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高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系随堂练习题
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系随堂练习题，共27页。试卷主要包含了4 习题课，8 m/s，末速度是5，128 m/s2，t＝25 s等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年高一物理卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第二章 匀变速直线运动的研究
2.4 习题课：匀变速直线运动的推论
一、知识点归纳
知识点一、匀变速直线运动的两个基本公式
速度公式
v＝v0＋at，当v0＝0时，v＝at
位移公式
x＝v0t＋at2，当v0＝0时，x＝at2
由于运动学部分的公式较多，并且各公式之间又相互联系，因此本章中的一些题目常可一题多解．在解题时要开阔思路，联想比较，筛选出最便捷的解题方案，从而简化解题过程．
知识点二、匀变速直线运动推论的应用
平
均
速
度
公
式
内容
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即＝＝v
推导
＝＝＝v0＋at
而v＝v0＋a·
故＝v0＋at＝v
将v＝v0＋at代入上式可得
＝＝v
适用范围
匀变速直线运动
续 表
位
移
中
点
的
瞬
时
速
度
推导
在匀变速直线运动中，对于一段位移x，设初速度为v0，末速度为v，加速度为a，位移中点的瞬时速度为v，前一半位移有v2－v＝2a·＝ax，后一半位移有v2－v2＝2a·＝ax；联立以上两式有v2－v＝v2－v2，所以v＝
比较
在v－t图象中，速度图线与时间轴围成的“面积”表示位移．当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v>v；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v>v
故当物体做匀速运动时，v＝v；当物体做匀变速直线运动时，v>v
逐
差
相
等
公
式
内容
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2；若xm和xn分别为第m段、第n段位移，则xm－xn＝(m－n)aT2
推导
在时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①，在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2②，则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③；由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
作用
一是用来判断物体是否做匀变速直线运动，二是用来求加速度
适用
范围
匀变速直线运动
知识点三、匀变速直线运动基本公式的选用
1．四个公式的比较
一般形式
特殊形式(v0＝0)
不涉及的物理量
速度公式
v＝v0＋at
v＝at
x
位移公式
x＝v0t＋at2
x＝at2
v
速度位移关系式
v2－v＝2ax
v2＝2ax
t
平均速度求位移公式
x＝t
x＝t
a
2.公式的应用步骤
(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图．
(2)明确研究对象，明确已知量、待求量．
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负．
(4)选择适当的公式求解．
(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向．
知识点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
(2)按位移等分(设相等的位移为x)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
题型五、对追及、相遇问题的计算
1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系
一个条件：速度相等
是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，这是解题的切入点
两个关系：时间关系和位移关系
其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
若同时出发，则两物体时间相等，则需要列速度相等方程和位移关系方程
2.解答追及与相遇问题的常用方法
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图象法
将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解
数学分析法
设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇
二、题型分析
题型一 匀变速直线运动基本公式的选用技巧
【例1】一滑块自静止开始从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)4 s末的速度．
(2)运动后5 s内的位移．
(3)第5 s内的位移．
【方法总结】
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式1】．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，试求：
(1)该质点的初速度和加速度．
(2)该质点5 s内的位移．
【变式2】．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
题型二 匀变速直线运动推论的应用
【例2】有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度是多少．
【变式1】．(2019-2020学年·濮阳期末)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v1，经过t时间运动的位移为x，速度变为v2，则下列说法错误的是( )
A．平均速度等于 B．平均速度等于
C．中间位置的瞬时速度等于 D．中间时刻的瞬时速度等于
【变式2】．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度为 B．物体经过AB位移中点的速度为
C．物体通过AB这段位移的平均速度为 D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为
【变式3】．(多选)做初速度不为零的匀加速直线运动的物体，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下判断正确的是( )
A．物体在A点的速度为 B．物体运动的加速度为
C．物体运动的加速度为 D．物体在B点的速度为
题型三 速度与位移关系式的应用
【例3】(多选)(2019-2020学年·西湖校级模拟)几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动．恰好能穿出第四个水球，则可以判定( )
A．子弹在每个水球中运动的时间相同
B．由题干信息可以确定子弹穿过每个水球的时间比
C．子弹在每个水球中速度变化相同
D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
【变式】(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
题型四、对追及、相遇问题的计算
【例4】(2019-2020学年·茂名月考)高速公路上，一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上，另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度随其后并逐渐接近．大货车的制动性能较差，刹车时的加速度保持在4 m/s2，而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时能使汽车的加速度保持在8 m/s2.若前方大货车突然紧急刹车，SUV小客车司机的反应时间是0.50 s，为了避免发生追尾事故，轿车和卡车之间至少应保留多大的距离？
【方法总结】
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式1】．(2019-2020学年·西安高一检测)一辆货车以8 m/s的速度在平直铁路上匀速运行，由于调度失误，在后面600 m处有一辆客车以72 km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2 000 m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度是多少？
(2)计算后判断两车是否会相撞．
【变式2】．(2019-2020学年·成都测试)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
三、课后提升作业
1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
2．(2019-2020学年·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4 s．前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和BC＝12 m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是( )
A．1 m/s2 5 m/s B．2 m/s2 5 m/s
C．1 m/s2 10 m/s D．2 m/s2 10 m/s
3.(多选)(2019-2020学年·红塔区校级期末)如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑，下列结论中正确的是( )
A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3
B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(－1)∶1
C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
4．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移中间位置的瞬时速度为v2，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1＝v2
D．匀加速直线运动时，v1v2
5．(多选)(2019-2020学年·新疆高一期中)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m．且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是( )
A．可以求出物体加速度的大小 B．可以求得CD＝4 m
C．可以求得OA之间的距离为1.125 m D．可以求得OB之间的距离为12.5 m
6．(2019-2020学年·浙江模拟)一物体做匀变速直线运动，在通过第一段位移x1的过程中，其速度变化量为Δv，紧接着通过第二段位移x2，速度变化量仍为Δv.则关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．第一段位移x1一定大于第二段位移x2 B．两段运动所用时间一定不相等
C．物体运动的加速度为 D．通过两段位移的平均速度为
7．(2019-2020学年·芜湖高一检测)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
8．(2019-2020学年·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点．已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )
A．t0 B．(－1)t0
C．2(＋1)t0 D．(2＋1)t0
9．(多选)(2019-2020学年·湛江校级月考)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，对这一运动过程，下列正确的有( )
A．这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1 B．这连续三个1 s的平均速度之比为3∶2∶1
C．这连续三个1 s发生的位移之比为5∶3∶1 D．这连续三个1 s的速度改变量之比为1∶1∶1
10．(2019-2020学年·新罗校级月考)如图所示，在冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t，则冰壶通过第四个矩形区域所需要的时间为( )
A．t B．2t
C．t D．(－1)t
11．(多选)(2019-2020学年·定远期末)如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块(即D位置)时速度恰好为零，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度
B．子弹通过每一部分时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC相同
C．子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D．子弹从进入木块到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2
12．(2019-2020学年·青浦区二模)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶．其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x－t图象如图所示．则乙车追上甲车前两车间的最大距离是( )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
二、非选择题
13．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速直线运动至停车，总共历时20 s，行进了 50 m，求汽车的最大速度．
14.(2019-2020学年·山西高一期中)国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
15．(2019-2020学年·甘肃兰州高一期末)小明同学乘坐京石“和谐号”动车，发现车厢内有速率显示屏．当动车在平直轨道上经历匀加速、匀速与再次匀加速运行期间，他记录了不同时刻的速率，进行换算后数据列于表格中．在0～600 s这段时间内，求：
t/s
v/(m·s－1)
0
30
100
40
300
50
400
50
500
60
550
70
600
80
(1)动车两次加速的加速度大小；
(2)动车位移的大小．
16.(2019-2020学年·广东广州三校联考)汽车前方120 m处有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路的不同车道上做同方向的直线运动，求：
(1)经多长时间，两车第一次相遇？
(2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经过多长时间两车第二次相遇？
2020-2021学年高一物理卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第二章 匀变速直线运动的研究
2.4 习题课：匀变速直线运动的推论
一、知识点归纳
知识点一、匀变速直线运动的两个基本公式
速度公式
v＝v0＋at，当v0＝0时，v＝at
位移公式
x＝v0t＋at2，当v0＝0时，x＝at2
由于运动学部分的公式较多，并且各公式之间又相互联系，因此本章中的一些题目常可一题多解．在解题时要开阔思路，联想比较，筛选出最便捷的解题方案，从而简化解题过程．
知识点二、匀变速直线运动推论的应用
平
均
速
度
公
式
内容
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即＝＝v
推导
＝＝＝v0＋at
而v＝v0＋a·
故＝v0＋at＝v
将v＝v0＋at代入上式可得
＝＝v
适用范围
匀变速直线运动
续 表
位
移
中
点
的
瞬
时
速
度
推导
在匀变速直线运动中，对于一段位移x，设初速度为v0，末速度为v，加速度为a，位移中点的瞬时速度为v，前一半位移有v2－v＝2a·＝ax，后一半位移有v2－v2＝2a·＝ax；联立以上两式有v2－v＝v2－v2，所以v＝
比较
在v－t图象中，速度图线与时间轴围成的“面积”表示位移．当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v>v；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v>v
故当物体做匀速运动时，v＝v；当物体做匀变速直线运动时，v>v
逐
差
相
等
公
式
内容
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2；若xm和xn分别为第m段、第n段位移，则xm－xn＝(m－n)aT2
推导
在时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①，在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2②，则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③；由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
作用
一是用来判断物体是否做匀变速直线运动，二是用来求加速度
适用
范围
匀变速直线运动
知识点三、匀变速直线运动基本公式的选用
1．四个公式的比较
一般形式
特殊形式(v0＝0)
不涉及的物理量
速度公式
v＝v0＋at
v＝at
x
位移公式
x＝v0t＋at2
x＝at2
v
速度位移关系式
v2－v＝2ax
v2＝2ax
t
平均速度求位移公式
x＝t
x＝t
a
2.公式的应用步骤
(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图．
(2)明确研究对象，明确已知量、待求量．
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负．
(4)选择适当的公式求解．
(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向．
知识点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
(2)按位移等分(设相等的位移为x)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
题型五、对追及、相遇问题的计算
1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系
一个条件：速度相等
是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，这是解题的切入点
两个关系：时间关系和位移关系
其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
若同时出发，则两物体时间相等，则需要列速度相等方程和位移关系方程
2.解答追及与相遇问题的常用方法
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图象法
将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解
数学分析法
设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇
二、题型分析
题型一 匀变速直线运动基本公式的选用技巧
【例1】一滑块自静止开始从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)4 s末的速度．
(2)运动后5 s内的位移．
(3)第5 s内的位移．
【答案】(1)4.8 m/s (2)15 m (3)5.4 m
【解析】(1)滑块的加速度：
a＝＝ m/s2＝1.2 m/s2
4 s末的速度：
v4＝at′＝1.2×4 m/s＝4.8 m/s.
(2)法一：由x＝at2得：
x＝×1.2×52 m＝15 m.
法二：由x＝·t得：
x＝×5 m＝15 m.
法三：由v2＝2ax得：
x＝＝ m＝15 m.
(3)法一：第5 s内的位移等于前5 s内的位移减去前4 s内的位移：
Δx＝x－at′2＝15 m－×1.2×42 m＝5.4 m.
法二：Δx＝Δt＝×1 m＝5.4 m.
法三：由v2－v＝2a·Δx得：
Δx＝ ＝ m＝5.4 m.
【方法总结】巧选运动学公式的基本方法
公式中共涉及v0、v、a、t、x五个物理量，而每个公式中都含有四个量，因此明确三个量就可求出另外的两个量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果，方法如下：
无位移x，也不需求位移
选用速度公式v＝v0＋at
无末速度v，也不需求末速度
选用位移公式
x＝v0t＋at2
无运动时间t，也不需要求运动时间
选用速度位移公式
v2－v＝2ax
没有加速度a，也不涉及加速度
选用平均速度位移公式
x＝t
【变式1】．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，试求：
(1)该质点的初速度和加速度．
(2)该质点5 s内的位移．
【答案】：(1)2 m/s 4 m/s2 (2)60 m
【解析】：(1)第3 s内的位移等于前3 s内位移与前2 s内位移之差，即Δx3＝x3－x2＝12 m，
代入数据得
v0×3＋a×32－(v0×2＋a×22)＝12①
同理可得：v0×5＋a×52－(v0×4＋a×42)＝20②
联立①②解得v0＝2 m/s，a＝4 m/s2.
(2)5 s内的位移为x＝v0t5＋at＝60 m.
【变式2】．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
【答案】：25 s
【解析】：法一(利用速度公式和位移公式求解)
vt＝v0＋at，x＝v0t＋at2
代入数据解得a＝0.128 m/s2，t＝25 s.
法二(利用位移与速度的关系式和速度公式求解)
由v－v＝2ax
得a＝＝0.128 m/s2
由vt＝v0＋at
得t＝＝25 s.
题型二 匀变速直线运动推论的应用
【例2】有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度是多少．
【答案】1 m/s 2.5 m/s2
【解析】由题意可画出物体的运动示意图：
法一：逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s
2＝＝ m/s＝16 m/s
由于B是A、C的中间时刻，则1＝，2＝
又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.
法三：基本公式法
由位移公式得：x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式，
解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
【变式1】．(2019-2020学年·濮阳期末)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v1，经过t时间运动的位移为x，速度变为v2，则下列说法错误的是( )
A．平均速度等于 B．平均速度等于
C．中间位置的瞬时速度等于 D．中间时刻的瞬时速度等于
【答案】C.
【解析】：根据平均速度的定义可得平均速度为＝，故A正确；物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初末速度和的一半，即＝，故B正确；设中间位置的瞬时速度为v，匀变速运动加速度为a，则v2－v＝2a·①，v－v2＝2a·②，①②式联立解得：v＝，故C错误；物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初末速度和的一半，即v＝＝，故D正确．
【变式2】．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度为 B．物体经过AB位移中点的速度为
C．物体通过AB这段位移的平均速度为 D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为
【答案】BCD.
【解析】：设经过位移中点时的速度为v，则对前半段的位移有2a·＝v2－v，对后半段的位移有2a·＝v－v2，由这两式得v＝ ，选项A错误，B正确；对匀变速直线运动而言，总有v＝v＝，选项C、D正确．
【变式3】．(多选)做初速度不为零的匀加速直线运动的物体，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下判断正确的是( )
A．物体在A点的速度为 B．物体运动的加速度为
C．物体运动的加速度为 D．物体在B点的速度为
【答案】ACD.
【解析】：根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知：vA＝，故A正确；根据x2－x1＝aT2得物体运动的加速度为：a＝，故B错误，C正确；在该加速运动过程中有：vB＝vA＋aT＝＋＝，故D正确．
题型三 速度与位移关系式的应用
【例3】(多选)(2019-2020学年·西湖校级模拟)几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动．恰好能穿出第四个水球，则可以判定( )
A．子弹在每个水球中运动的时间相同
B．由题干信息可以确定子弹穿过每个水球的时间比
C．子弹在每个水球中速度变化相同
D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
【答案】BD
【解析】设水球的直径为d，子弹运动的过程为匀减速直线运动，直到末速度为零，我们可以应用逆过程，相当于子弹初速度为零做匀加速直线运动；因为通过最后1个、最后2个、后3个、全部4个的位移分别为d，2d，3d和4d，根据x＝at2知，时间之比为1∶∶∶2，所以子弹在每个水球中运动的时间不同．由以上的分析可知，子弹依次穿过4个水球的时间之比为(2－)∶(－)∶(－1)∶1，故A错误，B正确；子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，则受力是相同的，所以加速度相同，由Δv＝at可知，运动的时间不同，则速度的变化量不同，故C错误；由A的分析可知，子弹穿过前3个水球的时间与穿过第4个水球的时间是相等的，由匀变速直线运动的特点可知，子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等，故D正确．
【变式】(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
【答案】BC.
【解析】：初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，物体到达各点的速率之比为1∶∶∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD，故A错误，B正确；物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度v＝vB，故C正确；物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误．
题型四、对追及、相遇问题的计算
【例4】(2019-2020学年·茂名月考)高速公路上，一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上，另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度随其后并逐渐接近．大货车的制动性能较差，刹车时的加速度保持在4 m/s2，而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时能使汽车的加速度保持在8 m/s2.若前方大货车突然紧急刹车，SUV小客车司机的反应时间是0.50 s，为了避免发生追尾事故，轿车和卡车之间至少应保留多大的距离？
【答案】32 m
【解析】反应时间里SUV的行驶距离：x1＝v1t0；若恰好发生追尾，则两车速度相等，有：
v＝v1＋a1(t－0.5 s)，v＝v2＋a2t
代入数据，得两车发生追尾所用时间：t＝4 s
此段时间内，两车行驶距离：s1＝x1＋v1t＋a1t2，
s2＝v2t＋a2t2
则有两车之间不发生追尾的最小距离：Δs＝s1－s2；两车刹车时的加速度分别是：a1＝－8 m/s2，a2＝－4 m/s2，代入数据得：Δs＝32 m.
【方法总结】常见的追及、相遇问题
类型
图象
说明
匀加速追匀速
(1)t＝t0以前，后面物体与前面物体间距逐渐增大
(2)t＝t0时，v1＝v2，两物体间距最大，为x0＋Δx
(3)t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小
(4)能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
匀减速追匀速
开始时，后面物体与前面物体间的距离在逐渐减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
(1)若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
(2)若Δx
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
注意：(1)x0为开始时两物体之间的距离
(2)Δx为从开始追赶到两者速度相等时，后面的物体多发生的位移
(3)时间关系t2－t0＝t0－t1
(4)v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度
【变式1】．(2019-2020学年·西安高一检测)一辆货车以8 m/s的速度在平直铁路上匀速运行，由于调度失误，在后面600 m处有一辆客车以72 km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2 000 m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度是多少？
(2)计算后判断两车是否会相撞．
【答案】：(1)0.1 m/s2 (2)见解析
【解析】：(1)由公式v2－v＝2ax得客车刹车的加速度大小为
a＝＝ m/s2＝0.1 m/s2.
(2)假设不相撞，设两车达到共同速度用时为t，则
v2－at＝v1，t＝120 s
货车在该时间内的位移
x1＝v1t＝8×120 m＝960 m
客车在该时间内的位移
x2＝t＝1 680 m
位移大小关系：x2＝1 680 m>600 m＋x1＝1 560 m，故已相撞．
【变式2】．(2019-2020学年·成都测试)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
【答案】：(1)2 s 6 m (2)4 s末 12 m/s
【解析】：法一 物理分析法
(1)当两车的速度相等时，两车之间的距离Δx最大．
由v汽＝at＝v自得t＝＝2 s
则Δx＝v自t－at2＝6 m.
(2)从自行车超过汽车，到汽车追上自行车时，两车位移相等，则v自t′＝at′2，解得t′＝4 s
此时汽车的速度v′汽＝at′＝12 m/s.
法二 数学分析法
(1)设经时间t，汽车与自行车相距为Δx，则
Δx＝x自－x汽＝v自t－at2＝－(t－2)2＋6
显然，当t＝2 s时，Δxmax＝6 m.
(2)当Δx＝0时，汽车追上自行车，
则有t′1＝0(舍去)或t′2＝4 s
此时汽车的速度v汽＝at′2＝12 m/s.
法三 v－t图象法
作出v－t图象，如图所示．
(1)可以看出，t＝2 s时两车速度相等，且此时两车相距最远，两车的位移差Δx＝×6×2 m＝6 m.
(2)由图知，t＝2 s后，若两车位移相等，即v－t图线与时间轴所围面积相等，则汽车追上自行车．
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，
此时v汽＝2v自＝12 m/s.
三、课后提升作业
1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
【答案】D.
【解析】：根据平均速度公式可知v＝＝，即 m/s＝，得v0＝5 m/s，所以D选项正确．
2．(2019-2020学年·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4 s．前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和BC＝12 m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是( )
A．1 m/s2 5 m/s B．2 m/s2 5 m/s
C．1 m/s2 10 m/s D．2 m/s2 10 m/s
【答案】A.
【解析】：根据Δx＝aT2得，质点的加速度a＝＝＝ m/s2＝1 m/s2；B点的瞬时速度vB＝＝ m/s＝5 m/s.故A正确，B、C、D错误．
3.(多选)(2019-2020学年·红塔区校级期末)如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑，下列结论中正确的是( )
A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3
B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(－1)∶1
C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
【答案】BC.
【解析】：由速度位移关系式有：v＝2aAB，v＝2aAC，v＝2aAD，由AB＝BC＝CD，可得vB∶vC∶vD＝1∶∶，故A错误；物体在AB段的平均速度为vAB＝，物体在BC段的平均速度为vBC＝，由前面的分析可得vAB∶vBC＝(－1)∶1，故B正确；由公式v＝可得vC＝，故C正确，D错误．
4．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移中间位置的瞬时速度为v2，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1＝v2
D．匀加速直线运动时，v1v2
【答案】A.
【解析】：画出匀加速直线运动与匀减速直线运动的v－t图象，如图甲、乙所示，由图知v1
5．(多选)(2019-2020学年·新疆高一期中)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m．且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是( )
A．可以求出物体加速度的大小 B．可以求得CD＝4 m
C．可以求得OA之间的距离为1.125 m D．可以求得OB之间的距离为12.5 m
【答案】BC.
【解析】：由Δs＝at2可得物体的加速度a的大小为a＝＝＝，因为不知道时间，所以不能求出加速度，故A错误；根据sCD－sBC＝sBC－sAB＝1 m，可知sCD＝(3＋1) m＝4 m，故B正确；物体经过B点时的瞬时速度为vB＝vAC＝，再 v＝2as可得O、B两点间的距离为sOB＝＝·＝3.125 m，所以O与A间的距离为 sOA＝sOB－sAB＝(3.125－2)m＝1.125 m，故C正确，D错误．
6．(2019-2020学年·浙江模拟)一物体做匀变速直线运动，在通过第一段位移x1的过程中，其速度变化量为Δv，紧接着通过第二段位移x2，速度变化量仍为Δv.则关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．第一段位移x1一定大于第二段位移x2 B．两段运动所用时间一定不相等
C．物体运动的加速度为 D．通过两段位移的平均速度为
【答案】C.
【解析】：两段过程中速度的变化量相等，根据t＝知，两段过程中运动的时间相等，若做匀加速直线运动，第一段位移小于第二段位移，若做匀减速直线运动，第一段位移大于第二段位移，故A、B错误；两段过程的时间相等，设为Δt，则有：x2－x1＝aΔt2，又Δv＝aΔt，解得物体的加速度a＝，故C正确；运动的总时间t＝2×＝，则通过两段位移的平均速度＝＝，故D错误．
7．(2019-2020学年·芜湖高一检测)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
【答案】B.
【解析】：从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内位移之比为1∶3.根据v2＝2ax，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶，故选项B正确．
8．(2019-2020学年·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点．已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )
A．t0 B．(－1)t0
C．2(＋1)t0 D．(2＋1)t0
【答案】C.
【解析】：由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为1∶(－1)；即t∶t0＝1∶(－1)，得t＝(＋1)t0，由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t，即2(＋1)t0，故C正确．
9．(多选)(2019-2020学年·湛江校级月考)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，对这一运动过程，下列正确的有( )
A．这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1 B．这连续三个1 s的平均速度之比为3∶2∶1
C．这连续三个1 s发生的位移之比为5∶3∶1 D．这连续三个1 s的速度改变量之比为1∶1∶1
【答案】ACD.
【解析】：采用逆向思维，汽车做初速度为零的匀加速直线运动，根据v＝at知，1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，则这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1，故A正确；采用逆向思维，根据x＝at2知，1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，所以连续三个1 s内的位移之比为5∶3∶1，连续三个1 s内的平均速度之比为5∶3∶1，故B错误，C正确；根据Δv＝at知，在连续三个1 s内的速度变化量之比为1∶1∶1，故D正确．
10．(2019-2020学年·新罗校级月考)如图所示，在冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t，则冰壶通过第四个矩形区域所需要的时间为( )
A．t B．2t
C．t D．(－1)t
【答案】A.
【解析】：冰壶做匀减速运动至速度为零，采用逆向思维，把冰壶看做从E到A的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移时间关系可知，冰壶从开始通过连续相等时间内的位移比为1∶3，可知，从E到D的时间和从D到A的时间相等，则可知冰壶通过第四个矩形区域的时间为t，故A正确．
11．(多选)(2019-2020学年·定远期末)如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块(即D位置)时速度恰好为零，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度
B．子弹通过每一部分时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC相同
C．子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D．子弹从进入木块到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2
【答案】AC.
【解析】：全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速运动的结论可知，中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置时的速度，故A正确；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一块木块的时间不相等，故速度的差值不相等，故B错误；将子弹的速度反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，通过CBAO的速度之比为：1∶∶∶2，子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1，故C正确；将子弹的速度反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由x＝at2可知，反向通过各木块用时之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)；子弹从进入木块到到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝(2－)∶(－)∶(－1)∶1，故D错误．
12．(2019-2020学年·青浦区二模)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶．其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x－t图象如图所示．则乙车追上甲车前两车间的最大距离是( )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
【答案】C.
【解析】：由x－t图象转化为v－t图象，5 s末相遇，由“面积”相等知道2.5 s两车共速．两车共速时相距最远．所以最大距离是阴影面积，即为25 m，故C正确．
二、非选择题
13．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速直线运动至停车，总共历时20 s，行进了 50 m，求汽车的最大速度．
【答案】：5 m/s
【解析】：法一 公式法
设最大速度为vm，由题意可得
x＝a1t＋vmt2－a2t ①
t＝t1＋t2 ②
vm＝a1t1 ③
0＝vm－a2t2 ④
由①②③④式整理得：vm＝＝m/s＝5 m/s.
法二 图象法作出汽车运动全过程的v－t图象如图所示
v－t图线与t轴围成的三角形的面积与位移相等，故x＝，所以vm＝＝＝ m/s＝5 m/s.
14.(2019-2020学年·山西高一期中)国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
【答案】：s＋－或s－
【解析】：若a1≥a2
A车先停下来，B车后停，只有B车停下来时才是最近距离
Δs＝s＋－
若a1≤a2，
那么两车应该是速度相等时距离最近
当v1－a1t＝v2－a2t
t＝
在时间t内，A的位移x1＝v1t－a1t2
B的位移x2＝v2t－a2t2
最近距离为Δs＝s＋x1－x2＝s－.
15．(2019-2020学年·甘肃兰州高一期末)小明同学乘坐京石“和谐号”动车，发现车厢内有速率显示屏．当动车在平直轨道上经历匀加速、匀速与再次匀加速运行期间，他记录了不同时刻的速率，进行换算后数据列于表格中．在0～600 s这段时间内，求：
t/s
v/(m·s－1)
0
30
100
40
300
50
400
50
500
60
550
70
600
80
(1)动车两次加速的加速度大小；
(2)动车位移的大小．
【答案】：(1)0.1 m/s2 0.2 m/s2 (2)30 250 m
【解析】：(1)通过记录表格可以看出，动车组有两个时间段处于加速状态，设加速度分别为a1、a2.
由a＝，代入数据得：
a1＝ m/s2＝0.1 m/s2
a2＝ m/s2＝0.2 m/s2.
(2)通过作出动车组的v－t图可知，第一次加速运动的结束时间是200 s，第二次加速运动的开始时刻是450 s.
x1＝t1＝×200 m＝8 000 m
x2＝v2t2＝50×250 m＝12 500 m
x3＝t3＝×150 m＝9 750 m
所以x＝x1＋x2＋x3＝(8 000＋12 500＋9 750) m＝30 250 m．
16.(2019-2020学年·广东广州三校联考)汽车前方120 m处有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路的不同车道上做同方向的直线运动，求：
(1)经多长时间，两车第一次相遇？
(2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经过多长时间两车第二次相遇？
【答案】：(1)10 s (2)13.5 s
【解析】：(1)设经过t1汽车追上自行车，则有：
v2t1＝v1t1＋x，解得t1＝10 s
故经过10 s两车第1次相遇．
(2)已知汽车加速度a＝－2 m/s2
设汽车从开始刹车到停下用时为t3，则t3＝＝9 s，
从开始刹车到停下汽车的位移x汽＝t3＝81 m，所以自行车实际追上汽车的时间为t2＝＝13.5 s>9 s，说明自行车在追上汽车前，汽车已停下．故再经过13.5 s两车第二次相遇．
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第二章 匀变速直线运动的研究
2.4 习题课：匀变速直线运动的推论
一、知识点归纳
知识点一、匀变速直线运动的两个基本公式
速度公式
v＝v0＋at，当v0＝0时，v＝at
位移公式
x＝v0t＋at2，当v0＝0时，x＝at2
由于运动学部分的公式较多，并且各公式之间又相互联系，因此本章中的一些题目常可一题多解．在解题时要开阔思路，联想比较，筛选出最便捷的解题方案，从而简化解题过程．
知识点二、匀变速直线运动推论的应用
平
均
速
度
公
式
内容
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即＝＝v
推导
＝＝＝v0＋at
而v＝v0＋a·
故＝v0＋at＝v
将v＝v0＋at代入上式可得
＝＝v
适用范围
匀变速直线运动
续 表
位
移
中
点
的
瞬
时
速
度
推导
在匀变速直线运动中，对于一段位移x，设初速度为v0，末速度为v，加速度为a，位移中点的瞬时速度为v，前一半位移有v2－v＝2a·＝ax，后一半位移有v2－v2＝2a·＝ax；联立以上两式有v2－v＝v2－v2，所以v＝
比较
在v－t图象中，速度图线与时间轴围成的“面积”表示位移．当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v>v；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v>v
故当物体做匀速运动时，v＝v；当物体做匀变速直线运动时，v>v
逐
差
相
等
公
式
内容
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2；若xm和xn分别为第m段、第n段位移，则xm－xn＝(m－n)aT2
推导
在时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①，在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2②，则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③；由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
作用
一是用来判断物体是否做匀变速直线运动，二是用来求加速度
适用
范围
匀变速直线运动
知识点三、匀变速直线运动基本公式的选用
1．四个公式的比较
一般形式
特殊形式(v0＝0)
不涉及的物理量
速度公式
v＝v0＋at
v＝at
x
位移公式
x＝v0t＋at2
x＝at2
v
速度位移关系式
v2－v＝2ax
v2＝2ax
t
平均速度求位移公式
x＝t
x＝t
a
2.公式的应用步骤
(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图．
(2)明确研究对象，明确已知量、待求量．
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负．
(4)选择适当的公式求解．
(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向．
知识点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
(2)按位移等分(设相等的位移为x)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
题型五、对追及、相遇问题的计算
1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系
一个条件：速度相等
是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，这是解题的切入点
两个关系：时间关系和位移关系
其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
若同时出发，则两物体时间相等，则需要列速度相等方程和位移关系方程
2.解答追及与相遇问题的常用方法
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图象法
将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解
数学分析法
设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇
二、题型分析
题型一 匀变速直线运动基本公式的选用技巧
【例1】一滑块自静止开始从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)4 s末的速度．
(2)运动后5 s内的位移．
(3)第5 s内的位移．
【方法总结】
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式1】．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，试求：
(1)该质点的初速度和加速度．
(2)该质点5 s内的位移．
【变式2】．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
题型二 匀变速直线运动推论的应用
【例2】有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度是多少．
【变式1】．(2019-2020学年·濮阳期末)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v1，经过t时间运动的位移为x，速度变为v2，则下列说法错误的是( )
A．平均速度等于 B．平均速度等于
C．中间位置的瞬时速度等于 D．中间时刻的瞬时速度等于
【变式2】．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度为 B．物体经过AB位移中点的速度为
C．物体通过AB这段位移的平均速度为 D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为
【变式3】．(多选)做初速度不为零的匀加速直线运动的物体，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下判断正确的是( )
A．物体在A点的速度为 B．物体运动的加速度为
C．物体运动的加速度为 D．物体在B点的速度为
题型三 速度与位移关系式的应用
【例3】(多选)(2019-2020学年·西湖校级模拟)几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动．恰好能穿出第四个水球，则可以判定( )
A．子弹在每个水球中运动的时间相同
B．由题干信息可以确定子弹穿过每个水球的时间比
C．子弹在每个水球中速度变化相同
D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
【变式】(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
题型四、对追及、相遇问题的计算
【例4】(2019-2020学年·茂名月考)高速公路上，一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上，另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度随其后并逐渐接近．大货车的制动性能较差，刹车时的加速度保持在4 m/s2，而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时能使汽车的加速度保持在8 m/s2.若前方大货车突然紧急刹车，SUV小客车司机的反应时间是0.50 s，为了避免发生追尾事故，轿车和卡车之间至少应保留多大的距离？
【方法总结】
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【变式1】．(2019-2020学年·西安高一检测)一辆货车以8 m/s的速度在平直铁路上匀速运行，由于调度失误，在后面600 m处有一辆客车以72 km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2 000 m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度是多少？
(2)计算后判断两车是否会相撞．
【变式2】．(2019-2020学年·成都测试)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
三、课后提升作业
1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
2．(2019-2020学年·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4 s．前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和BC＝12 m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是( )
A．1 m/s2 5 m/s B．2 m/s2 5 m/s
C．1 m/s2 10 m/s D．2 m/s2 10 m/s
3.(多选)(2019-2020学年·红塔区校级期末)如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑，下列结论中正确的是( )
A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3
B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(－1)∶1
C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
4．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移中间位置的瞬时速度为v2，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1＝v2
D．匀加速直线运动时，v1
5．(多选)(2019-2020学年·新疆高一期中)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m．且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是( )
A．可以求出物体加速度的大小 B．可以求得CD＝4 m
C．可以求得OA之间的距离为1.125 m D．可以求得OB之间的距离为12.5 m
6．(2019-2020学年·浙江模拟)一物体做匀变速直线运动，在通过第一段位移x1的过程中，其速度变化量为Δv，紧接着通过第二段位移x2，速度变化量仍为Δv.则关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．第一段位移x1一定大于第二段位移x2 B．两段运动所用时间一定不相等
C．物体运动的加速度为 D．通过两段位移的平均速度为
7．(2019-2020学年·芜湖高一检测)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
8．(2019-2020学年·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点．已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )
A．t0 B．(－1)t0
C．2(＋1)t0 D．(2＋1)t0
9．(多选)(2019-2020学年·湛江校级月考)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，对这一运动过程，下列正确的有( )
A．这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1 B．这连续三个1 s的平均速度之比为3∶2∶1
C．这连续三个1 s发生的位移之比为5∶3∶1 D．这连续三个1 s的速度改变量之比为1∶1∶1
10．(2019-2020学年·新罗校级月考)如图所示，在冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t，则冰壶通过第四个矩形区域所需要的时间为( )
A．t B．2t
C．t D．(－1)t
11．(多选)(2019-2020学年·定远期末)如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块(即D位置)时速度恰好为零，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度
B．子弹通过每一部分时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC相同
C．子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D．子弹从进入木块到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2
12．(2019-2020学年·青浦区二模)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶．其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x－t图象如图所示．则乙车追上甲车前两车间的最大距离是( )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
二、非选择题
13．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速直线运动至停车，总共历时20 s，行进了 50 m，求汽车的最大速度．
14.(2019-2020学年·山西高一期中)国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
15．(2019-2020学年·甘肃兰州高一期末)小明同学乘坐京石“和谐号”动车，发现车厢内有速率显示屏．当动车在平直轨道上经历匀加速、匀速与再次匀加速运行期间，他记录了不同时刻的速率，进行换算后数据列于表格中．在0～600 s这段时间内，求：
t/s
v/(m·s－1)
0
30
100
40
300
50
400
50
500
60
550
70
600
80
(1)动车两次加速的加速度大小；
(2)动车位移的大小．
16.(2019-2020学年·广东广州三校联考)汽车前方120 m处有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路的不同车道上做同方向的直线运动，求：
(1)经多长时间，两车第一次相遇？
(2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经过多长时间两车第二次相遇？
2020-2021学年高一物理卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）
第二章 匀变速直线运动的研究
2.4 习题课：匀变速直线运动的推论
一、知识点归纳
知识点一、匀变速直线运动的两个基本公式
速度公式
v＝v0＋at，当v0＝0时，v＝at
位移公式
x＝v0t＋at2，当v0＝0时，x＝at2
由于运动学部分的公式较多，并且各公式之间又相互联系，因此本章中的一些题目常可一题多解．在解题时要开阔思路，联想比较，筛选出最便捷的解题方案，从而简化解题过程．
知识点二、匀变速直线运动推论的应用
平
均
速
度
公
式
内容
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即＝＝v
推导
＝＝＝v0＋at
而v＝v0＋a·
故＝v0＋at＝v
将v＝v0＋at代入上式可得
＝＝v
适用范围
匀变速直线运动
续 表
位
移
中
点
的
瞬
时
速
度
推导
在匀变速直线运动中，对于一段位移x，设初速度为v0，末速度为v，加速度为a，位移中点的瞬时速度为v，前一半位移有v2－v＝2a·＝ax，后一半位移有v2－v2＝2a·＝ax；联立以上两式有v2－v＝v2－v2，所以v＝
比较
在v－t图象中，速度图线与时间轴围成的“面积”表示位移．当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v>v；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v>v
故当物体做匀速运动时，v＝v；当物体做匀变速直线运动时，v>v
逐
差
相
等
公
式
内容
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2；若xm和xn分别为第m段、第n段位移，则xm－xn＝(m－n)aT2
推导
在时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①，在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2②，则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③；由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
作用
一是用来判断物体是否做匀变速直线运动，二是用来求加速度
适用
范围
匀变速直线运动
知识点三、匀变速直线运动基本公式的选用
1．四个公式的比较
一般形式
特殊形式(v0＝0)
不涉及的物理量
速度公式
v＝v0＋at
v＝at
x
位移公式
x＝v0t＋at2
x＝at2
v
速度位移关系式
v2－v＝2ax
v2＝2ax
t
平均速度求位移公式
x＝t
x＝t
a
2.公式的应用步骤
(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图．
(2)明确研究对象，明确已知量、待求量．
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负．
(4)选择适当的公式求解．
(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向．
知识点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
(2)按位移等分(设相等的位移为x)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
题型五、对追及、相遇问题的计算
1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系
一个条件：速度相等
是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，这是解题的切入点
两个关系：时间关系和位移关系
其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
若同时出发，则两物体时间相等，则需要列速度相等方程和位移关系方程
2.解答追及与相遇问题的常用方法
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图象法
将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解
数学分析法
设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇
二、题型分析
题型一 匀变速直线运动基本公式的选用技巧
【例1】一滑块自静止开始从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)4 s末的速度．
(2)运动后5 s内的位移．
(3)第5 s内的位移．
【答案】(1)4.8 m/s (2)15 m (3)5.4 m
【解析】(1)滑块的加速度：
a＝＝ m/s2＝1.2 m/s2
4 s末的速度：
v4＝at′＝1.2×4 m/s＝4.8 m/s.
(2)法一：由x＝at2得：
x＝×1.2×52 m＝15 m.
法二：由x＝·t得：
x＝×5 m＝15 m.
法三：由v2＝2ax得：
x＝＝ m＝15 m.
(3)法一：第5 s内的位移等于前5 s内的位移减去前4 s内的位移：
Δx＝x－at′2＝15 m－×1.2×42 m＝5.4 m.
法二：Δx＝Δt＝×1 m＝5.4 m.
法三：由v2－v＝2a·Δx得：
Δx＝ ＝ m＝5.4 m.
【方法总结】巧选运动学公式的基本方法
公式中共涉及v0、v、a、t、x五个物理量，而每个公式中都含有四个量，因此明确三个量就可求出另外的两个量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果，方法如下：
无位移x，也不需求位移
选用速度公式v＝v0＋at
无末速度v，也不需求末速度
选用位移公式
x＝v0t＋at2
无运动时间t，也不需要求运动时间
选用速度位移公式
v2－v＝2ax
没有加速度a，也不涉及加速度
选用平均速度位移公式
x＝t
【变式1】．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，试求：
(1)该质点的初速度和加速度．
(2)该质点5 s内的位移．
【答案】：(1)2 m/s 4 m/s2 (2)60 m
【解析】：(1)第3 s内的位移等于前3 s内位移与前2 s内位移之差，即Δx3＝x3－x2＝12 m，
代入数据得
v0×3＋a×32－(v0×2＋a×22)＝12①
同理可得：v0×5＋a×52－(v0×4＋a×42)＝20②
联立①②解得v0＝2 m/s，a＝4 m/s2.
(2)5 s内的位移为x＝v0t5＋at＝60 m.
【变式2】．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
【答案】：25 s
【解析】：法一(利用速度公式和位移公式求解)
vt＝v0＋at，x＝v0t＋at2
代入数据解得a＝0.128 m/s2，t＝25 s.
法二(利用位移与速度的关系式和速度公式求解)
由v－v＝2ax
得a＝＝0.128 m/s2
由vt＝v0＋at
得t＝＝25 s.
题型二 匀变速直线运动推论的应用
【例2】有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度是多少．
【答案】1 m/s 2.5 m/s2
【解析】由题意可画出物体的运动示意图：
法一：逐差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2①
又x1＝vAT＋aT2②
vC＝vA＋a·2T③
由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s
2＝＝ m/s＝16 m/s
由于B是A、C的中间时刻，则1＝，2＝
又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.
法三：基本公式法
由位移公式得：x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式，
解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
【变式1】．(2019-2020学年·濮阳期末)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v1，经过t时间运动的位移为x，速度变为v2，则下列说法错误的是( )
A．平均速度等于 B．平均速度等于
C．中间位置的瞬时速度等于 D．中间时刻的瞬时速度等于
【答案】C.
【解析】：根据平均速度的定义可得平均速度为＝，故A正确；物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初末速度和的一半，即＝，故B正确；设中间位置的瞬时速度为v，匀变速运动加速度为a，则v2－v＝2a·①，v－v2＝2a·②，①②式联立解得：v＝，故C错误；物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初末速度和的一半，即v＝＝，故D正确．
【变式2】．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有( )
A．物体经过AB位移中点的速度为 B．物体经过AB位移中点的速度为
C．物体通过AB这段位移的平均速度为 D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为
【答案】BCD.
【解析】：设经过位移中点时的速度为v，则对前半段的位移有2a·＝v2－v，对后半段的位移有2a·＝v－v2，由这两式得v＝ ，选项A错误，B正确；对匀变速直线运动而言，总有v＝v＝，选项C、D正确．
【变式3】．(多选)做初速度不为零的匀加速直线运动的物体，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下判断正确的是( )
A．物体在A点的速度为 B．物体运动的加速度为
C．物体运动的加速度为 D．物体在B点的速度为
【答案】ACD.
【解析】：根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知：vA＝，故A正确；根据x2－x1＝aT2得物体运动的加速度为：a＝，故B错误，C正确；在该加速运动过程中有：vB＝vA＋aT＝＋＝，故D正确．
题型三 速度与位移关系式的应用
【例3】(多选)(2019-2020学年·西湖校级模拟)几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动．恰好能穿出第四个水球，则可以判定( )
A．子弹在每个水球中运动的时间相同
B．由题干信息可以确定子弹穿过每个水球的时间比
C．子弹在每个水球中速度变化相同
D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
【答案】BD
【解析】设水球的直径为d，子弹运动的过程为匀减速直线运动，直到末速度为零，我们可以应用逆过程，相当于子弹初速度为零做匀加速直线运动；因为通过最后1个、最后2个、后3个、全部4个的位移分别为d，2d，3d和4d，根据x＝at2知，时间之比为1∶∶∶2，所以子弹在每个水球中运动的时间不同．由以上的分析可知，子弹依次穿过4个水球的时间之比为(2－)∶(－)∶(－1)∶1，故A错误，B正确；子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，则受力是相同的，所以加速度相同，由Δv＝at可知，运动的时间不同，则速度的变化量不同，故C错误；由A的分析可知，子弹穿过前3个水球的时间与穿过第4个水球的时间是相等的，由匀变速直线运动的特点可知，子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等，故D正确．
【变式】(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
【答案】BC.
【解析】：初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，物体到达各点的速率之比为1∶∶∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD，故A错误，B正确；物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度v＝vB，故C正确；物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误．
题型四、对追及、相遇问题的计算
【例4】(2019-2020学年·茂名月考)高速公路上，一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上，另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度随其后并逐渐接近．大货车的制动性能较差，刹车时的加速度保持在4 m/s2，而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时能使汽车的加速度保持在8 m/s2.若前方大货车突然紧急刹车，SUV小客车司机的反应时间是0.50 s，为了避免发生追尾事故，轿车和卡车之间至少应保留多大的距离？
【答案】32 m
【解析】反应时间里SUV的行驶距离：x1＝v1t0；若恰好发生追尾，则两车速度相等，有：
v＝v1＋a1(t－0.5 s)，v＝v2＋a2t
代入数据，得两车发生追尾所用时间：t＝4 s
此段时间内，两车行驶距离：s1＝x1＋v1t＋a1t2，
s2＝v2t＋a2t2
则有两车之间不发生追尾的最小距离：Δs＝s1－s2；两车刹车时的加速度分别是：a1＝－8 m/s2，a2＝－4 m/s2，代入数据得：Δs＝32 m.
【方法总结】常见的追及、相遇问题
类型
图象
说明
匀加速追匀速
(1)t＝t0以前，后面物体与前面物体间距逐渐增大
(2)t＝t0时，v1＝v2，两物体间距最大，为x0＋Δx
(3)t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小
(4)能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
匀减速追匀速
开始时，后面物体与前面物体间的距离在逐渐减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
(1)若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
(2)若Δx
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
注意：(1)x0为开始时两物体之间的距离
(2)Δx为从开始追赶到两者速度相等时，后面的物体多发生的位移
(3)时间关系t2－t0＝t0－t1
(4)v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度
【变式1】．(2019-2020学年·西安高一检测)一辆货车以8 m/s的速度在平直铁路上匀速运行，由于调度失误，在后面600 m处有一辆客车以72 km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2 000 m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度是多少？
(2)计算后判断两车是否会相撞．
【答案】：(1)0.1 m/s2 (2)见解析
【解析】：(1)由公式v2－v＝2ax得客车刹车的加速度大小为
a＝＝ m/s2＝0.1 m/s2.
(2)假设不相撞，设两车达到共同速度用时为t，则
v2－at＝v1，t＝120 s
货车在该时间内的位移
x1＝v1t＝8×120 m＝960 m
客车在该时间内的位移
x2＝t＝1 680 m
位移大小关系：x2＝1 680 m>600 m＋x1＝1 560 m，故已相撞．
【变式2】．(2019-2020学年·成都测试)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
【答案】：(1)2 s 6 m (2)4 s末 12 m/s
【解析】：法一 物理分析法
(1)当两车的速度相等时，两车之间的距离Δx最大．
由v汽＝at＝v自得t＝＝2 s
则Δx＝v自t－at2＝6 m.
(2)从自行车超过汽车，到汽车追上自行车时，两车位移相等，则v自t′＝at′2，解得t′＝4 s
此时汽车的速度v′汽＝at′＝12 m/s.
法二 数学分析法
(1)设经时间t，汽车与自行车相距为Δx，则
Δx＝x自－x汽＝v自t－at2＝－(t－2)2＋6
显然，当t＝2 s时，Δxmax＝6 m.
(2)当Δx＝0时，汽车追上自行车，
则有t′1＝0(舍去)或t′2＝4 s
此时汽车的速度v汽＝at′2＝12 m/s.
法三 v－t图象法
作出v－t图象，如图所示．
(1)可以看出，t＝2 s时两车速度相等，且此时两车相距最远，两车的位移差Δx＝×6×2 m＝6 m.
(2)由图知，t＝2 s后，若两车位移相等，即v－t图线与时间轴所围面积相等，则汽车追上自行车．
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，
此时v汽＝2v自＝12 m/s.
三、课后提升作业
1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
【答案】D.
【解析】：根据平均速度公式可知v＝＝，即 m/s＝，得v0＝5 m/s，所以D选项正确．
2．(2019-2020学年·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4 s．前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和BC＝12 m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是( )
A．1 m/s2 5 m/s B．2 m/s2 5 m/s
C．1 m/s2 10 m/s D．2 m/s2 10 m/s
【答案】A.
【解析】：根据Δx＝aT2得，质点的加速度a＝＝＝ m/s2＝1 m/s2；B点的瞬时速度vB＝＝ m/s＝5 m/s.故A正确，B、C、D错误．
3.(多选)(2019-2020学年·红塔区校级期末)如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑，下列结论中正确的是( )
A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3
B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(－1)∶1
C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝
【答案】BC.
【解析】：由速度位移关系式有：v＝2aAB，v＝2aAC，v＝2aAD，由AB＝BC＝CD，可得vB∶vC∶vD＝1∶∶，故A错误；物体在AB段的平均速度为vAB＝，物体在BC段的平均速度为vBC＝，由前面的分析可得vAB∶vBC＝(－1)∶1，故B正确；由公式v＝可得vC＝，故C正确，D错误．
4．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移中间位置的瞬时速度为v2，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1＝v2
D．匀加速直线运动时，v1
【答案】A.
【解析】：画出匀加速直线运动与匀减速直线运动的v－t图象，如图甲、乙所示，由图知v1
5．(多选)(2019-2020学年·新疆高一期中)如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m．且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是( )
A．可以求出物体加速度的大小 B．可以求得CD＝4 m
C．可以求得OA之间的距离为1.125 m D．可以求得OB之间的距离为12.5 m
【答案】BC.
【解析】：由Δs＝at2可得物体的加速度a的大小为a＝＝＝，因为不知道时间，所以不能求出加速度，故A错误；根据sCD－sBC＝sBC－sAB＝1 m，可知sCD＝(3＋1) m＝4 m，故B正确；物体经过B点时的瞬时速度为vB＝vAC＝，再 v＝2as可得O、B两点间的距离为sOB＝＝·＝3.125 m，所以O与A间的距离为 sOA＝sOB－sAB＝(3.125－2)m＝1.125 m，故C正确，D错误．
6．(2019-2020学年·浙江模拟)一物体做匀变速直线运动，在通过第一段位移x1的过程中，其速度变化量为Δv，紧接着通过第二段位移x2，速度变化量仍为Δv.则关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．第一段位移x1一定大于第二段位移x2 B．两段运动所用时间一定不相等
C．物体运动的加速度为 D．通过两段位移的平均速度为
【答案】C.
【解析】：两段过程中速度的变化量相等，根据t＝知，两段过程中运动的时间相等，若做匀加速直线运动，第一段位移小于第二段位移，若做匀减速直线运动，第一段位移大于第二段位移，故A、B错误；两段过程的时间相等，设为Δt，则有：x2－x1＝aΔt2，又Δv＝aΔt，解得物体的加速度a＝，故C正确；运动的总时间t＝2×＝，则通过两段位移的平均速度＝＝，故D错误．
7．(2019-2020学年·芜湖高一检测)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
【答案】B.
【解析】：从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内位移之比为1∶3.根据v2＝2ax，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶，故选项B正确．
8．(2019-2020学年·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点．已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )
A．t0 B．(－1)t0
C．2(＋1)t0 D．(2＋1)t0
【答案】C.
【解析】：由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为1∶(－1)；即t∶t0＝1∶(－1)，得t＝(＋1)t0，由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t，即2(＋1)t0，故C正确．
9．(多选)(2019-2020学年·湛江校级月考)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，对这一运动过程，下列正确的有( )
A．这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1 B．这连续三个1 s的平均速度之比为3∶2∶1
C．这连续三个1 s发生的位移之比为5∶3∶1 D．这连续三个1 s的速度改变量之比为1∶1∶1
【答案】ACD.
【解析】：采用逆向思维，汽车做初速度为零的匀加速直线运动，根据v＝at知，1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，则这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1，故A正确；采用逆向思维，根据x＝at2知，1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，所以连续三个1 s内的位移之比为5∶3∶1，连续三个1 s内的平均速度之比为5∶3∶1，故B错误，C正确；根据Δv＝at知，在连续三个1 s内的速度变化量之比为1∶1∶1，故D正确．
10．(2019-2020学年·新罗校级月考)如图所示，在冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t，则冰壶通过第四个矩形区域所需要的时间为( )
A．t B．2t
C．t D．(－1)t
【答案】A.
【解析】：冰壶做匀减速运动至速度为零，采用逆向思维，把冰壶看做从E到A的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移时间关系可知，冰壶从开始通过连续相等时间内的位移比为1∶3，可知，从E到D的时间和从D到A的时间相等，则可知冰壶通过第四个矩形区域的时间为t，故A正确．
11．(多选)(2019-2020学年·定远期末)如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块(即D位置)时速度恰好为零，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度
B．子弹通过每一部分时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC相同
C．子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1
D．子弹从进入木块到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝1∶∶∶2
【答案】AC.
【解析】：全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速运动的结论可知，中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置时的速度，故A正确；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一块木块的时间不相等，故速度的差值不相等，故B错误；将子弹的速度反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，通过CBAO的速度之比为：1∶∶∶2，子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶∶∶1，故C正确；将子弹的速度反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由x＝at2可知，反向通过各木块用时之比为1∶(－1)∶(－)∶(2－)；子弹从进入木块到到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝(2－)∶(－)∶(－1)∶1，故D错误．
12．(2019-2020学年·青浦区二模)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶．其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x－t图象如图所示．则乙车追上甲车前两车间的最大距离是( )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
【答案】C.
【解析】：由x－t图象转化为v－t图象，5 s末相遇，由“面积”相等知道2.5 s两车共速．两车共速时相距最远．所以最大距离是阴影面积，即为25 m，故C正确．
二、非选择题
13．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速直线运动至停车，总共历时20 s，行进了 50 m，求汽车的最大速度．
【答案】：5 m/s
【解析】：法一 公式法
设最大速度为vm，由题意可得
x＝a1t＋vmt2－a2t ①
t＝t1＋t2 ②
vm＝a1t1 ③
0＝vm－a2t2 ④
由①②③④式整理得：vm＝＝m/s＝5 m/s.
法二 图象法作出汽车运动全过程的v－t图象如图所示
v－t图线与t轴围成的三角形的面积与位移相等，故x＝，所以vm＝＝＝ m/s＝5 m/s.
14.(2019-2020学年·山西高一期中)国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
【答案】：s＋－或s－
【解析】：若a1≥a2
A车先停下来，B车后停，只有B车停下来时才是最近距离
Δs＝s＋－
若a1≤a2，
那么两车应该是速度相等时距离最近
当v1－a1t＝v2－a2t
t＝
在时间t内，A的位移x1＝v1t－a1t2
B的位移x2＝v2t－a2t2
最近距离为Δs＝s＋x1－x2＝s－.
15．(2019-2020学年·甘肃兰州高一期末)小明同学乘坐京石“和谐号”动车，发现车厢内有速率显示屏．当动车在平直轨道上经历匀加速、匀速与再次匀加速运行期间，他记录了不同时刻的速率，进行换算后数据列于表格中．在0～600 s这段时间内，求：
t/s
v/(m·s－1)
0
30
100
40
300
50
400
50
500
60
550
70
600
80
(1)动车两次加速的加速度大小；
(2)动车位移的大小．
【答案】：(1)0.1 m/s2 0.2 m/s2 (2)30 250 m
【解析】：(1)通过记录表格可以看出，动车组有两个时间段处于加速状态，设加速度分别为a1、a2.
由a＝，代入数据得：
a1＝ m/s2＝0.1 m/s2
a2＝ m/s2＝0.2 m/s2.
(2)通过作出动车组的v－t图可知，第一次加速运动的结束时间是200 s，第二次加速运动的开始时刻是450 s.
x1＝t1＝×200 m＝8 000 m
x2＝v2t2＝50×250 m＝12 500 m
x3＝t3＝×150 m＝9 750 m
所以x＝x1＋x2＋x3＝(8 000＋12 500＋9 750) m＝30 250 m．
16.(2019-2020学年·广东广州三校联考)汽车前方120 m处有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路的不同车道上做同方向的直线运动，求：
(1)经多长时间，两车第一次相遇？
(2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经过多长时间两车第二次相遇？
【答案】：(1)10 s (2)13.5 s
【解析】：(1)设经过t1汽车追上自行车，则有：
v2t1＝v1t1＋x，解得t1＝10 s
故经过10 s两车第1次相遇．
(2)已知汽车加速度a＝－2 m/s2
设汽车从开始刹车到停下用时为t3，则t3＝＝9 s，
从开始刹车到停下汽车的位移x汽＝t3＝81 m，所以自行车实际追上汽车的时间为t2＝＝13.5 s>9 s，说明自行车在追上汽车前，汽车已停下．故再经过13.5 s两车第二次相遇．
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