图象上与直线平行的切线的斜率，所以，所以切点为，它到直线的距离，所以的最小值为.故选：B.3.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是 A． B． C． D．【详解】试题分析：对y=x2求导可求与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d．解：（法一）对y=x2求导可得y′=2x，令y′=2x=1可得x=∴与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的切点（，），切线方程为y-=x-即x-y-=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=，故选A.【题型九】 切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若，则的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【详解】由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方，点A在函数上，点B在函数上，这两个函数关于对称，所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，此时，∴斜率为1的切线方程为，它与的距离为.故原式的最小值为2.故选：B.【提分秘籍】基本规律1.距离公式形式：平方和2.以此还可以类比斜率公式形式【变式演练】1.若，则的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【详解】由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方，点A在函数上，点B在函数上，这两个函数关于对称，所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，此时，∴斜率为1的切线方程为，它与的距离为.故原式的最小值为2.故选：B.2.设，当取得最小值时，函数的最小值为___________.【详解】解：表示点与点距离的平方，而点是直线上任一点，点是反比例函数在第四象限上的点，当是斜率为的直线与相切的切点时，点到直线的距离即为的最小值，由，，所以，当且仅当取等号，所以函数的最小值为10，故答案为：103.已知，，则的最小值为______．【详解】可看成点到点的距离，而点的轨迹是直线，点的轨迹是曲线，则所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切，则切点到直线距离即为所求，设切点，，由得，切点为则到直线距离.故答案为：【题型十】 切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知为实数，则“对任意的实数恒成立”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【详解】设直线与曲线相切，且切点为，则，解得，所以切点为，，所以切线方程为.数形结合可知，对任意的实数恒成立等价于.而由不能得到，故充分性不成立；反之，由可得到，故必要性成立.故选：B.【提分秘籍】基本规律.利用切线作为“临界线”放缩。这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”【变式演练】1.已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则的取值范围为（ ）A． B．C． D．【详解】解：因为，所以，又函数的图象在处的切线方程为，所以，解得，所以，因为恒成立，所以恒成立．当时，成立．当时，令，则．当时，，在和上单调递减．当时，，单调递增，当时，恒成立，所以；当时，恒成立，而，所以．综上，，所以m的取值范围为．故选：A2.若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则__________.【详解】的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，由两条切线重合的条件，可得，且，则，即有，可得，则.故答案为:3.已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【详解】，所以，，即与在有交点，分情况讨论：①直线过点，即，得；②直线与相切，设切点为，得，切点为，故实数a的取值范围是故选：B【题型十一】 切线的应用：零点等【典例分析】已知函数满足，当时，，若在区间内，函数与轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．【解析】试题分析：由题意知，，∵在区间内，函数与x轴有三个不同的交点，∴函数与在区间内有三个不同的交点，结合图象可知，当直线与相切时，，解得：；此时；当直线过点时，；故.【提分秘籍】基本规律对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性【变式演练】1.已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则=______.【答案】函数的图象如下图所示：直线过定点，当时，，，由图象可知切点坐标为，切线方程为：，又因为切线过点，则有，即2.关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是A． B． C． D．以上都不对【详解】由题意作出与在的图象，如图所示： ∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，，则，斜率则故选C.3.已知函数满足，且时，，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【详解】因为，所以函数的图像关于直线对称.当时，，则当时，的图像如图所示，直线为过定点的一条直线.当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点.当时，函数，，设切点为，切线的斜率，则切线方程为，把点代入得，所以；当直线过点时，，所以的取值范围为，故选：C.最新模考题提高训练1.已知函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为_________.【详解】，，，，是上的增函数，又，，，.即故答案为：2.已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.【详解】因为函数，所以，又因为曲线在处的切线与直线平行，所以，解得，故答案为：3.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（ ）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或4【详解】设切点为，且函数的导数，所以，则切线方程为，切线过点，代入得，所以，即方程有两个相等的解，则有，解得或，故选C．4.已知直线是函数图像的一条切线，且关于的方程恰有一个实数解，则（ ）A． B． C． D．【解析】设切点坐标则切线方程为又直线是函数图像的一条切线，切线过代入解得，则切点坐标为代入解得故，令，为的极大值又恰有一个实数解，则故选5.．函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有（ ）A.个 B.个 C.个 D.个【解析】试题分析:设切点分别为或,因,故,由此可得,切线方程分别为和.由题设可得,即,也即,由题意这个方程解的个数就是点的个数.在平面直角坐标系中画出函数和函数的图象,结合图象可以看出两函数的图象有两个不同的正根,故切点的个数有两个,应选C.6.已知过点作曲线：的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______.解：由题可知，曲线：，定义域为，则，设切点为，则切线斜率为：，切线方程为：，将代入切线方程得：，又因为，所以，整理得：，由于过点作曲线：的切线有且仅有两条，即有两个解，可设，则，令，即，解得：，令，即，得：，所以时，单调递减，令，即，得：，所以时，单调递增，所以，所以当时，有两个解，即过点作曲线：的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是：.故答案为：.7.．已知函数，则和的公切线的条数为A．三条 B．二条 C．一条 D．0条【详解】设公切线与和分别相切于点，，解得，代入化简得，构造函数，原函数在，极大值 故函数和x轴有交3个点，方程有三解，故切线有3条.故选A.8.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________．【解析】设两个切点分别为,两个切线方程分别为,,化简得两条切线为同一条.可得, ,,令，，所以g(x)在递增，递减，．所以，填．9.已知函数，，若曲线与的公切线与曲线切于点，则___________.【详解】设公切线与曲线切于点，则曲线在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，所以，所以.故答案为：210.已知，，求的最小值________.【详解】依题意得，，则是曲线上的点，是直线上的点，所以可看成曲线上的点到直线上的点的距离的平方.直线的斜率为，，令，所以过曲线上一点的切线与直线平行，点到直线的距离为，因此的最小值为.故答案为：11.已知方程有且仅有两个不同的实数解，，则以下有关两根关系的结论正确的是A． B． C． D．【详解】方程有且仅有两个不同的实数解，等价于有且仅有两个不同的实数解，即，有且仅有两个不同的交点（原点除外）.画图，的图象.由图可知，与相切时符合题意，设， 因为，所以为切点横坐标，且是直线与的交点横坐标，因为切线过原点，所以切线斜率，所以，故选A.12.已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.【详解】作出函数的图象如图所示：先考虑直线与曲线相切时，的取值，设切点为，对函数求导得，切线方程为，即，则有，解得，由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.13.14.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）如果过点可作曲线的三条切线, 求实数的取值范围.【解析】试题分析：（1）首先求出导函数，然后利用利用导数的几何意义求得切线的斜率，从而利用点斜式求得切线方程；（2）首先设出切点，然后将问题转化为方程有三个不同的实数解，由此转化为函数有三个不同的零点，从而利用导数函数的零点，进而求得的取值范围．试题解析：（1）.曲线在点处的切线方程为: .（2） . ，即.由题意, 上述关于方程有三个不同的实数解.记