人教版 (五四制)九年级上册31.4 弧长和扇形面积优秀课件ppt

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31.4 弧长和扇形面积
第一课时
生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？
弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？
（R表示圆的半径，d表示圆的直径）
如图所示，在半径为R的⊙O上，有两动点A、B，当A、B两点在圆上运动时，想一想弧AB的长度与什么因素有关？
当∠AOB＝360°时，弧AB的长表示什么意思？
探究一：弧长的计算公式
活动1
动画展示，探究新知
重点知识★
与∠AOB的大小有关
当∠AOB＝1°时呢？弧AB的长与整个圆的周长是什么关系？
⊙O的周长，即l＝2πR
当∠AOB＝2°时，弧AB的长呢？ 当∠AOB＝n°时，弧AB的长呢？
弧AB的长 ，这就是弧长的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径．
根据弧长的计算公式，我们可知，只要知道n和R就可以求弧长．
探究一：弧长的计算公式
重点知识★
特别的，几个特殊圆心角所对的弧长是我们经常用到的，比如：
探究一：弧长的计算公式
重点知识★
运用弧长计算公式解决下列各题：（1）半径为3cm，圆心角为30°的弧长为__________（2）半径为6cm，圆心角为120°的弧长为__________（3）半径为4cm，长度为2π的弧所对的圆心角是________°（4）圆心角为150°，长度为5π的弧所在圆的半径是________
通过上面的4个问题，我们不难发现弧长、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”.
探究一：弧长的计算公式
活动2
例题演练，巩固新知
重点知识★
6
90
观察下面阴影部分图形，它像我们生活中的什么图案呢？
像上面阴影这样由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形就叫做扇形．
探究二：扇形面积的计算公式
活动1
引入概念
重点知识★
扇子的形状
你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！
类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB的面积也与圆心角∠AOB的大小有关：当∠AOB＝360°时，扇形AOB的面积就是整个圆的面积，即 .
探究二：扇形面积的计算公式
活动2
类比弧长，探究新知
重点知识★
…………….
扇形AOB的面积 ，这就是扇形面积的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径．
同样的根据扇形面积的计算公式，我们可知，只要知道n和R就可以求扇形面积．
探究二：扇形面积的计算公式
重点知识★
特别的，几个特殊圆心角所对的扇形面积是我们经常用到的，比如：
①当n＝30°时，扇形面积S＝
③当n＝60°时，扇形面积S＝
②当n＝45°时，扇形面积S＝
④当n＝90°时，扇形面积S＝
⑤当n＝120°时，扇形面积S＝
⑥当n＝180°时，扇形面积S＝
探究二：扇形面积的计算公式
重点知识★
运用扇形面积计算公式解决下列各题：（1）半径为3cm，圆心角为30°的扇形面积为__________（2）半径为6cm，圆心角为120°的扇形面积为__________（3）半径为4cm，面积为4π的扇形所对应的圆心角是________°（4）圆心角为150°，面积为 的扇形所在圆的半径是_______
通过上面的4个问题，同样可以发现扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”.
探究二：扇形面积的计算公式
活动3
例题演练，巩固新知
重点知识★
2
90
现在我们从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式 和扇形面积的计算公式 ，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？
探究二：扇形面积的计算公式
活动4
对比联系，拓展新知
重点知识★
都含有π； 都与圆心角度数n有关；都与圆的半径R有关；……
实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？
这样我们又得到了一个扇形面积的计算公式： ．在这个公式里，圆心角的度数n不见了，取而代之的是弧长l，只要知道弧长l和半径R就能求出扇形面积了.
同时 这个公式还比较简洁，简单到和我们三角形的面积计算公式非常相似．不同的是，三角形的底是一条线段，而扇形的“底”是一条弧线；三角形的高是底上的一条过顶点的垂线段，而扇形的“高”是弧线上任意一条半径．
探究二：扇形面积的计算公式
重点知识★
例1 填空（若结果含圆周率的请保留π）（1）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（2）圆心角为135°，半径为4的弧长为___________
解：（1）∵圆心角n＝120°，半径R＝3 ∴扇形面积（2）∵圆心角n＝135°，半径R＝4 ∴弧长
活动1
基础性例题
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
练习 填空（若结果含圆周率的请保留π）（1）一个扇形的圆心角为240°，半径为6，则这个扇形的面积为______（2）圆心角为45°，半径为8的弧长为_______
解：（1）∵圆心角n＝240°，半径R＝6 ∴扇形面积（2）∵圆心角n＝45°，半径R＝8 ∴弧长
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例2 填空（若结果含圆周率的请保留π）（1）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是______（2）一个扇形的弧长是20πcm，半径是6 cm，则该扇形的面积是______
【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和弧长，根据弧长公式反过来求半径，只需根据弧长公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求扇形面积，但是比较复杂．另外两个题目需注意单位的问题．
解：（1）∵圆心角n＝75°，弧长l=2.5πcm ∴弧长 ，解得R＝6（2）∵弧长l=20πcm ，半径R＝6 ∴扇形的面积
6 cm
60π cm²
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
练习 填空（若结果含圆周率的请保留π）（1）75°的圆心角所扇形的面积是7.5π cm²，则此扇形所在圆的半径是_____（2）一个扇形的面积是20π cm²，半径是4 cm，则该扇形的周长是________
【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和扇形面积，根据扇形面积公式反过来求半径，只需根据扇形面积公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求弧长，但是比较复杂. 同时第2小问要注意扇形周长包含两条半径．
解：（1）∵圆心角n＝75°，扇形面积S= 7.5π cm² ∴扇形面积 ，解得 R＝6（2）∵扇形面积S= 20π cm²，半径R＝4cm ∴扇形的面积 ，解得 l=10π ∴扇形的周长为10π +4+4=（10π+8）cm
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例1 制造弯型管道时，经常要先按照中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果保留整数）.
【思路点拨】本题需审清题目中“展直长度”的含义：展直长度包括一段弧长和两端700mm的线段长．
解：由弧长公式得弧AB的长 ， 所以展直长度 ．
活动2
提升型例题
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
练习 如图是一段弯型管道，其中∠O＝∠O’＝90°，中心线的两条圆弧半径都是1000 mm，求图中管道的展直长度（π取3.142）.
解：由弧长公式，两端弧长均为 ，所以展直长度L＝ ．
【思路点拨】本题中展直长度包括两段弧长和一条长3000mm的线段长.
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
解：连接OA、OB，过点O做OC⊥AB，垂足为D，交弧AB于点C，连接AC． ∵OC＝0.6 m，DC＝0.3 m∴OD＝OC－DC＝0.3m∴OD＝DC又∵AD⊥DC∴AD是线段OC的垂直平分线∴AC＝AO＝OC∴△AOC是等边三角形
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°又∵AO＝0.6 m，DO＝0.3 m
∴有水部分的面积S＝
≈0.22（m²）
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
练习 如图是一个马戏团帐篷的地面，是一个半径为20m的圆形，从点A到点B有一段笔直的栅栏，且∠AOB＝90°，观众坐在阴影区域内看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，估计阴影区域内坐满观众时可以坐多少人？
解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝20m∴ （平方米）∵每平方米可以坐3名观众∴ 估计坐满观众时可以坐 3×114＝342人
【思路点拨】弓形的面积＝扇形面积－三角形面积
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例1 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC= ，∠ACB=90o，∠A=30o，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，求点A所经过的路线的长．（结果用含π的式子表示）．
活动3
探究型例题
解：AC= ，∠ACB=90o，∠A=30°，可以由勾股定理计算斜边长度是2，∴点A第一次落在l上时经过的路线长度是 ，
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
点A第二次落在l上时经过的路线长度是 ，点A第三次落在l上时经过的路线长度与第二次落在l上时经过的路线长度相同，也是 ，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是：
【思路点拨】解旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算．
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
练习 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，求点A所经过的路径长．
解：△ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，根据勾股定理，可以得到AC的长为 ， ∴根据弧长公式 ，可求路径长为 .
【思路点拨】解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是关键.
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例2 （1）如图（1），以△ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是__________
（2）如图（2），若将三角形改为四边形，半径不变，则阴影部分的面积是_________（3）若改为n边形，半径不变，则阴影部分的面积是________（4）如图（3），以n边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是_________
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例2 （1）如图（1），以△ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是__________
解：（1）设三角形三个内角度数分别为x1， x2，x3 ∴x1 + x2 + x3 =180°又∵半径为1
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例2 （2）如图（2），若将三角形改为四边形，半径不变，则阴影部分的面积是_________
解：（2）设四边形四个内角度数分别为x1， x2，x3 ，x4 ∴x1 + x2 + x3 + x4 =360°又∵半径为1
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例2 （3）若改为n边形，半径不变，则阴影部分的面积是________
解：（3）设n边形n个内角度数分别为x1， x2，x3 ，… ，xn ∴x1 + x2 + x3 +… + xn =180°(n-2)又∵半径为1
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
例2 （4）如图（3），以n边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是_________
解：（4）设n边形n个外角度数分别为x1， x2，x3 ，… ，xn ∴x1 + x2 + x3 +… + xn =360°又∵半径为1
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
【思路点拨】阴影部分的面积是由多个扇形组成的，而这些扇形的圆心角之和恰好是多边形的内角和或外角和．
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
练习 等边△ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心， 为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3．求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形面积S（图中阴影部分）．
解：连接AO2，∵BO2＝CO2，△ABC是等边三角形∴AO2⊥BC∵AB＝a，BO2＝∴在Rt△ABO2中，由勾股定理：AO2＝
探究三：应用弧长公式和扇形面积公式解决问题
重点、难点知识★▲
（1）弧长是圆周的一部分，它的大小取决于圆心角占360°的比例，因此弧长的计算公式是： （n表示圆心角度数，R表示圆的半径）；（2）扇形面积是圆的面积的一部分，它的大小取决于圆心角占360°的比例，因此扇形面积的计算公式是： （n表示圆心角度数，R表示圆的半径）；（3）扇形面积第二种求法： （其中，l表示弧长，R表示圆的半径）．
（1）灵活应用弧长计算公式 ，一般半径、圆心角、弧长三者之间可以“知二求一”；（2）灵活应用扇形面积计算公式 ，一般半径、圆心角、扇形面积三者之间可以“知二求一”；（3）注意扇形面积还可能直接用 来求；（4）弓形的面积可以转化为求扇形面积与三角形面积之差．
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