数学必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握平面的画法及表示方法．

B.掌握平面的基本事实及推论．

C.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．

1.数学抽象：平面的三个基本事实

2.逻辑推理：对平面三个基本事实的运用

3.直观想象： 熟悉基本的空间图形

4.数学建模： 证明点共线与线共面

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境与问题

前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力和逻辑能力。

    观察如图11-2-2,的凳子，把凳子看成一个平面，思考
（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？
（2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定制定的两点？

基本事实1    经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面。

     结合图11-2-3思考，直线上至少已知几个点在某平面内时，就能确保直线在该平面内？

1．平面的基本事实

尝试与发现：这就是说，如果，那么直线，如图11-2-4所示。

基本事实2    如果一条直线上的2个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

如图11-2-6所示，当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的。

（1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？

（2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？

基本事实3    如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2．平面基本事实的推论

推论1　经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．

例1．证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.

已知：如图所示，

，，.

求证：直线在同一平面内.

证明：方法一（纳入法）

，∴和确定一个平面.

，.

又，.同理可证.

又，，，∴直线在同一平面内.

方法二（同一法）

，确定一个平面.，确定一个平面.

，，.，，.

同理可证，，，.

∴不共线的三个点既在平面内，又在平面然内.

∴平面和重合，即直线在同一平面内.

证明点、线共面问题的常用方法

1．先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．

2．先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．

3．假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．

例2． 如图所示，正方体中，，分别为和的中点，画出平面和平面的交线．

【答案】见解析

【解析】如图所示，在平面内延长，交的延长线于一点，则平面．因为平面，所以平面，所以是平面-与平面的一个公共点．又是两平面的一个公共点，所以为两平面的交线．

通过对生活简单事实出发，通过观察分析归纳出平面基本事实。发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。

通过观察分析，归纳平面基本事实，并能进行简单的推理论证，发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

通过典例分析，提高学生对平面基本事实的理解，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)三点可以确定一个平面．  (　　)

(2)一条直线和一个点可以确定一个平面． (　　)

(3)四边形是平面图形．  (　　)

(4)两条相交直线可以确定一个平面． (　　)

[解析]　(1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．

(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．

(3)错误．四边形不一定是平面图形．

(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是(　　)

A．黑板面　　　　 B．乒乓球桌面

C．篮球的表面 D．平静的水面

C　[篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分．]

3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.

C　[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]

4．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，

若直线a和b不平行．

求证：a，b，c三条直线必过同一点．

[证明]　∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ.

由于直线a和b不平行，

∴a、b必相交．

设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.

∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.

又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.

∴a，b，c三条直线相交于同一点．

5．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．

[证明]　因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。

四、小结

1．三个基本事实的作用

基本事实1——判定点共面、线共面的依据；

基本事实2——判定直线在平面内的依据；

基本事实3——判定点共线、线共点的依据．

2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。