3.1.1 函数的概念 -【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数的概念

一 函数的概念

1 概念

设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．

比如 贵哥西藏骑旅中，以的速度从大理去相距的丽江，出发小时后行驶的路程是，则是的函数，记为，定义域是，值域为．对集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一的数和它对应．

对函数概念的理解

① 是非空的数集，一方面强调了只能是数集，即中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．

② 函数中，集合间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合中的元素可以在集合没元素对应.

③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集中的任意一个(任意性)元素，在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．

2 定义域

① 概念：函数自变量的取值范围.

② 求函数的定义域主要应考虑以下几点

若为整式，则其定义域为实数集．

若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合．

若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合．

若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com]

实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．

【例】求下列函数的定义域.

(1)   (2).

答案 (1) (2).

3 值域 

① 概念：函数值的取值范围

② 求值域的方法

配方法        数形结合     换元法

函数单调性法  分离常数法   基本不等式法

【例】求下列函数值域.

解析 (1) 函数的值域是；

(2) 画出的图象．

由图象可知的值域为．

4 区间

区间的几何表示如下表所示：

【例】将下列集合用区间表示出来．

(1)；(2)；(3)；(4)或．

解析 (1) ；(2) ；(3) ；(4)．

【练】将下列集合用区间表示出来．

(1)；(2)；(3)；(4)或．

解析 (1) ；(2) ；(3) ；(4)．

【题型1】函数概念的理解

【典题1】图中四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有________．

解析 由函数定义可知，任意作一条直线，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当时，直线与函数的图象仅有一个交点，当或时，直线与函数的图象没有交点．从而表示是的函数关系的有．

答案：

点拨  判断函数的图像，主要看是否对于任意一个是否对应唯一的指.

【典题2】给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是(　　)

①              ②

③       ④．

① ② ③ ．④

解析 ①由得，不满足函数的定义，所以①不是函数．

②由0得|x－1|=0，0，所以，所以②不是函数．

③由1得，满足函数的定义，所以③是函数．

④要使函数有意义，则，解得，此时不等式组无解，所以④不是函数．

故选：．

【巩固练习】

1.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是  (　　)

A． B． C．D．

答案

解析 由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应，

选项中的图象都符合；项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选：．

2.函数与函数     (　　)

是同一个函数 定义域相同 

图象重合 值域相同

答案

解析 由于函数中的范围与函数中的范围相同，且两个函

数具有相同的对应关系，故函数与函数具有相同的值域，

故选：．

3.下列式子中是的函数的是(　　)

A．  B． C．  D．

答案

解析 对于，满足函数的定义，

对于：的定义域为，故不满足函数的定义，

对于，当时，都有个值相对应，故不满足函数的定义，故选：．

【题型2】函数的定义域

【典题1】 求下列函数的定义域：

；        ．

解析 (1)因为要使函数有意义，需且，

所以函数的定义域为．

(2)因为要使函数有意义，需解得且且，

所以函数的定义域为．

【典题2】已知定义域为，求的定义域.

解析

故函数的定义域是.

点拨 抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，

若把题目换成“已知定义域为，求的定义域.”好理解多了，

① 谨记定义域指的是自变量的取值范围，

所以由“定义域为”得到的是“”，“求的定义域”指的就是求的范围.

② 把和都看成整体，它们的范围是相等的

这样就有.

【巩固练习】

1.函数的定义域为          .

答案 或

解析 要使函数的解析式有意义，

自变量须满足： ，解得或

故函数的定义域为或.

2.函数的定义域为         .

答案

解析 要使函数有意义，则，得，即且，

即函数的定义域为.

3.函数的定义域为          .

答案

解析 解得，，且；

的定义域为：．

4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为　   　．

答案

解析 的定义域为，由，得．

函数的定义域为．

【题型3】函数的解析式

【典题1】已知函数．

求，，，；若，求．

解析 ，

，

，

．

，，解得．

【典题2】下列各组函数中表示的函数不同的是(　　)

           ． 

      ．

的定义域和对应法则相同，表示同一函数，

中的定义域是，定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.

故选：．

点拨 判断两个函数是否同一函数：定义域和解析式均要一样.

【巩固练习】

1.已知函数，，则______，______．

答案

解析 ，，

，．

2.函数，，则下列等式成立的是(　　)

A．    B． C．   D．

答案

解析 根据题意得，，   ，故选：．

3.下面各组函数中是同一函数的是(　　)

．与       

与 

．与 

．与

答案

解析 ．函数的定义域为，，

两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，

．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数

．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数

．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：．

4.在下列四组函数中，与表示同一函数的是(　　)

 ． 

． ．

答案

解析 由于函数的定义域为，而函数的定义域为，

这个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除．

由于函数的定义域为，

而的定义域为或，

这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除B．

由于函数y=x与函数 y具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．

由于函数的定义域为，而函数 的定义域为，这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除．故选：．

【题型4】函数的值域

【典题1】 求下列函数的值域．

；          ；

；      ；

解析

由，得，所以得，故值域是.

由题意：函数，开口向上，对称轴，

 画出函数如下，

函数在区间上的值域为．

．

，，

，．

函数的值域为．

令，，(要注意新变量的取值范围)

则，

则，其在上的值域是，

(把函数转化为二次函数值域问题)

即函数的值域为.

点拨  求函数的值域方法多样，第题采取数形结合的方法；第题采取分离常数法，多用于形如的函数，比如求函数的值域；第题采取换元法，要注意新元的范围.

【巩固练习】

1.设，若函数，当时，的范围为，则的值为(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

答案

解析 ，函数，当时，的范围为，，

，解得．故选：．

2.函数的值域为，则实数的取值范围为　   　

答案

解析 ，对称轴为，由，得或，

，，，即实数的取值范围是.

3.函数的值域是　    ．

答案

解析 ，

当时，，，即函数的值域为.

4.求函数的值域.

答案

解析 令，则，

当，即时，无最小值.

函数的值域为.