人教版 (五四制)九年级上册31.1 圆的有关性质优秀课件ppt

31.1.1 圆

一、教学目标

（一）学习目标

1.感受圆和实际生活的联系.

2.体会圆的不同定义方法．理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别．

3.进一步理解点与圆的位置关系.

（二）学习重点

圆的两种定义的探索，能利用圆的知识能够解释一些生活问题．理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.

（三）学习难点

圆的运动式定义方法

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）生活中的圆_________

（2）几何中的线有_________线和_________线

2.预习自测

（1）组成几何图形的基本元素是__________

【知识点】组成几何图形的基本元素

【解题过程】组成几何图形的基本元素有：点、线、面、体

【思路点拨】回顾初一内容，组成几何图形的基本元素

【答案】点，线，面，体

（2）圆是到定点的距离等于__________的点的集合，定点是__________，定长是__________

【知识点】圆的定义

【解题过程】圆的定义知，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是圆的半径

【思路点拨】思考圆是怎么画出来的，其定义是什么

【答案】定长，圆心，半径

（3）圆上任意两点间的线段叫__________，圆上任意两点间的部分叫_________

【知识点】圆的相关定义

【解题过程】圆上任意两点间的线段叫弦，圆上任意两点间的部分叫弧

【思路点拨】由弦，弧的定义可得

【答案】弦，弧

（4）圆的内部可以看作到________的距离小于________的集合

【知识点】点与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】圆上的点到圆心的距离等于半径，圆内的点到圆心的距离小于半径，圆外的点到圆心的距离大于半径

【思路点拨】点与圆的位置可以用距离来刻画

【答案】圆心，半径

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）    组成几何图形的基本元素有点，线，面，体

（2）    几何中的线有直线和曲线

2.问题探究

探究一  感受圆和实际生活的联系．

●活动①  回顾旧知，回忆学过的几何图形

学生回答：三角形，四边形

【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.

●活动②   整合旧知，探究新的几何图形

师问：以上生活场景中，有哪个共同的图形？

学生回答：圆

师问：生活中，你还能举出哪些场景含有圆？

学生举手抢答

【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到的感性认识，思考圆的定义

探究二  体会圆的不同定义方法．★ ▲

●活动①大胆猜想，探究新知识

观察画圆的过程，你能说出圆的形成过程吗？（课件画图）

学生活动设计：

学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．

教师活动设计：

在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定：

圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；

圆心：固定的端点叫作圆心；

半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径．

圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

同时从圆的定义中归纳：

（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

于是得到圆的第二定义：

所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．

 【设计意图】老师综合学生的疑惑，把有意义的问题归纳，并展示出来。

●活动② 集思广益，讨论圆中相关元素的定义

如图1，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？

学生活动设计：

学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．

教师活动设计：

在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决．

弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；

直径：经过圆心的弦叫作直径；

弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；

弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．

优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图1中的；

劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图1中的．

【设计意图】让学生准确认识圆中相关元素的定义

探究三 进一步理解点与圆的位置关系★ ▲

●活动1  探究点与圆的位置关系

例1. 在中，，BC=6cm，AC=8cm，以B为圆心，以BC为半径作，

问点A、C及AB、AC的中点D、E与有怎样的位置关系？

【知识点】 点与圆的位置关系，勾股定理.

【数学思想】数形结合

【解答过程】在中，，BC=6cm，AC=8cm，

，

的半径为6cm，，

点A在圆外.

，C点在圆上.

，点D在圆内，

  点E在圆外.

【思路点拨】若的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d=r，则点P在圆上；当，则点P在圆的外部；当，则点P在圆的内部，反之亦然.

当问题未附图时，可给问题配图，当问题的图形不能唯一确定时，可考虑配不同图形，分类讨论.

【答案】点A在圆外，点C在圆上，点D在圆内，点E在圆外,

练习：如图，中，，，，，以C为圆心画经过点D，则这个圆的半径应有多长？

【知识点】 点与圆的位置关系.

【数学思想】数形结合

【解答过程】由已知条件，知，，

要使经过点D，的半径应为1.5cm.

【思路点拨】若的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d=r，则点P在圆上；当，则点P在圆的外部；当，则点P在圆的内部，反之亦然.

【答案】的半径应为1.5cm.

【设计意图】把点与圆的位置关系放在熟悉的几何图形中，进一步了解并掌握点与圆的位置关系与数形结合的思想

活动2：探究四点共圆的方法

例2.如图，四边形ABCD的一组对角，都是直角. 求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.       

【知识点】 圆的定义

【解答过程】证明：连接AC，取AC中点O，连DO，BO，在Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，

，即OD=OA=OC.

同理：OB=OA=OC.

.

A，B，C，D四点在以O为圆心，AC为直径的圆上.

【思路点拨】四点共圆的关键体现在这四点到圆心（某一特殊点）的距离相等，从而获得该四点共圆.

练习：如图，已知中，BD，CE是两条高. 求证：B、C、D、E四点在同一圆上

【知识点】 圆的概念，直角三角形的性质.

【解答过程】证明：取BC中点O，连接EO，DO，.

在中，DO=BC

同理：，

.

B，C，D，E四点在以O为圆心，BC为直径的圆上.

【思路点拨】四点共圆的关键体现在这四点到圆心（某一特殊点）的距离相等，从而获得该四点共圆.

【设计意图】通过直角三角形斜边中线等于斜边的一半快速找到四点共圆的圆心，进一步了解圆的定义，探索证明四点共圆的方法

活动3  圆在实际生活中的应用

例3.如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A周围3km内的水域为危险区域，有一渔民误入离A处2km的B处，为尽快驶离危险区域，该船应沿哪个方向航行？（要求给予证明）

【知识点】点与圆的位置关系，三角形的三边关系

【解答过程】该船应沿射线AB方向驶离危险区域，理由如下：

如图，设射线AB与相交于点C，在上任取一点D(不包括C关于A的对称点). 连AD，BD，在中，

，，

.

.

【思路点拨】实际应用问题，应抽象出一般的几何图形，依据圆上所有点的共同特征，结合三角形三边的关系来解决实际问题.

【答案】该船应沿射线AB方向驶离危险区域

练习：爆破时，导火索的燃烧速度为每秒0.9cm，点导火线的人要跑到离爆破点120m以外的安全区域，这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m安全吗？

【知识点】路程与速度、时间的关系，点与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解答过程】如图，圆内为危险区域. 导火索燃烧时间为，人跑的路程为，，点导火索的人非常安全.

【思路点拨】实际应用问题，应抽象出一般的几何图形，依据圆上所有点的共同特征，结合数学公式来解决实际问题.

【答案】安全

【设计意图】根据圆的定义，点与圆的位置关系，结合实际生活，解决具体问题。

3.课堂总结

知识梳理：

（1）数学来源于生活，圆与实际生活的联系

（2）圆的不同定义方法．

在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆

所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆

（3）弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；

直径：经过圆心的弦叫作直径；

弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；

弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．

优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示

劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧

（4）若的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d=r，则点P在圆上；当，则点P在圆的外部；当，则点P在圆的内部，反之亦然.

重难点归纳：

（1）圆的定义中：

圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；

到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上

（2）点与圆的位置关系：若的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d=r，则点P在圆上；当，则点P在圆的外部；当，则点P在圆的内部，反之亦然.

(三)课后作业

基础型  自主突破

1．圆是到定点的距离等于          的点的集合，定点是        ，定长是         .

【知识点】圆的定义

【解答过程】根据圆的定义得到

【思路点拨】圆的两要素：圆心定位置，半径定大小

【答案】定长 圆心  半径

2．圆的内部可以看作是到         距离小于            的点的集合.

【知识点】点与圆的位置关系

【解答过程】若的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d=r，则点P在圆上；当，则点P在圆的外部；当，则点P在圆的内部，反之亦然.

【思路点拨】点的圆的位置可以通过比较点到圆心的距离与半径来确定

【答案】圆心 半径

3．确定一个圆的两个要素是         和         .

【知识点】圆的定义

【解答过程】根据圆的定义知，

【思路点拨】圆心定位置，半径定大小

【答案】圆心 半径

4．已知的直径为8cm，点A，B，C与圆心O的距离分别为4cm，3cm，5cm，则点A在       ，点B在          ，点C在          .

【知识点】点与圆的位置关系

【解答过程】∵的直径为8cm，∴半径r=4cm.∵4=4，∴点A在圆上；3<4，∴点B在圆内；∵5>4，∴点C在圆外.

【思路点拨】点的圆的位置可以通过比较点到圆心的距离与半径来确定

【答案】圆上，圆内，圆外

5．到已知点P的距离等于2cm的点的集合是          .

【知识点】圆的定义

【解答过程】根据圆的定义到定点的距离等于定长

【思路点拨】圆是到定点距离等于定长的点的集合

【答案】以P为圆心，2cm为半径的圆

6．若的半径为R，点A到圆的距离为d，当点A在圆外时，则           ；当点A在圆上时，则          ；当点A在圆内时，则           .

【知识点】点与圆的位置关系

【解答过程】若的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d=r，则点P在圆上；当，则点P在圆的外部；当，则点P在圆的内部，反之亦然.

【思路点拨】点与圆的位置可以通过比较点到圆心的距离与半径来确定

【答案】d＞R   d＝R   d＜R

能力型  师生共研

7．在中，，AB=3cm，BC=2cm，以A为圆心，以2.3cm为半径作圆，则C点和的位置关系是           .

【知识点】点与圆的位置关系

【解答过程】在中，AB=3，BC=2，，，内.

【思路点拨】点与圆的位置可以通过比较点到圆心的距离与半径来确定

【答案】点C在圆内

8．矩形的四个顶点在同一个圆上，这个圆的圆心是该矩形        ，这个圆的半径是       .

【知识点】圆的定义，矩形的性质

【解答过程】因为矩形的四个顶点到矩形对角线的交点距离相等，所以矩形对角线的交点就是圆的圆心，半径就是对角线长的一半

【思路点拨】四点共圆的关键体现在这四点到圆心（某一特殊点）的距离相等

【答案】对角线的交点  对角线长的一半

探究型 多维突破

9如图，AB是的任一直径，CD是中不过圆心的任一弦.

求证：.

【知识点】同圆半径相等 三角形三边关系

【解答过程】连接OC,OD,则OC+OD=AB,在△OCD中，OC+OD＞CD，则AB＞CD

【思路点拨】比较两条线段长短常见方法：三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，两点之间，线段最短

【答案】连接OC,OD,则OC+OD=AB,在△OCD中，OC+OD＞CD，则AB＞CD

10．请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法.（不要求证明）

【知识点】垂直平分线的性质，圆的定义

【解答过程】有一个公共端点的两条弦的中垂线交点即为所求

【思路点拨】圆是轴对称图形，直径是它的对称轴

【答案】有一个公共端点的两条弦的中垂线交点即为所求

自助餐

1．已知的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A与的位置关系是（    ）

A. 点A在内  B. 点A在上    C. 点A在外  D. 不能确定

【知识点】点与圆的位置关系

【解答过程】根据题意OA=3cm则OA＜r,所以点A在圆内

【思路点拨】点与圆的位置可以通过比较点到圆心的距离与半径来确定

【答案】A

2．已知的半径为r，点P到点O的距离大于r，那么点P的位置（    ）

A.一定在的内部   B. 一定在的外部    C. 一定在上   D. 不能确定

【知识点】点与圆的位置关系

【解答过程】若的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d=r，则点P在圆上；当，则点P在圆的外部；当，则点P在圆的内部，反之亦然.

【思路点拨】点的圆的位置可以通过比较点到圆心的距离与半径来确定

【答案】B

3．如图，在中，，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以长为半径画圆，则A，B，C，M四点在圆外的有            ；在圆上的有            ；在圆内的有                .

【知识点】点与圆的位置关系 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理

【解答过程】∵BC=4cm>,∴点B在圆外；∵∠C=90°，AC=2cm，BC=4cm，∴AB=；又∵CM是Rt的中线，∴CM=.∴点M在圆上；∵AC=2cm<,∴点A在圆内；∵C为圆心，∴点C也在圆内；

【思路点拨】点与圆的位置可以通过比较点到圆心的距离与半径来确定

【答案】点B，点M，点C和点A

4．用图形（阴影）表示到定点A的距离小于或等于2cm的点的集合.

【知识点】圆的定义 点圆的位置关系

【解答过程】

【思路点拨】到A的距离小于或等于2cm的点在以A为圆心，2cm为半径的圆上和圆

【答案】

5．如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm.

(1)以点A为圆心，4cm为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？

(2)若以点A为圆心作，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？

【知识点】点与圆的位置关系，矩形性质，勾股定理

【数学思想】数形结合

【解答过程】(1) ，B在圆内，AD=4，在圆上，，在圆外；

(2)AB=3，AD=4，AC=5，即B离A3cm是最短距离，C离A5cm最长，

【思路点拨】点的圆的位置可以通过比较点到圆心的距离与半径来确定

【答案】(1)B在圆内，D在圆上，C在圆外；(2) 3＜r＜5

6．两条直线a，b，已知相交于点O，AB=m，当A、B两点分别在直线，a，b上移动时，AB中点P的轨迹是怎样的？

【知识点】圆的定义 直角三角形斜边中线等于斜边一半

【解答过程】连接OP，，

为AB的中点

点的轨迹为以O为圆心，以为半径的圆.

【思路点拨】圆是到定点的距离等于定长的点的集合

【答案】点的轨迹为以O为圆心，以为半径的圆.