初中人教版 (五四制)28.1 二次函数的图像和性质优质课ppt课件
展开28.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第三课时(1)二次函数表达式常见的三种形式是:(h,k)活动1探究一:利用一般式求二次函数解析式回顾旧知,引出新知重点、难点知识★▲问题1:一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式?2个问题2:求一次函数解析式的方法是什么?它的一般步骤是什么?待定系数法:(1)设:(表达式);(2)代:(坐标代入);(3)解:方程(组);(4)还原:(写解析式)问题3:二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式?3个活动2探究一:利用一般式求二次函数解析式重点、难点知识★▲已知二次函数图象经过点(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个二次函数的解析式.解析:设一般式y=ax2+bx+c,再把已知三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组,然后解方程组求出a、b、c即可.解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把(-3,0),(-1,0),(0,-3)代入y=ax2+bx+c得解得∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.问题:已知抛物线上三个点如何确定二次函数解析式?活动2探究一:利用一般式求二次函数解析式重点、难点知识★▲一般式法求二次函数解析式的方法:这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.其步骤是:①设函数解析式为y=ax2+bx+c;②代入后得到一个三元一次方程组;③解方程组得到a,b,c的值;④把待定系数用数字换掉,写出函数解析式.若题目给出了二次函数图象上三个点的坐标,则可采用一般式求解.活动探究二:利用顶点式求二次函数解析式重点、难点知识★▲问题:已知顶点坐标及图象上另一点坐标,能否求出二次函数解析式?如何进行?已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),且经过点N(2,3),求此二次函数的解析式.解析:因为抛物线的顶点坐标为M(1,-2),所以设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,把点N (2,3)代入解析式解答.解:已知抛物线的顶点坐标为M(1,-2),设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2,把点N(2,3)代入解析式,得a-2=3,即a=5,∴此函数的解析式为y=5(x-1)2-2.活动探究二:利用顶点式求二次函数解析式重点、难点知识★▲顶点式法求二次函数解析式的方法:这种知道抛物线的顶点坐标,求解析式的方法叫做顶点式法.①设函数解析式是y=a(x-h)2+k;②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程;③将另一点的坐标代入原方程求出a值;④a用数值换掉,写出函数解析式.若题目给出了二次函数的顶点坐标,则采用顶点式求解简单.活动探究三:利用交点式求二次函数解析式重点、难点知识★▲问题:已知抛物线与x轴两交点坐标或一交点坐标和对称轴如何确定二次函数解析式?已知抛物线经过两点A(1,0),B(0,-3),且对称轴是直线x=2,求此二次函数的解析式.解析:可设交点式y=a(x-1)(x-3),然后把B点坐标代入求出a即可; 解:∵对称轴是直线x=2,∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(3,0).设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把B(0,-3)代入得a(-1)×(-3)=-3,解得a=-1,∴抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.活动探究三:利用交点式求二次函数解析式重点、难点知识★▲交点式法求二次函数解析式的步骤:这种知道抛物线与x轴的交点坐标,求解析式的方法叫做交点式法.②先把两交点的横坐标x1,x2代入到解析式中,得到关于a的一元一次方程;③将另一点的坐标代入原方程求出a值;④a用数值换掉,写出函数解析式.已知抛物线与x轴两交点或一交点和对称轴,则采用交点式求解简单.活动1探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲基础型例题例1 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.【解题过程】【思路点拨】已知二次函数图象经过任意三点,可直接设表达式为一般式,代入可得三元一次方程组,解之即可求出待定系数.活动1探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲练习:已知二次函数的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3),求函数的表达式和对称轴.【解题过程】基础型例题活动1探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲例2 已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3),求这个二次函数的表达式.【解题过程】【思路点拨】此题只告诉了两个点的坐标,但其中一点为顶点坐标,所以表达式可设顶点式:y=a(x-h)2+k,即可得到一个关于字母a的一元一次方程,再把另一点代入即可求出待定系数.在设表达式时注意h的符号.基础型例题活动1探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲【解题过程】∴与x轴交点坐标为(-3,0)、(1,0).基础型例题活动2探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲提升型例题例3 已知抛物线经过三点(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个二次函数的表达式.【解题过程】即y=-x2-4x-3.【思路点拨】因为已知点为抛物线与x轴的交点,表达式可设为交点式,再把第三点代入可得一元一次方程,较一般式所得的三元一次方程组简单.而顶点可根据顶点公式求出.活动2探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲练习:已知一抛物线经过三点A(-2,0)、B(1,0)、C(2,8).试求该抛物线的表达式及顶点坐标.【解题过程】解:∵A(-2,0)、B(1,0)是抛物线与x轴两交点,∴设表达式为y=a(x+2)(x-1),把C(2,8)代入上式,则有a(2+2)(2-1)=8,∴a=2.∴此函数的表达式为y=2x2+2x-4.提升型例题活动2探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲例4 如图,已知二次函数的图象过A、C、B三点,点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.(1)求点C的坐标;(2)求二次函数的解析式,并化成一般形式.【解题过程】解:(1)∵点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(4,0),∴OC=AB=5,∴点C的坐标为(0,5);所以这个二次函数的解析式为:提升型例题活动2探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲【思路点拨】(1)根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5,点C在y轴上可以写出点C的坐标;(2)二次函数图象经过点A、B、C;这三个点的坐标已知,根据三点法确定这个二次函数解析式.提升型例题例4 如图,已知二次函数的图象过A、C、B三点,点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.(1)求点C的坐标;(2)求二次函数的解析式,并化成一般形式.活动2探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲练习:已知在直角坐标平面内,抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A,B,点B的坐标为(3,0),与y轴相交于点C.【解题过程】解:(1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线y=x2+bx+6,得0=9+3b+6,解得b=﹣5,所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6;(2)∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6; ∴A(2,0),B(3,0),C(0,6),提升型例题活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲探究型例题例5 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?【解题过程】解法1:活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲探究型例题例5 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?【解题过程】解法2:活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲【思路点拨】分别找出用三种方法求解析式的条件,分别求解.探究型例题例5 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?【解题过程】解法3:活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲练习:如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,请求出其表达式。【解题过程】解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为【思路点拨】观察图象知,已知抛物线的顶点和另一点坐标,用顶点式求解.探究型例题活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲(1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;【解题过程】(2)对称轴为x=2 ;顶点坐标为(2,-10).探究型例题活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离.∵点P与点Q关于对称轴x=2对称,∴点Q到x轴的距离为6. 探究型例题【解题过程】活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲(1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离.【思路点拨】(1)用待定系数法求解析式;(2)用对称轴方程和顶点坐标公式写出,也可用配方法写出;(3)先将P(m,m)代入抛物线解析式求出m值,再求Q点坐标.探究型例题活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲练习:如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式;【解题过程】探究型例题活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.探究型例题练习:如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问题:【解题过程】活动3探究四:用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识★▲探究型例题练习:如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.知识梳理(1)待定系数法求解析式的一般步骤:①设:(表达式);②代:(坐标代入);③解:方程(组);④还原:(写解析式)(2)待定系数法求二次函数解析式的一般方法:(其中x1,x2为交点的横坐标)重难点归纳在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.选择“《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(3)》随堂检测 ”点击“随堂训练→名师训练”
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