2020-2021学年第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直达标测试

11.4空间中的垂直关系人教  B版（2019）高中数学必修第四册同步练习

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为(    )

A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，且，则
D. 若，那么

2. 我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，，则以下两个结论：；，(    )

A. 和都不成立 B. 成立，但不成立
C. 不成立，但成立 D. 和都成立

3. ，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

4. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为．(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，矩形是圆柱的轴截面，且，其中，在平面同侧，则异面直线与所成的角为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上若球的表面积为，则球心到平面的距离为．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：

若，则；

若，则；

若，则；       

若，则

其中真命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，将正方形折成直二面角，则二面角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 在三棱锥中，，且，，，分别是棱，的中点，下面结论正确的是(    )

A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积的最大值为
D. 与一定不垂直

10. 在正方体中，点在线段上运动，则(    )

A. 直线
B. 二面角的大小为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 直线与所成角的取值范围为

11. 若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

12. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则(    )

A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点与点到平面的距离相等

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 矩形中，，，，分别为边，的中点，将沿折起，点，折起后分别为点，，得到四棱锥给出下列几个结论：
    ，，，四点共面；
    平面；
    若平面平面，则；
    四棱锥体积的最大值为．
    其中正确的是          填上所有正确的序号．
14. 如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是          ．

15. 九章算术是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体如图，其中四边形为矩形，若，和都是正三角形，且，则异面直线与所成角的大小为          ．

16. 已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 如图，是等边三角形，是直角三角形，，，将
    沿折起，使得平面平面，如图．
    
    图一
    
    图
    证明：平面
    求平面与平面所成的二面角的正切值．
18. 将边长为的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．
    
    求三棱锥的体积；
    求异面直线与所成的角的大小．
19. 如图所示，在四棱锥中，已知底面，且底面为梯形，，，，点在线段上，．

求证：平面；

求证：平面平面．

20. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．
    证明：平面平面；
    若，求四棱锥的体积．

21. 如图，在正四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于，是的中点．

求证：平面．

求异面直线与所成角的余弦值．

22. 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
    
    
    
    证明：平面平面；
    在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，属于中档题．
由直线与平面垂直的性质判断；由直线与平面平行、平面与平面垂直的关系分析；直接证明C正确；由面面平行及线面平行的定义判断．

【解答】

解：若，，则，
又，所以，故A正确；
若，，则或或与相交，
相交也不一定垂直，故B错误；
如图，，

若过作平面交平面于，则，
又，过作平面交于，则，
，又，，
，而且，
，即，故C正确；
若，则与无公共点，又，
则与无公共点，可得，故D正确．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题．
利用线面平行的性质及勾股定理即可判断．

【解答】

解：，在平面内，不在平面内，
平面，
又在平面内，
由在平面内，且平面平面，
，故对；
如图，取中点，连接，，由，易知，且，
不妨设，则，
假设，则，即，即，但的长度不定，故假设不一定成立，即不一定成立．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心素养，属于中档题．
对于，与相交、平行或异面；对于，由线面垂直的性质得；对于，与相交、平行或；对于，或．

【解答】

解：由，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，知：
对于，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故B正确；
对于，若，，则与相交、平行或，故C错误；
对于，若，，则或，故D错误．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力属于中等题．
由，得是直线与所成的角或所成角的补角，由此利用余弦定理，求出直线与所成的角．

【解答】

解：，是直线与所成的角或所成角的补角，

设正方体的棱长为，
则，，，
，，
直线与所成的角为．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中异面直线所成角的求法，考查空间想象能力及运算求解能力，是中档题．
作，连接，可得即为与所成的角，再由已知求解三角形得答案．

【解答】

解：如图，作，连接，
即为与所成的角，
，，，
，．
又，
在中，，
即．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考察点面距以及球的表面积的求法，属于中等题．
画出图形，利用已知条件求三角形的外接圆的半径，然后求解即可．

【解答】

解：由题意可知图形如图：

由是面积为的等边三角形，可得，
，设外接圆圆心为，可得：，
球的表面积为，外接球的半径满足：，解得，
所以到平面的距离为：．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了线面平行的性质，线面垂直的性质，空间直线与平面的位置关系，线面垂直的判定，面面垂直的判定，面面平行的判定和线面平行的判定．

利用线面平行的性质和线面垂直的性质得为真命题；利用空间直线与平面的位置关系得不是真命题利用线面垂直的判定和线面平行的性质及面面垂直的判定得是真命题；利用线面平行的性质和判定及面面平行的判定得是真命题，从而得结论．

【解答】

解：因为，所以在内必存在一条直线，使得．

又因为，所以，因此，因此为真命题；

因为，则或，因此不是真命题；

因为，所以．

又因为，所以在内存在．

由得，所以，因此是真命题；

因为，由，，得在内必存在，，且与相交，

使得，．

又因为，，所以，，所以，因此是真命题．

故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

 本题考查平面图形的翻折问题，求二面角，属基础题．
取的中点，作，可得为二面角的平面角，求出三角形的三边，即可得到结论．

【解答】

解：取的中点，由正方形折成直二面角，知
做，连，则，且为中点，可得为二面角的平面角，
设正方形的边长为，
，

则，
故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查线面垂直的性质，以及线面平行的判定定理，三棱锥的体积，属于中档题．
利用题中条件，逐一分析选项，找出正确答案． 

【解答】

解：设的中点为，连接，，

则，，又，所以平面，
因为在平面内，
所以，故A正确

因为，不在平面内，在平面内，
所以平面，故B正确

当平面与平面垂直时，最大，
最大值为，故C错误

若与垂直，又因为，，所以平面，
所以，又，，所以平面，
所以，因为，所以显然与不可能垂直，
故D正确．

故答案为．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面垂直、多面体的体积及空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
直接证明直线平面判断；由正方体的结构特征判断；证明三棱锥的体积为定值判断；求出异面直线与所成角的最小值判断．

【解答】

解：如图，
在中，，，，，平面，
平面，，同理，，
，，平面，平面，故A正确；
在中，由正方体可知平面不垂直平面，故B错误；
在中，，平面，平面，平面，
点在线段上运动，到平面的距离为定值，
又的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故C正确；
在中，，异面直线与所成角即为直线与所成角，当点与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为，
故异面直线与所成角的取值范围是，故D错误，
故本题选AC．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

由直线与平面垂直的性质判断；由直线与平面垂直的性质及判定定理判断；由直线与平面平行的性质及平面与平面垂直的判定判断；由直线与平面的位置关系判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．

【解答】

解：若，则垂直内的所有直线及平行于的所有直线，又，，故A正确；
若，则垂直于内的两条相交直线与，又，垂直于内的两条相交直线与，则，故B正确；
若，过作平面与相交，交线为，则，又，则，可得，即，故C正确；
若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查正方体的几何特征，考查空间中线线的位置关系，截面问题，线面平行，以及面面平行的判定等知识，属于中档题．
可结合正方体的几何特征依次进行判断即可．

【解答】

解：因为，而显然直线不与直线垂直，故选项A错误；
取的中点为，连接、，
则，，
，平面，，平面，
所以可得平面，平面，
又，，平面，
易证平面平面，又平面，
从而平面，选项B正确；

选项C，连接，，易知，
故截面为梯形，
，，
所以梯形的高为，
则截面面积为，故C正确；
选项D，假设点与点到平面的距离相等，
则平面必过的中点，连接交于点，

易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间四棱锥线与面的位置关系，以及线面平行，面面垂直定理的应用，涉及计算，属于中档题．
根据折叠前后图形的特点逐个分析即可． 

【解答】

解：由题意知，矩形折叠后的图：

由图可知，点不在平面上，因此四点不共面，说法错误；
取中点为，连接，，如图：

所以为三角形的中位线，

平行且等于，四边形是平行四边形，
，面，正确；
，
，为垂线，
由面面垂直结论，面，面，
，正确；
当面旋转到与底面垂直时体积最大，为，故错误．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．属于一般题．
由题意得，，可得正方形所在平面与正方形的二面角即，同时也得平面，即，即是进而求出、、，即可求出异面直线与所成角的余弦值．

【解答】

解：由题意得，，可得正方形所在平面与正方形的二面角即，
同时也得平面，在平面中，即，
即三角形为直角三角形，三角形为等边三角形；
又因为，所以．
设，则，，，
利用余弦定理，得．
故异面直线与所成角的余弦值是．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了异面直线所成角，属于中档问题。
根据题意，可过 作 交 于 ，连接 ，得到 或其补角为所求角，然后在 中求解即可．

【解答】

解：如图，在平面 中，过 作 交 于 ，连接 ，

则 或其补角为异面直线 与 所成的角．
设 ，则 ， ．
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ， ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ．
即异面直线与所成角的大小为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，连接，，则，从而
 ，由此能求出到平面的距离．

【解答】

解：，为平面外一点，，
点到两边，的距离均为，
过点作，交于，作，交于，

过作平面，交平面于，
连接，，则，
由题意得，
．
到平面的距离为．
故答案为．

17.【答案】解：证明：由已知，折叠后的几何体是三棱锥，取的中点，
因为是等边三角形，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，
所以平面

解：由知平面，
因为平面，
所以，
又，所以平面与平面所成的角为，
因为是等边三角形，
所以，
所以平面与平面所成角的正切值为． 

【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质，二面角的求解方法，属于中档题．
 

18.【答案】解：连接，则，
为正三角形，
，
．

设点在下底面圆周的射影为，连接，则，
为直线与所成角或补角，
，
连接、、，
，，，
为正三角形，
，，
直线与所成角大小为． 

【解析】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题．
连接，推导出为正三角形，从而，由此能求出三棱锥的体积．
设点在下底面圆周的射影为，连接，则，为直线与所成角或补角，由此能求出直线与所成角大小．
 

19.【答案】解：
过作交于点，连接，
因为，所以．
又，所以又，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
在梯形中，，，，，
所以．
所以，即，
因为平面，平面，所以．
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面． 

【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题．
过作交于点，连接，推导出四边形是平行四边形，从而可得，利用线面平行的判定定理即可得证；
推导出，，由线面垂直的判定定理可得平面，由面面垂直的判定定理即可得证．
 

20.【答案】证明：底面，平面，
，
又，
，，平面．
平面．
平面，
平面平面；
解：由底面，
即为四棱锥的高，是直角三角形；
是矩形，，为的中点，且．
设，取的中点为，的中点为连接，，，，

可得，，
那么且，
，，．
是直角三角形，
，则；
由是直角三角形，
可得，
解得．
底面的面积，
则四棱锥的体积． 

【解析】通过线面垂直即可证明；即只需证明平面．
根据底面，可得即为四棱锥的高，设，运用勾股定理求出，进而利用四棱锥体积公式计算即可．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查四棱锥的体积计算，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：在正方形中，．

又平面，平面，所以平面．

如图，取的中点，连接，，则．

所以就是异面直线与所成的角．

在中，，．

所以，即为所求．

【解析】本题主要考查正四棱锥的结构特征和异面直线所成角的求法，对直线与平面平行的判定的掌握程度，难度一般．

在正方形中，据线面平行的判定定理即可证明平面．

做出辅助线求出就是异面直线与所成的角，在中，求出，即为所求．

22.【答案】证明：矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，，
平面，平面与半圆弧所在平面相交于，
半圆弦所在平面，半圆弦所在平面，
，
是上异于，的点．
，
又，、平面，
平面，
又平面，
平面平面；
解：存在是的中点，
理由：连接交于，取的中点，
连接，在矩形中易得是的中点，
可得，平面，平面，
所以平面．
 

【解析】本题考查平面与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，属于中档题．
通过证明，，证明平面，然后证明平面平面；
存在是的中点，利用直线与平面平行的判断定理说明即可．