高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课时练习

3.1 函数的概念及其表示

1．函数的概念

[知识点拨]　(1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．

(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．

(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．

(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．

(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．

2．区间及有关概念

(1)一般区间的表示．

设a，b∈R，且a<b，规定如下：

(2)特殊区间的表示.

[知识点拨]　(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．

(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．

(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．

3.函数的表示法

[知识点拨]　三种表示法的优缺点如下表：

4. 分段函数

所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．

[知识点拨]　分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

题型一 区间的表示

【例1】（广东湛江）用区间表示下列数集：

（1）；            （2）；

（3）；        （4）R；

（5）；        （6）．

【题型专练】

1．（安徽）已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.

2．（广东潮州）用区间表示下列集合：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）.

题型二  函数的判断

【例2】（1）（全国高一课时练习）下列图形中，不可能是函数图象的是（    ）

A． B． C． D．

（2）（全国高一课时练习）设集合，，则下述对应法则中，不能构成A到B的函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【题型专练】

1．（广西）下列各图中，不可能表示函数y=f(x)的图象的是（    ）

A． B． C． D．

2．（广东中山市）（多选）设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ）

A． B． C． D．

3．（全国高一课时练习）有对应法则f：

（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；

（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；

（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；

（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；

（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.

其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．

题型三  函数的定义域

【例3-1】（1）（浙江高一期末）函数的定义域（    ）

A． B． C． D．

（2）（全国高一课时练习）函数定义域为（ ）

A．[2，+∞) B．(2，+∞)

C．(2，3)∪(3，+∞) D．[2，3)∪(3，+∞)

【例3-2】（广东）（1）已知 的定义域为，求函数的定义域；

（2）已知 的定义域为，求的定义域；

（3）已知函数 的定义域为，求函数的定义域．

【题型专练】

1．（辽河油田第二高级中学高一开学考试）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

2．（云南文山壮族苗族自治州）函数的定义域是（    ）

A．  B．

C．  D．

3．（广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））函数的定义域为（    ）

A．        B．   C．  D．

4．（江苏高一）函数的定义域为（    ）

A． B．，且

C． D．

5．（安徽芜湖市）已知函数，则函数的定义域是（    ）

A．[-5，4] B．[-2，7] C．[-2，1] D．[1，4]

6．（上海浦东新区）已知函数 的定义域为，则函数的定义域为___________.

7．（黑龙江大庆市）若函数的定义域为，则函数的定义域是__________．

8.（云南）已知函数的定义域为，则函数的定义域为       

9．（江苏高一课时练习）（1）已知f(x)的定义域为[0，2]，求y=f(x+1)的定义域；

（2）已知y=f(x+1)的定义域为[0，2]，求f(x)的定义域；

（3）已知函数y=f(2x﹣1)的定义域为[﹣1，1]，求函数y=f(x﹣2)的定义域.

题型四 函数的表示方法

【例4-1】．（陕西咸阳市）德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于的每一个值， 总有一个完全确定的值与之对应，则是 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格还是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【例4-2】已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．

【例4-3】（上海高一专题练习）（1）已知 求的解析式.

（2）已知函数，求函数，的解析式

（3）已知 是二次函数，且，求的解析式

（4）已知函数 满足，则 =_____________.

【题型专练】

1．（湖北恩施土家族苗族自治州）若一次函数 满足，则 _________．

2．（全国高一课时练习）已知，则的解析式为______________．

3.（2021年云南节选））根据下列条件，求函数的解析式；

（1）已知是一次函数，且满足；

(2)已知函数 为二次函数，且，求的解析式；

（3）已知；

（4）已知等式对一切实数 ､都成立，且；

（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立

（6）已知，求的解析式；

5.作出下列函数的图象：

(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；   (2)y＝，x∈[2，＋∞)；   (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．

题型五  两个函数相等

【例5】（浙江）下列函数中，与函数是相等函数的是（    ）

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）下列函数中，表示同一个函数的是（    ）

A．y=x2与y=()4                                    B．y=x2与y=t2

C．y=与y=            D．y=·与y=

2．（东莞市光明中学高一开学考试）判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（    ）

（1），（）；（2），；

（3），；（4），．

A．（1），（4） B．（2），（3） C．（1） D．（3）

3．（福建三明市·高一期末）下列各组函数中表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．，  D．，

题型六  函数值

【例6】（1）（吉林延边朝鲜族自治州·高一期末）已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

（2）（全国高一课时练习）函数f(x)对于任意实数x均满足f(x+2)=，若f（1）=-5，则f(f(5))=（    ）

A．2   B．5   C．-5 D．-

（3）（四川省）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）已知函数，且，则实数＝________.

2．（福建福州市）已知函数，若，则实数的值为____________．

3．（江苏南通市·高一期末）已知函数满足：，且对任意的实数x，都有成立，则______.

4．（全国高一课时练习）已知，，则________.

题型七 分段函数

【例7-1】（1）（浙江高一期末）已知则（    ）

A．7 B．2 C．10 D．12

（2）（浙江高一期末）设，则（    ）

A． B． C． D．

（3）（新疆乌苏市第一中学高一开学考试）已知函数，若，则a的值是（    ）

A．3或 B．或4 C． D．3或或4

【例7-2】（全国高一课时练习）已知函数f(x)=

求：（1）画出函数f(x)的简图(不必列表)；

（2）求f(f（3）)的值；

（3）当-4≤x<3时，求f(x)取值的集合．

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）设，则的值为（    ）

A．16 B．18 C．21 D．24

2．（全国高一课时练习）已知f(x)= ，，则f(g（2）)=（    ）

A．-3 B．-2 C．3 D．-1

3．（保定市徐水区第一中学高一期末）设函数则（　　）

A．－1 B．0

C．1 D．4

4．（广东清远市·高一期末）已知函数则（    ）

A． B．-4 C． D．4

5．（全国高一）设函数，若，则t的值是（    ）

A．2 B．0 C．0或 D．

6．（全国高一）已知函数．

（1）求的值；

（2）画出函数的图象．