苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数学案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数学案，共10页。学案主要包含了指数式与对数式的互化，对数的计算，利用对数的性质求值等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
导语
我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，这节课我们就一起来看看如何解决这一问题的．
一、指数式与对数式的互化
知识梳理
1．一般地，如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作lgaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示：
2．两类特殊对数
(1)通常将以10为底的对数称为常用对数，对数lg10N简记为lg N.
(2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，正数N的自然对数lgeN一般简记为ln N.
注意点：
(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换，即在对数式中，a>0，且a≠1，N>0.
(2)lgaN的读法：以a为底N的对数．
例1 将下列对数式化成指数式或将指数式转化为对数式：
(1)33＝27；(2)；
(3)5a＝16；(4)lg5a＝20.
解 (1)∵33＝27，∴lg327＝3.
(2)∵∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝8.
(3)∵5a＝16，∴lg516＝a.
(4)∵lg5a＝20，∴520＝a.
反思感悟 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1 将下列对数式化成指数式或将指数式转化为对数式：
(1)3－2＝eq \f(1,9)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))－3＝125；
(3) (4)(x>0，且x≠1)．
解 (1)lg3eq \f(1,9)＝－2.
(2)
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27.
(4)(eq \r(x))－6＝64.
二、对数的计算
例2 (1)求下列各式的值．
①lg981＝________；
②lg0.41＝________；
③ln e2＝________.
答案 ①2 ②0 ③2
解析 ①设lg981＝x，所以9x＝81＝92，
故x＝2，即lg981＝2.
②设lg0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，
故x＝0，即lg0.41＝0.
③设ln e2＝x，
所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
(2)求下列各式中x的值．
①lg27x＝－eq \f(2,3)；②lgx16＝－4.
解 ①由lg27x＝－eq \f(2,3)，
得
＝3－2＝eq \f(1,9).
②由lgx16＝－4，得x－4＝16，
即x4＝eq \f(1,16)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(1,2)))4，
又x>0，且x≠1，∴x＝eq \f(1,2).
反思感悟 对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1)lg28；(2)lg9eq \f(1,9)；(3)ln e；(4)lg 1.
解 (1)设lg28＝x，则2x＝8＝23.
∴x＝3.∴lg28＝3.
(2)设lg9eq \f(1,9)＝x，则9x＝eq \f(1,9)＝9－1，
∴x＝－1.∴lg9eq \f(1,9)＝－1.
(3)设ln e＝x，则ex＝e，
∴x＝1，∴ln e＝1.
(4)设lg 1＝x，则10x＝1＝100，
∴x＝0，∴lg 1＝0.
三、利用对数的性质求值
问题 你能把20＝1,21＝2，lg2x＝lg2x化成对数式或指数式吗？
提示 lg21＝0；lg22＝1；＝x.
知识梳理
对数的性质
(1)lga1＝0(a>0，a≠1)．
(2)lgaa＝1(a>0，a≠1)．
(3)零和负数没有对数．
(4)对数恒等式：＝N；
lgaax＝x(a>0，a≠1，N>0)．
例3 求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg5x)＝0；(2)lg3(lg x)＝1；(3)x＝.
解 (1)∵lg2(lg5x)＝0，
∴lg5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)∵lg3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)
反思感悟 利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论lga1＝0和lgaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg ”后再求解．
跟踪训练3 求下列各式中x的值．
(1)lg8[lg7(lg2x)]＝0；
(2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.
解 (1)由lg8[lg7(lg2x)]＝0，
得lg7(lg2x)＝1，即lg2x＝7，∴x＝27.
(2)由lg2[lg3(lg2x)]＝1，
得lg3(lg2x)＝2，
∴lg2x＝32＝9，∴x＝29.
1．知识清单：
(1)对数的概念．
(2)自然对数、常用对数．
(3)指数式与对数式的互化．
(4)对数的性质．
2．方法归纳：转化思想、方程思想．
3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．
1．(多选)下列说法正确的有( )
A．只有正数有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以5为底25的对数等于2
D．成立
答案 AC
解析 B错误，如(－2)2＝4就不能化成对数式，D错误，对数式的真数a应大于0.
2．2－3＝eq \f(1,8)化为对数式为( )
A．＝－3 B．＝2
C．＝－3 D．lg2(－3)＝eq \f(1,8)
答案 C
解析 根据对数的定义知选C.
3．已知lg8x＝eq \f(2,3)，则x＝________.
答案 4
解析 lg8x＝eq \f(2,3)化为指数式为
4．计算：3lg22＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝______.
答案 0
解析 原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.
1．lg 10 000等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
2．已知lgx16＝2，则x等于( )
A．4 B．±4 C．256 D．2
答案 A
解析 lgx16＝2改写成指数式为x2＝16，但x作为对数的底数，必须取正值，∴x＝4.
3．方程的解是( )
A．9 B.eq \f(\r(3),3) C.eq \r(3) D.eq \f(1,9)
答案 D
解析 ∵＝eq \f(1,4)＝2－2，∴lg3x＝－2，
∴x＝3－2＝eq \f(1,9).
4．(多选)下列等式正确的有( )
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
答案 AB
解析 A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0；
B项，lg(ln e)＝lg 1＝0；
C项，若lg x＝10，则x＝1010；
D项，若ln x＝e，则x＝ee.
5．已知lgaeq \f(1,2)＝m，lga3＝n，则am＋2n等于( )
A．3 B.eq \f(3,4)
C．9 D.eq \f(9,2)
答案 D
解析 由已知得am＝eq \f(1,2)，an＝3.
所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2
＝eq \f(1,2)×32＝eq \f(9,2).
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为(eq \r(10,10)≈1.3)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
答案 D
解析 由L＝5＋lg V，L＝4.8，
得lg V＝－0.2，
所以V＝10－0.2＝eq \f(1,100.2)＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(10,10)))2)
＝eq \f(1,1.32)≈0.6，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.6.
7．已知lg5[lg3(lg2x)]＝0，则x＝________，＝________.
答案 8 eq \f(\r(2),4)
解析 ∵lg5[lg3(lg2x)]＝0，
∴lg3(lg2x)＝1，
∴lg2x＝3，∴x＝23＝8，
∴＝eq \f(1,\r(8))＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
8．若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________．
答案 eq \f(4,3)
解析 ∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，
∴10b＝3.
∴
9．将下列指数式、对数式互化．
(1)35＝243；(2)2－5＝eq \f(1,32)；
(3)；(4)lg2128＝7.
解 (1)lg3243＝5.
(2)lg2eq \f(1,32)＝－5.
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－4＝81.
(4)27＝128.
10．若，，求eq \f(x2,y)的值．
解 ∵，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.
∵，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4.
∴eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
11．－lg 0.01＋ln e3等于( )
A．14 B．0 C．1 D．6
答案 B
解析 －lg 0.01＋ln e3＝4－－lg eq \f(1,100)＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.
12．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则lgx(yx)的值是( )
A．1 B．0 C．x D．y
答案 B
解析 由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，
则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，
∴lgx(yx)＝lg2(12)＝0.
13．若lg(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
答案 －3
解析 由lg(1－x)(1＋x)2＝1，
得(1＋x)2＝1－x，
∴x2＋3x＝0，∴x＝0或x＝－3.
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1－x≠1，,1＋x≠0，))∴x＝－3.
14．若x满足(lg2x)2－2lg2x－3＝0，则x＝________.
答案 8或eq \f(1,2)
解析 设t＝lg2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，所以lg2x＝3或lg2x＝－1，
所以x＝23＝8或x＝2－1＝eq \f(1,2).
15．若a>0，，则等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 因为，a>0，
所以a＝，
设＝x，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x＝a.所以x＝3.
16．已知x＝lg23，求eq \f(23x－2－3x,2x－2－x)的值．
解 由x＝lg23，得2x＝3，∴2－x＝eq \f(1,2x)＝eq \f(1,3)，
∴23x＝(2x)3＝33＝27,2－3x＝eq \f(1,23x)＝eq \f(1,27)，
∴eq \f(23x－2－3x,2x－2－x)＝eq \f(27－\f(1,27),3－\f(1,3))＝eq \f(272－1,3×27－9)＝eq \f(728,72)＝eq \f(91,9).