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高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论精品课后作业题
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论精品课后作业题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
11.2平面的基本事实与推论人教 B版（2019）高中数学必修第四册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB,BC,DA,CD上的点，且AE=EB，BF=FC，CH=2HD，AG=2GD，则下列说法错误的是( )
A. AC//平面EFH B. EF//GH
C. 直线EG,FH,BD相交于同一点 D. BD//平面EFG
2. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
⑤若a //b，b //c，则a //c；
其中正确的命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 下列命题为真命题的是
A. 若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
B. 若直线a与直线b是异面直线，直线a与直线c是异面直线，则b与c共面
C. 空间中有一组对边平行的四边形必在一平面内
D. 空间中相等的两个角的两边分别对应平行
4. 下列命题一定正确的是( )
A. 三点确定一个平面 B. 依次首尾相接的四条线段必共面
C. 直线与直线外一点确定一个平面 D. 两条直线确定一个平面
5. 下列说法中正确的个数是( )
①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行
②三个平面最多将空间分为8个部分
③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形
④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在正方体AC1中，E,F分别是线段BC,CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
7. 下列命题中正确命题的个数是( )
①不在同一条直线上的三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③四边形是平面图形；④三条平行线确定三个平面
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 下列命题中，不是公理的是( )
A. 平行于同一条直线的两条直线平行
B. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
C. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D. 如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，若E, F, G分别为棱BC, CC1, B1C1的中点，O1, O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则( )
A. A, C, O1, D1四点共面 B. D, E, G, F四点共面
C. A, E, F, D1四点共面 D. G, E, O1, O2四点共面
10. 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2，则．( )
A. BD//平面EGHF B. FH//平面ABC
C. AC//平面EGHF D. 直线GE，HF，AC交于一点
11. 在四面体A−BCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A. M，N，P，Q四点共面
B. ∠QME=∠CBD
C. △BCD∽△MEQ
D. 四边形MNPQ为梯形
12. 如图，在四棱锥B−ACDE中，AE // CD，CD=2AE，点M,N分别为BE,BA的中点，若DM∩CN=P，DE∩CA=Q，则下述正确的是( )
A. DM=DE+DB
B. 直线DE与BC异面
C. MN // CD
D. B,P,Q三点共线
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 空间的4个平面最多能将空间分成 个区域．
14. 如图，已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，N为BC上的点，且BC=4BN，M为ΔPCD内的一动点，若MN//平面PAB，则点M的轨迹的长度为 ．
15. 如图，已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，N为BC上的点，且BC=4BN，M为ΔPCD内的一动点，若MN//平面PAB，则点M的轨迹的长度为 ．
16. 已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE=EB，BF=FC，CH=2HD，AG=2GD，则下列说法中所有正确的序号是________．
①AC //平面EFH；②EF // GH；③直线EG，FH，BD相交于同一点；④BD //平面EFG．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=13BC,CH=13DC.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线FH,EG,AC共点．
18. (本小题12.0分)
在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且AEAB=CFCB=14.求证：
(1)点E，F，G，H四点共面；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
19. (本小题12.0分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．
(1)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；
(2)平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比．
20. (本小题12.0分)
如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
21. (本小题12.0分)
在四面体ABCD中，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点，且CFBF=CGDG=12.求证：
(1)四边形EFGH是梯形；
(2)AC，EF，GH三条直线相交于同一点．
22. (本小题12.0分)
已知空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是BC,CD上的点，且CFCB=CGCD=23．
求证：(1)E,F,G,H四点共面；
(2)三条直线EF,GH,AC交于一点．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行的判定，平行公理与等角定理，平面的基本性质及应用和空间中直线与平面的位置关系．
利用线面平行的判定对A进行判定，再利用平行公理对B进行判定，再利用平面的基本性质对C进行判定，最后利用空间中直线与平面的位置关系对D进行判定，从而得结论．
【解答】
解：如图所示，
∵AE=EB，BF=FC，∴EF是△ABC的中位，
因此EF //AC且EF=12AC．
又∵EF⊂平面EFH，AC⊄平面EFH，
∴AC //平面EFH，故A正确．
∵CH=2HD，AG=2GD，
∴GH //AC且GH=23AC，而EF //AC，
所以EF //GH，故B正确．
由EF //GH，EF=12AC，GH=23AC，得四边形EFHG是梯形，
因此直线FH，EG相交，设交点为M，
则M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，
则M是平面ABD和平面CD的公共点，则M∈BD，
即直线EG，FH，BD相交于同一点，故C正确．
因为AE=EB，AG=2GD，所以直线BD与EG必相交，因此错误的是D．
故选D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线之间的位置关系的判断，主要考查空间想像能力，空间中线面、线线位置关系的判断力．由线线的位置关系可判断①②③④；由平行的传递性判断⑤．
【解答】
解：①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线，与同一直线异面的两直线可能是平行的，即异面关系不具有传递性，故命题不正确；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交，相交关系不具有传递性，故命题不正确；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，线线间共面关系不具有传递性，a//b，b与c相交，则a，c可以是异面关系，故命题不正确；
⑤若a//b，b//c，则a//c，此是空间两直线平行公理，是正确命题；
综上，仅有⑤正确．
故选B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质、空间线线、线面、面面位置关系的判断，属于中档题．
根据平面的基本性质和公理以及推论判定A，C；在正方体中举例可判定C，D．
【解答】
解：当两个平面相交时，也满足一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，所以A为假命题；
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，取AA1所在直线为a，BC所在直线为b，C1D1所在直线为c，则b与是异面直线，所以B为假命题；
根据公理2的推论可知，两条平行直线确定一个平面，所以C为真命题；
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∠ABC=∠BB1C1，但他们的两条边不对应平行，D为假命题;
故选C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了确定平面的条件与应用问题，属于基础题．
根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；
对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；
对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；
对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面以及直线与直线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题．
利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断①②；画出反例图形判断③；由异面直线的公垂线判断④．
【解答】
解：①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行或相交于一点，故①不正确；
②三个平面最多将空间分为8个部分，故②正确；
③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形，如图，截面图形是五边形，
故③不正确；
④与两条异面直线都垂直的直线是公垂线，过空间中的任意一点有且只有一条公垂线，故④正确．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，涉及正方体的结构特征，平面的基本性质和平行公理，属基础题．
利用平面的基本性质和平行公理得到A1B和EF共面，进而作出判定．
【解答】
解：在正方体AC1中，A1D1//AD//BC，
∴A1D1//BC，
∴A1D1与BC可以确定平面A1D1CB，
∴A1B⊂平面A1D1BC，D1C⊂平面A1D1CB，
又∵E∈D1C，F∈BC，∴EF⊂平面A1D1CB，
∴A1B和EF共面，
又∵A1D1=BC，∴四边形A1D1CB为平行四边形，
∴A1B//D1C，
又∵EF∩D1C=E，
∴直线A1B与直线EF相交，
故选A．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平面的公理与性质的应用问题，是基础题．
根据平面的公理与性质，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①正确；
对于②，一条直线和这条直线外的一个点确定一个平面，∴②错误；
四边形可以为空间四边形，故③错误；
对于④，三条平行直线可以确定一个或三个平面，∴④错误；
综上，其中正确的命题序号是①，
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面的性质、平行公理、以及等角定理，属于基础题．
对各选项逐一判定是否为公理，即可得到答案．
【解答】
解：A.平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理，故A是公理；
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，这是平面性质的公理，故B是公理；
C.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，这是平面性质的公理，故C是公理；
D.如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，这是等角定理，不是公理，故D不是公理．
故选D．
9.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质及应用，平行公理，属于中档题．
由平面的基本性质结合平行公理依次判定即可．
【解答】
对于A，因为正方体ABCD− A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；
对于B，因为E，G，F在平面BCC1B1内，且E，G，F三点不共线，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；
对于C，由E，F分别为棱BC，CC1的中点，可得EF//BC1，由正方体可知AB//C1D1，且AB= C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1//BC1，由平行关系的传递性可得EF// AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；
对于D，连接GO2并延长，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1并延长，交AD于Q，则Q为AD的中点，所以HQ//AA1，又因为E，G分别为棱BC，B1C1的中点，所以GE//BB1，又由正方体可得BB1//AA1，由平行关系的传递性则HQ//GE，所以G，E，O1，O2四点共面．
故选：ACD．
10.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性，证三点共线常用的方法，属于中档题．
根据已知线段的比例关系以及线面平行的判定，判断A，B，C，根据直线与平面、点与平面的位置关系判断D的正误．
【解答】
解：因为BG:GC=DH:HC=1:2，所以GH//BD.又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF//BD，且EF=12BD，则EF//GH，EF≠GH，又BD⊄平面EGHF,EF⊂平面EGHF，即BD//平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误．
因为EF//GH，EF≠GH，所以四边形EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，所以EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，由平面ABC∩平面ACD=AC，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确．
故本题选：AD．
11.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题主要考查空间四点共面的判断，空间等角定理，空间三角形的相似问题，
利用空间点，线，面的位置关系，及等角定理逐项判断
【解答】
解：由于M，N为AB，BC的中点，所以MN//AC，且MN=12AC
由于P，Q是CD，AD的中点，所以PQ//AC，PQ=12AC
所以MN，PQ平行且相等，故MNPQ为平行四边形，故A对，D错
由M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，
可得：ME//BC，ME=12BC;
QE//CD，QE=12CD;
MQ//BD，MQ=12BD．
由平行关系，及等角定理可判断B对
由长度关系可判断C对
故选ABC
12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查向量的加法、减法、数乘运算，平面的基本性质及应用，平行公理，异面直线的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．
根据题意，利用相关的性质定理对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，∵点M为BE的中点，由向量的平行四边形法则可得DM=12(DE+DB)，故A错误；
对于B，假设直线DE与BC共面，则点B在平面ACDE上，与四棱锥B−ACDE矛盾，故直线DE与BC异面，故B正确；
对于C，∵点M,N分别为BE,BA的中点，∴MN//AE，
又∵AE // CD，由平行公理可得MN // CD，故C正确；
对于D，∵DM∩CN=P，DE∩CA=Q，
∴P，Q在平面BDE与平面ABC的交线上，
又点B也在平面BDE与平面ABC的交线上，故B,P,Q三点共线，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】15
【解析】
【分析】
本题主要考查空间平面的位置关系，属于中档题．
1个平面将空间分成2部分，2个平面将空间分成4个部分，进而求出结果．
【解答】
解：1个平面将空间分成2部分，2个平面将空间分成4个部分，3个平面最多将空间分成8个部分，再增加一个平面分割空间，最多将空间分成15个部分．
故答案为15．
14.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本性质及应用，平行公理与等角定理，线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，属于中档题．
利用面面平行的性质，结合题目条件得MN所在平面与平面PAB平行，过N在平面PBC内作NE//PB交PC于E，利用线面平行的判定得NE//平面PAB，过E在平面PCD内作EF//CD交PD于F，利用平行公理得EF//AB，再利用线面平行的判定得EF//平面PAB，再利用面面平行的判定得平面NEF//平面PAB，从而得MN⊂平面NEF，再利用平面的基本性质得M∈EF，从而得点M在ΔPCD内的轨迹是线段EF，最后利用平面几何知识，计算得结论．
【解答】
解：如图：
因为M为ΔPCD内的一动点，MN//平面PAB，
所以MN所在平面与平面PAB平行．
过N在平面PBC内作NE//PB交PC于E，
因为NE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以NE//平面PAB．
过E在平面PCD内作EF//CD交PD于F，
因为ABCD是正方形，所以CD//AB，因此EF//AB．
又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF//平面PAB．
又因为NE∩EF=E，NE⊄平面PAB，EF⊄平面PAB，
NE⊂平面NEF，EF⊂平面NEF，所以平面NEF//平面PAB，
因此MN⊂平面NEF．
又因为M∈平面NEF，M∈平面PCD，
所以M∈平面NEF∩平面PCD=EF，
即点M在ΔPCD内的轨迹是线段EF．
又因为正方形ABCD的边长为4，BC=4BN，
所以EFCD=PEPC=BNBC=14，即EF=1．
故答案为1．
15.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本性质及应用，平行公理与等角定理，线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，属于中档题．
利用面面平行的性质，结合题目条件得MN所在平面与平面PAB平行，过N在平面PBC内作NE//PB交PC于E，利用线面平行的判定得NE//平面PAB，过E在平面PCD内作EF//CD交PD于F，利用平行公理得EF//AB，再利用线面平行的判定得EF//平面PAB，再利用面面平行的判定得平面NEF//平面PAB，从而得MN⊂平面NEF，再利用平面的基本性质得M∈EF，从而得点M在ΔPCD内的轨迹是线段EF，最后利用平面几何知识，计算得结论．
【解答】
解：如图：
因为M为ΔPCD内的一动点，MN//平面PAB，
所以MN所在平面与平面PAB平行．
过N在平面PBC内作NE//PB交PC于E，
因为NE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以NE//平面PAB．
过E在平面PCD内作EF//CD交PD于F，
因为ABCD是正方形，所以CD//AB，因此EF//AB．
又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF//平面PAB．
又因为NE∩EF=E，NE⊄平面PAB，EF⊄平面PAB，
NE⊂平面NEF，EF⊂平面NEF，所以平面NEF//平面PAB，
因此MN⊂平面NEF．
又因为M∈平面NEF，M∈平面PCD，
所以M∈平面NEF∩平面PCD=EF，
即点M在ΔPCD内的轨迹是线段EF．
又因为正方形ABCD的边长为4，BC=4BN，
所以EFCD=PEPC=BNBC=14，即EF=1．
故答案为1．
16.【答案】①②③
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行的判定，平行公理，平面的基本性质及应用和空间中直线与平面的位置关系．
利用线面平行的判定对A进行判定，再利用平行公理对B进行判定，再利用平面的基本性质对C进行判定，最后利用空间中直线与平面的位置关系对D进行判定，从而得结论．
【解答】
解：如图所示，
∵AE=EB，BF=FC，∴EF是△ABC的中位线，
因此EF //AC且EF=12AC．
又∵EF⊂平面EFH，AC⊄平面EFH，
∴AC //平面EFH，故①正确．
∵CH=2HD，AG=2GD，
∴GH //AC且GH=13AC，而EF //AC，
所以EF //GH，故②正确．
由EF //GH，EF=12AC，GH=13AC，得四边形EFHG是梯形，
因此直线FH，EG相交，设交点为M，
则M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，
则M是平面ABD和平面BCD的公共点，则M∈BD，
即直线EG，FH，BD相交于同一点，故③正确．
因为AE=EB，AG=2GD，所以直线BD与EG必相交，因此④错误．
故正确的序号是①②③．
17.【答案】解：(1)如图，连接EF，GH，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF//BD．
又CG=13BC,CH=13DC，
∴GH//BD，
∴EF//GH，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，
设FH∩AC=M，
则M∈平面EFHG，M∈平面ABC．
∵平面EFEG∩平面ABC=EG,
∴M∈EG，
∴直线FH,EG,AC共点．
【解析】本题考查利用平行公理证明点共面和线共点的问题；关键是熟练运用公理，为中档题．
(１)连接EF，GH，由E，F分别是AB，AD的中点，得到EF//BD.结合CG=13BC,CH=13DC，得到GH//BD，由平行公理得到EF//GH，证明E，F，G，H四点共面．
(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，设FH∩AC=M，则M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 由平面EFEG∩平面ABC=EG,M∈EG，得到直线FH,EG,AC共点．
18.【答案】证明：(1)如图所示，连接EF，HG，
空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG//AC；
又AEAB=CFCB=14．
∴EF//AC，
∴EF//HG，
∴E、F、G、H四点共面；
(2)设EH与FG交于点P，
∵EH⊂平面ABD，
∴P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，且平面ABD∩平面BCD=BD，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点．
【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．
(1)利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到EF、GH都平行于AC，由平行线的传递性得到EF/\!/GH，根据两平行线确定一平面证明；
2利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．
19.【答案】解：(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，
设D1E∩DC=F，连接AF，
∵F∈DC，DC⊂平面ABCD，则F∈平面ABCD，
∵F∈D1E，D1E⊂平面AD1E，∴F∈平面AD1E.
∴平面AD1E∩平面ABCD=AF．
(Ⅱ)设BC∩AF=G，连接GE，
由面面平行的性质可得EG//AD1，
由E为CC1 的中点，得G为BC的中点，
∴平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1．
设正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2．
V棱台CGE−DAD1=VF−DAD1−VF−CGE=78VF−DAD1=78×13S△DAD1×FD=73．
∴另一部分几何体的体积为23−73=173．
∴两部分的体积比为7：17．
【解析】(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC=F，连接AF，可证F∈平面ABCD且F∈平面AD1E，得到平面AD1E∩平面ABCD=AF；
(Ⅱ)设BC∩AF=G，连接GE，证明EG//AD1，则平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1.设正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2.求出棱台CGE−DAD1的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案．
本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
20.【答案】解：证明：(1)∵E、F分别是AB和AD的中点，
∴EF // BD
又∵BG:GC=DH:HC=1:2，
∴GH//BD，
∴EF//GH．
所以，E、F、G、H四点共面．
(2)∵EG∩FH=P，
∴P∈EG,P∈FH,
由EG⊂平面ABC，P∈EG,得P∈平面ABC，
由FH⊂平面ADC，P∈FH,得P∈平面ADC，
又平面ABC∩平面ADC=AC，
所以P∈AC，
所以P,A,C三点共线．
【解析】本题考查了求证四点共面和三点共线的问题，考查空间想象能力和推理能力，属于一般题．
(1)通过求证EF//GH，可得E、F、G、H四点共面；
(2)由P∈平面ABC，P∈平面ADC，可得P∈AC，即可求证P,A,C三点共线．
21.【答案】证明：(1)
∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴EH//BD，且EH=12BD，
又∵CFCB=CGCD=13，
∴FG//BD，且FG=13BD，
因此EH//FG且EH≠FG，
故四边形EFGH是梯形．
(2)由(1)知EF，HG相交，设EF∩HG=K，
∵K∈EF，EF⊂平面ABC，∴K∈平面ABC，
同理K∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，
∴K∈AC，
故EF和GH的交点在直线AC上．
所以AC，EF，GH三条直线相交于同一点．
【解析】本题考查了平面性质和平行公理的应用，属于一般题．
(1)根据比例，三角形中位线定理以及平行公理证得EH与FG平行且不相等，从而得到结论成立．
(2)证明EF和GH的交点在直线AC上即可．
22.【答案】证明：(1)在△ABD和△CBD中，
∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH = //12 BD
又∵CFCB=CGCD=23，∴FG = //2 3 BD．
∴EH//FG，
所以，E、F、G、H四点共面．
(2)由(1)可知，EH//FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P．
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三条直线EF、GH、AC交于一点．
【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、平行线的传递性、以及三线共点的问题．
(1)根据中位线定理，以及平行线分线段成比例定理的引理，我们可得EH//FG，易得E、F、G、H四点共面；
(2)由(1)的结论，直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，然后结合公理3即可得解．
11.2平面的基本事实与推论人教 B版（2019）高中数学必修第四册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB,BC,DA,CD上的点，且AE=EB，BF=FC，CH=2HD，AG=2GD，则下列说法错误的是( )
A. AC//平面EFH B. EF//GH
C. 直线EG,FH,BD相交于同一点 D. BD//平面EFG
2. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
⑤若a //b，b //c，则a //c；
其中正确的命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 下列命题为真命题的是
A. 若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
B. 若直线a与直线b是异面直线，直线a与直线c是异面直线，则b与c共面
C. 空间中有一组对边平行的四边形必在一平面内
D. 空间中相等的两个角的两边分别对应平行
4. 下列命题一定正确的是( )
A. 三点确定一个平面 B. 依次首尾相接的四条线段必共面
C. 直线与直线外一点确定一个平面 D. 两条直线确定一个平面
5. 下列说法中正确的个数是( )
①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行
②三个平面最多将空间分为8个部分
③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形
④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在正方体AC1中，E,F分别是线段BC,CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
7. 下列命题中正确命题的个数是( )
①不在同一条直线上的三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③四边形是平面图形；④三条平行线确定三个平面
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 下列命题中，不是公理的是( )
A. 平行于同一条直线的两条直线平行
B. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
C. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D. 如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，若E, F, G分别为棱BC, CC1, B1C1的中点，O1, O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则( )
A. A, C, O1, D1四点共面 B. D, E, G, F四点共面
C. A, E, F, D1四点共面 D. G, E, O1, O2四点共面
10. 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2，则．( )
A. BD//平面EGHF B. FH//平面ABC
C. AC//平面EGHF D. 直线GE，HF，AC交于一点
11. 在四面体A−BCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A. M，N，P，Q四点共面
B. ∠QME=∠CBD
C. △BCD∽△MEQ
D. 四边形MNPQ为梯形
12. 如图，在四棱锥B−ACDE中，AE // CD，CD=2AE，点M,N分别为BE,BA的中点，若DM∩CN=P，DE∩CA=Q，则下述正确的是( )
A. DM=DE+DB
B. 直线DE与BC异面
C. MN // CD
D. B,P,Q三点共线
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 空间的4个平面最多能将空间分成 个区域．
14. 如图，已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，N为BC上的点，且BC=4BN，M为ΔPCD内的一动点，若MN//平面PAB，则点M的轨迹的长度为 ．
15. 如图，已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，N为BC上的点，且BC=4BN，M为ΔPCD内的一动点，若MN//平面PAB，则点M的轨迹的长度为 ．
16. 已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE=EB，BF=FC，CH=2HD，AG=2GD，则下列说法中所有正确的序号是________．
①AC //平面EFH；②EF // GH；③直线EG，FH，BD相交于同一点；④BD //平面EFG．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=13BC,CH=13DC.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线FH,EG,AC共点．
18. (本小题12.0分)
在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且AEAB=CFCB=14.求证：
(1)点E，F，G，H四点共面；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
19. (本小题12.0分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．
(1)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；
(2)平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比．
20. (本小题12.0分)
如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
21. (本小题12.0分)
在四面体ABCD中，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点，且CFBF=CGDG=12.求证：
(1)四边形EFGH是梯形；
(2)AC，EF，GH三条直线相交于同一点．
22. (本小题12.0分)
已知空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是BC,CD上的点，且CFCB=CGCD=23．
求证：(1)E,F,G,H四点共面；
(2)三条直线EF,GH,AC交于一点．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行的判定，平行公理与等角定理，平面的基本性质及应用和空间中直线与平面的位置关系．
利用线面平行的判定对A进行判定，再利用平行公理对B进行判定，再利用平面的基本性质对C进行判定，最后利用空间中直线与平面的位置关系对D进行判定，从而得结论．
【解答】
解：如图所示，
∵AE=EB，BF=FC，∴EF是△ABC的中位，
因此EF //AC且EF=12AC．
又∵EF⊂平面EFH，AC⊄平面EFH，
∴AC //平面EFH，故A正确．
∵CH=2HD，AG=2GD，
∴GH //AC且GH=23AC，而EF //AC，
所以EF //GH，故B正确．
由EF //GH，EF=12AC，GH=23AC，得四边形EFHG是梯形，
因此直线FH，EG相交，设交点为M，
则M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，
则M是平面ABD和平面CD的公共点，则M∈BD，
即直线EG，FH，BD相交于同一点，故C正确．
因为AE=EB，AG=2GD，所以直线BD与EG必相交，因此错误的是D．
故选D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线之间的位置关系的判断，主要考查空间想像能力，空间中线面、线线位置关系的判断力．由线线的位置关系可判断①②③④；由平行的传递性判断⑤．
【解答】
解：①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线，与同一直线异面的两直线可能是平行的，即异面关系不具有传递性，故命题不正确；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交，相交关系不具有传递性，故命题不正确；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，线线间共面关系不具有传递性，a//b，b与c相交，则a，c可以是异面关系，故命题不正确；
⑤若a//b，b//c，则a//c，此是空间两直线平行公理，是正确命题；
综上，仅有⑤正确．
故选B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质、空间线线、线面、面面位置关系的判断，属于中档题．
根据平面的基本性质和公理以及推论判定A，C；在正方体中举例可判定C，D．
【解答】
解：当两个平面相交时，也满足一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，所以A为假命题；
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，取AA1所在直线为a，BC所在直线为b，C1D1所在直线为c，则b与是异面直线，所以B为假命题；
根据公理2的推论可知，两条平行直线确定一个平面，所以C为真命题；
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∠ABC=∠BB1C1，但他们的两条边不对应平行，D为假命题;
故选C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了确定平面的条件与应用问题，属于基础题．
根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；
对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；
对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；
对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面以及直线与直线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题．
利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断①②；画出反例图形判断③；由异面直线的公垂线判断④．
【解答】
解：①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行或相交于一点，故①不正确；
②三个平面最多将空间分为8个部分，故②正确；
③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形，如图，截面图形是五边形，
故③不正确；
④与两条异面直线都垂直的直线是公垂线，过空间中的任意一点有且只有一条公垂线，故④正确．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，涉及正方体的结构特征，平面的基本性质和平行公理，属基础题．
利用平面的基本性质和平行公理得到A1B和EF共面，进而作出判定．
【解答】
解：在正方体AC1中，A1D1//AD//BC，
∴A1D1//BC，
∴A1D1与BC可以确定平面A1D1CB，
∴A1B⊂平面A1D1BC，D1C⊂平面A1D1CB，
又∵E∈D1C，F∈BC，∴EF⊂平面A1D1CB，
∴A1B和EF共面，
又∵A1D1=BC，∴四边形A1D1CB为平行四边形，
∴A1B//D1C，
又∵EF∩D1C=E，
∴直线A1B与直线EF相交，
故选A．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平面的公理与性质的应用问题，是基础题．
根据平面的公理与性质，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①正确；
对于②，一条直线和这条直线外的一个点确定一个平面，∴②错误；
四边形可以为空间四边形，故③错误；
对于④，三条平行直线可以确定一个或三个平面，∴④错误；
综上，其中正确的命题序号是①，
故选A．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面的性质、平行公理、以及等角定理，属于基础题．
对各选项逐一判定是否为公理，即可得到答案．
【解答】
解：A.平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理，故A是公理；
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，这是平面性质的公理，故B是公理；
C.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，这是平面性质的公理，故C是公理；
D.如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，这是等角定理，不是公理，故D不是公理．
故选D．
9.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质及应用，平行公理，属于中档题．
由平面的基本性质结合平行公理依次判定即可．
【解答】
对于A，因为正方体ABCD− A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；
对于B，因为E，G，F在平面BCC1B1内，且E，G，F三点不共线，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；
对于C，由E，F分别为棱BC，CC1的中点，可得EF//BC1，由正方体可知AB//C1D1，且AB= C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1//BC1，由平行关系的传递性可得EF// AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；
对于D，连接GO2并延长，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1并延长，交AD于Q，则Q为AD的中点，所以HQ//AA1，又因为E，G分别为棱BC，B1C1的中点，所以GE//BB1，又由正方体可得BB1//AA1，由平行关系的传递性则HQ//GE，所以G，E，O1，O2四点共面．
故选：ACD．
10.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性，证三点共线常用的方法，属于中档题．
根据已知线段的比例关系以及线面平行的判定，判断A，B，C，根据直线与平面、点与平面的位置关系判断D的正误．
【解答】
解：因为BG:GC=DH:HC=1:2，所以GH//BD.又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF//BD，且EF=12BD，则EF//GH，EF≠GH，又BD⊄平面EGHF,EF⊂平面EGHF，即BD//平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误．
因为EF//GH，EF≠GH，所以四边形EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，所以EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，由平面ABC∩平面ACD=AC，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确．
故本题选：AD．
11.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题主要考查空间四点共面的判断，空间等角定理，空间三角形的相似问题，
利用空间点，线，面的位置关系，及等角定理逐项判断
【解答】
解：由于M，N为AB，BC的中点，所以MN//AC，且MN=12AC
由于P，Q是CD，AD的中点，所以PQ//AC，PQ=12AC
所以MN，PQ平行且相等，故MNPQ为平行四边形，故A对，D错
由M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，
可得：ME//BC，ME=12BC;
QE//CD，QE=12CD;
MQ//BD，MQ=12BD．
由平行关系，及等角定理可判断B对
由长度关系可判断C对
故选ABC
12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查向量的加法、减法、数乘运算，平面的基本性质及应用，平行公理，异面直线的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．
根据题意，利用相关的性质定理对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，∵点M为BE的中点，由向量的平行四边形法则可得DM=12(DE+DB)，故A错误；
对于B，假设直线DE与BC共面，则点B在平面ACDE上，与四棱锥B−ACDE矛盾，故直线DE与BC异面，故B正确；
对于C，∵点M,N分别为BE,BA的中点，∴MN//AE，
又∵AE // CD，由平行公理可得MN // CD，故C正确；
对于D，∵DM∩CN=P，DE∩CA=Q，
∴P，Q在平面BDE与平面ABC的交线上，
又点B也在平面BDE与平面ABC的交线上，故B,P,Q三点共线，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】15
【解析】
【分析】
本题主要考查空间平面的位置关系，属于中档题．
1个平面将空间分成2部分，2个平面将空间分成4个部分，进而求出结果．
【解答】
解：1个平面将空间分成2部分，2个平面将空间分成4个部分，3个平面最多将空间分成8个部分，再增加一个平面分割空间，最多将空间分成15个部分．
故答案为15．
14.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本性质及应用，平行公理与等角定理，线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，属于中档题．
利用面面平行的性质，结合题目条件得MN所在平面与平面PAB平行，过N在平面PBC内作NE//PB交PC于E，利用线面平行的判定得NE//平面PAB，过E在平面PCD内作EF//CD交PD于F，利用平行公理得EF//AB，再利用线面平行的判定得EF//平面PAB，再利用面面平行的判定得平面NEF//平面PAB，从而得MN⊂平面NEF，再利用平面的基本性质得M∈EF，从而得点M在ΔPCD内的轨迹是线段EF，最后利用平面几何知识，计算得结论．
【解答】
解：如图：
因为M为ΔPCD内的一动点，MN//平面PAB，
所以MN所在平面与平面PAB平行．
过N在平面PBC内作NE//PB交PC于E，
因为NE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以NE//平面PAB．
过E在平面PCD内作EF//CD交PD于F，
因为ABCD是正方形，所以CD//AB，因此EF//AB．
又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF//平面PAB．
又因为NE∩EF=E，NE⊄平面PAB，EF⊄平面PAB，
NE⊂平面NEF，EF⊂平面NEF，所以平面NEF//平面PAB，
因此MN⊂平面NEF．
又因为M∈平面NEF，M∈平面PCD，
所以M∈平面NEF∩平面PCD=EF，
即点M在ΔPCD内的轨迹是线段EF．
又因为正方形ABCD的边长为4，BC=4BN，
所以EFCD=PEPC=BNBC=14，即EF=1．
故答案为1．
15.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本性质及应用，平行公理与等角定理，线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，属于中档题．
利用面面平行的性质，结合题目条件得MN所在平面与平面PAB平行，过N在平面PBC内作NE//PB交PC于E，利用线面平行的判定得NE//平面PAB，过E在平面PCD内作EF//CD交PD于F，利用平行公理得EF//AB，再利用线面平行的判定得EF//平面PAB，再利用面面平行的判定得平面NEF//平面PAB，从而得MN⊂平面NEF，再利用平面的基本性质得M∈EF，从而得点M在ΔPCD内的轨迹是线段EF，最后利用平面几何知识，计算得结论．
【解答】
解：如图：
因为M为ΔPCD内的一动点，MN//平面PAB，
所以MN所在平面与平面PAB平行．
过N在平面PBC内作NE//PB交PC于E，
因为NE⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以NE//平面PAB．
过E在平面PCD内作EF//CD交PD于F，
因为ABCD是正方形，所以CD//AB，因此EF//AB．
又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF//平面PAB．
又因为NE∩EF=E，NE⊄平面PAB，EF⊄平面PAB，
NE⊂平面NEF，EF⊂平面NEF，所以平面NEF//平面PAB，
因此MN⊂平面NEF．
又因为M∈平面NEF，M∈平面PCD，
所以M∈平面NEF∩平面PCD=EF，
即点M在ΔPCD内的轨迹是线段EF．
又因为正方形ABCD的边长为4，BC=4BN，
所以EFCD=PEPC=BNBC=14，即EF=1．
故答案为1．
16.【答案】①②③
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行的判定，平行公理，平面的基本性质及应用和空间中直线与平面的位置关系．
利用线面平行的判定对A进行判定，再利用平行公理对B进行判定，再利用平面的基本性质对C进行判定，最后利用空间中直线与平面的位置关系对D进行判定，从而得结论．
【解答】
解：如图所示，
∵AE=EB，BF=FC，∴EF是△ABC的中位线，
因此EF //AC且EF=12AC．
又∵EF⊂平面EFH，AC⊄平面EFH，
∴AC //平面EFH，故①正确．
∵CH=2HD，AG=2GD，
∴GH //AC且GH=13AC，而EF //AC，
所以EF //GH，故②正确．
由EF //GH，EF=12AC，GH=13AC，得四边形EFHG是梯形，
因此直线FH，EG相交，设交点为M，
则M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，
则M是平面ABD和平面BCD的公共点，则M∈BD，
即直线EG，FH，BD相交于同一点，故③正确．
因为AE=EB，AG=2GD，所以直线BD与EG必相交，因此④错误．
故正确的序号是①②③．
17.【答案】解：(1)如图，连接EF，GH，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF//BD．
又CG=13BC,CH=13DC，
∴GH//BD，
∴EF//GH，
∴E，F，G，H四点共面．
(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，
设FH∩AC=M，
则M∈平面EFHG，M∈平面ABC．
∵平面EFEG∩平面ABC=EG,
∴M∈EG，
∴直线FH,EG,AC共点．
【解析】本题考查利用平行公理证明点共面和线共点的问题；关键是熟练运用公理，为中档题．
(１)连接EF，GH，由E，F分别是AB，AD的中点，得到EF//BD.结合CG=13BC,CH=13DC，得到GH//BD，由平行公理得到EF//GH，证明E，F，G，H四点共面．
(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，设FH∩AC=M，则M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 由平面EFEG∩平面ABC=EG,M∈EG，得到直线FH,EG,AC共点．
18.【答案】证明：(1)如图所示，连接EF，HG，
空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG//AC；
又AEAB=CFCB=14．
∴EF//AC，
∴EF//HG，
∴E、F、G、H四点共面；
(2)设EH与FG交于点P，
∵EH⊂平面ABD，
∴P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，且平面ABD∩平面BCD=BD，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点．
【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．
(1)利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到EF、GH都平行于AC，由平行线的传递性得到EF/\!/GH，根据两平行线确定一平面证明；
2利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．
19.【答案】解：(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，
设D1E∩DC=F，连接AF，
∵F∈DC，DC⊂平面ABCD，则F∈平面ABCD，
∵F∈D1E，D1E⊂平面AD1E，∴F∈平面AD1E.
∴平面AD1E∩平面ABCD=AF．
(Ⅱ)设BC∩AF=G，连接GE，
由面面平行的性质可得EG//AD1，
由E为CC1 的中点，得G为BC的中点，
∴平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1．
设正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2．
V棱台CGE−DAD1=VF−DAD1−VF−CGE=78VF−DAD1=78×13S△DAD1×FD=73．
∴另一部分几何体的体积为23−73=173．
∴两部分的体积比为7：17．
【解析】(Ⅰ)在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC=F，连接AF，可证F∈平面ABCD且F∈平面AD1E，得到平面AD1E∩平面ABCD=AF；
(Ⅱ)设BC∩AF=G，连接GE，证明EG//AD1，则平面AD1E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE−DAD1.设正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2.求出棱台CGE−DAD1的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案．
本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
20.【答案】解：证明：(1)∵E、F分别是AB和AD的中点，
∴EF // BD
又∵BG:GC=DH:HC=1:2，
∴GH//BD，
∴EF//GH．
所以，E、F、G、H四点共面．
(2)∵EG∩FH=P，
∴P∈EG,P∈FH,
由EG⊂平面ABC，P∈EG,得P∈平面ABC，
由FH⊂平面ADC，P∈FH,得P∈平面ADC，
又平面ABC∩平面ADC=AC，
所以P∈AC，
所以P,A,C三点共线．
【解析】本题考查了求证四点共面和三点共线的问题，考查空间想象能力和推理能力，属于一般题．
(1)通过求证EF//GH，可得E、F、G、H四点共面；
(2)由P∈平面ABC，P∈平面ADC，可得P∈AC，即可求证P,A,C三点共线．
21.【答案】证明：(1)
∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴EH//BD，且EH=12BD，
又∵CFCB=CGCD=13，
∴FG//BD，且FG=13BD，
因此EH//FG且EH≠FG，
故四边形EFGH是梯形．
(2)由(1)知EF，HG相交，设EF∩HG=K，
∵K∈EF，EF⊂平面ABC，∴K∈平面ABC，
同理K∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD=AC，
∴K∈AC，
故EF和GH的交点在直线AC上．
所以AC，EF，GH三条直线相交于同一点．
【解析】本题考查了平面性质和平行公理的应用，属于一般题．
(1)根据比例，三角形中位线定理以及平行公理证得EH与FG平行且不相等，从而得到结论成立．
(2)证明EF和GH的交点在直线AC上即可．
22.【答案】证明：(1)在△ABD和△CBD中，
∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH = //12 BD
又∵CFCB=CGCD=23，∴FG = //2 3 BD．
∴EH//FG，
所以，E、F、G、H四点共面．
(2)由(1)可知，EH//FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P．
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三条直线EF、GH、AC交于一点．
【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、平行线的传递性、以及三线共点的问题．
(1)根据中位线定理，以及平行线分线段成比例定理的引理，我们可得EH//FG，易得E、F、G、H四点共面；
(2)由(1)的结论，直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，然后结合公理3即可得解．
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