第10课 平行四边形八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第10课  平行四边形

知识点01  平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边            的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“          ”，读作“        ”.

注意：

平行四边形的基本元素：边、角、对角线.

相邻的两边为        边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

知识点02  平行四边形的性质

1．边的性质：平行四边形两组对边                ；

2．角的性质：平行四边形邻角               ，对角               ；

3．对角线性质：平行四边形的对角线               ；

4．平行四边形是                对称图形，对角线的交点为对称中心.

注意：

（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边               或两边               ；

角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的        关系或        关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

知识点03  平行四边形的判定

1.两组对边分别               的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别               的四边形是平行四边形；

3.一组对边        且        的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别         的四边形是平行四边形；

5.对角线        的四边形是平行四边形.

注意：

（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应

选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

知识点04  三角形的中位线

1．连接三角形两边         的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线         于三角形的第三边，且等于第三边的        .

注意：

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的              ，每个小三角形的面积为原三角形面积的              .

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

知识点05  平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的  ，叫做这两条平行线间的距离.

注：距离是指               ，是正值.

（2）平行线间的距离               

任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.

两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

 2.平行四边形的面积：       

平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.

考法01   平行四边形的性质

【典例1】如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．

【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．

【即学即练2】如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．

【即学即练3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．

【即学即练4】如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．

【即学即练5】已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是_____．

【即学即练6】如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．

【即学即练7】如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________.

【即学即练8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点坐标为________．

【即学即练9】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
　　（1）求证：AE⊥BE；
　　（2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
　　　　　

考法02  平行四边形的判定

【典例2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．
　　求证：四边形PBQD是平行四边形．
　　　

【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．

【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．

【即学即练3】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．

(1)求证：OD=OC．

(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．

【即学即练4】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．

考法03  构造平行四边形，应用性质

【典例3】在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.

考法04  三角形的中位线

【典例4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．

【即学即练1】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将(    )．

    A．先变大，后变小    B．保持不变    C．先变小，后变大    D．无法确定

【即学即练2】如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．

【即学即练3】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．

【即学即练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．

【即学即练5】如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是_____．

题组A  基础过关练

1．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）

A．15 B．18 C．21 D．24

2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）                   

A．150° B．130° C．120° D．100°

3．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（       ）

A．28 B．24 C．21 D．14

4．平行四边形所具有的性质是（     ）

A．对角线相等 B．邻边互相垂直

C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等

5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（   ）

A．10 B．14 C．20 D．22

6．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是(　　)

A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3

7．如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是（     ）

A． B． C． D．

8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(       )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

9．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14                C．16 D．18

题组B  能力提升练

10．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为___________________．

11．如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______．

12．如图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“√”，错误的打“×”．

（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．(    )

（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．(    )

（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．(    )

（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．(    )

（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．(    )

（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．(    )

13．如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．

14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．

15．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为_____（用含α的式子表示）．

题组C  培优拔尖练

16．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．

求证：（1）；

（2）和互相平分．

17．如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．

（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；

（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；

（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．

18．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

19．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB于点E，F.

（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；

（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB和直线BC于E、F和G. 试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）.