【最新版】高中数学高三培优小题练第40练　平面向量的数量积

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考点一 平面向量数量积的基本运算
1．设平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由题意，a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×12＋1×2×cs 120°＝2－1＝1，
则a·(2a＋b)＝1.
2．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3＋\r(3),3) B.eq \f(9,2) C.eq \r(3) D．9
答案 D
解析 由题意得∠ABC＝120°，
eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×2×cs 120°＝－2，
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))·(eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))＝(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))2－eq \f(3,2)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)×22－eq \f(3,2)×
(－2)＋22＝9.
3．已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(23,64))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)，－\f(1,5))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(1,2)))
答案 A
解析 取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))，
Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4)))，
设M(x,0)，－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(1,2)，
∴eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，－\f(\r(3),2)))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－x，\f(\r(3),4)))，
则eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝－x2－eq \f(1,4)x－eq \f(3,8)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,8)))2－eq \f(23,64)，－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(1,2)，
∴当x＝eq \f(1,2)时，eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))取得最小值－eq \f(3,4)；
当x＝－eq \f(1,8)时，eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))取得最大值－eq \f(23,64)，
∴eq \(BM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(23,64))).
考点二 平面向量数量积的应用
4．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D．2
答案 A
解析 因为非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，
所以a·b＝|a|·|b|cs 60°＝eq \f(1,2)|a|，
又|2a－b|＝1，所以(2a－b)2＝1，
即4a2＋b2－4a·b＝1，所以4|a|2＋|b|2－4×eq \f(1,2)|a|＝1.
整理可得4|a|2－2|a|＝0，因为|a|≠0，
解得|a|＝eq \f(1,2).
5．已知向量m，n满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋n))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m－2n))，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))，则m与n的夹角的余弦值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
答案 B
解析 ∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋n))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m－2n))，
∴m2＋n2＋2m·n＝m2＋4n2－4m·n，
∴m·n＝eq \f(1,2)n2，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n))，
设向量m与n的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(m·n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n)))＝eq \f(\f(1,2)n2,2n2)＝eq \f(1,4).
6．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A.eq \f(1,2)a＋b B．－eq \f(1,2)a＋b
C．a＋eq \f(1,2)b D．a－eq \f(1,2)b
答案 C
解析 设向量a，b的夹角为θ，由|a|＝|b|＝|a＋b|，
得|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cs θ
＝2|a|2＋2|a|2cs θ＝|a|2，
所以cs θ＝－eq \f(1,2).
选项A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·b＝eq \f(1,2)a·b＋b2＝eq \f(1,2)|b|2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋|b|2＝eq \f(3,4)|b|2≠0，不满足题意；
选项B，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋b))·b＝－eq \f(1,2)a·b＋b2＝－eq \f(1,2)|b|2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋|b|2＝eq \f(5,4)|b|2≠0，不满足题意；
选项C，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))·b＝a·b＋eq \f(1,2)b2＝|b|2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \f(1,2)|b|2＝0，满足题意；
选项D，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)b))·b＝a·b－eq \f(1,2)b2＝|b|2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－eq \f(1,2)|b|2＝－|b|2≠0，不满足题意．
7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 设点M为BC边的中点，由题意可得|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，
|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|＝|2eq \(OM,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|＝2|eq \(AM,\s\up6(→))|，
据此结合题意可知，CB＝2AM，
由三角形的性质可知，△ABC的形状是直角三角形．
考点三 平面向量的应用
8.(2022·云南师大附中模拟)如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝2，∠CAB＝60°，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD等于( )
A.eq \f(\r(37),3) B.eq \f(\r(97),9) C.eq \f(4\r(3),9) D.eq \f(4\r(3),3)
答案 A
解析 由题意，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2＝eq \f(4,9)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))2＋eq \f(1,9)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))2＋eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(16,9)＋1＋eq \f(4,9)×2×3×eq \f(1,2)＝eq \f(37,9)，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(\r(37),3).
9．若向量a＝(1,1)与b＝(λ，－2)的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________________．
答案 (－∞，－2)∪(－2,2)
解析 因为a＝(1,1)，b＝(λ，－2)，
所以a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉，
即cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(λ－2,\r(2)·\r(4＋λ2))，
由题意可知，
a·b<0且a与b不共线，
∴λ－2<0，
∴λ<2.
当a∥b时，λ＝－2，
综上，λ<2且λ≠－2.
10.(2022·北京模拟)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2))，F1与F2的夹角为θ.给出以下结论：
①θ越大越费力，θ越小越省力；
②θ的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))；
③当θ＝eq \f(π,2)时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))；
④当θ＝eq \f(2π,3)时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G)).
其中正确结论的序号是________．
答案 ①④
解析 对于①，由于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1＋F2))为定值，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2))2＋2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F2))×cs θ＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs θ))，
解得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs θ))).
由题意知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，所以y＝cs θ单调递减，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))2单调递增，
即θ越大越费力，θ越小越省力，①正确；
对于②，由题意知，θ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，所以②错误；
对于③，当θ＝eq \f(π,2)时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))2,2)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))，③错误；
对于④，当θ＝eq \f(2π,3)时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))2，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(G))，④正确．
综上，正确结论的序号是①④.
11．设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b＝3，c＝5，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．8 B．－8 C．6 D．－6
答案 A
解析 如图所示，因为O为△ABC的外心，过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，
则点D，E分别为AB，AC的中点，
可得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－|eq \(AO,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|cs∠BAO＝－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，
同理可得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(→))|2，
又由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，
由b＝3，c＝5，可得－eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝－eq \f(1,2)×32＋eq \f(1,2)×52＝8.
12．(2022·南昌模拟)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝4，若对任意实数t，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ka＋tb))>1恒成立，则实数k的范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,\r(15))))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(15))，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,\r(15))))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(15))，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,\r(15))，\f(2,\r(15))))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,\r(15))，\f(2,\r(15))))
答案 B
解析 因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝4，
则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2－2a·b＝13－2a·b＝16，则a·b＝－eq \f(3,2)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ka＋tb))＝eq \r(k2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2＋t2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2＋2kta·b)＝eq \r(4k2＋9t2－3kt)，
又对任意实数t，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ka＋tb))>1恒成立，
则9t2－3kt＋4k2－1>0对任意实数t恒成立，
因此只需Δ＝9k2－36eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k2－1))<0，解得k>eq \f(2,\r(15))或k<－eq \f(2,\r(15)).
13．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(b＋a－c)＝0，则|c|的最大值等于( )
A．1 B．2
C．1＋eq \f(\r(5),2) D.eq \r(5)
答案 D
解析 由题意得，向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)，
由c·(b＋a－c)＝0，可得(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0，
整理得x2＋y2－x－2y＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋(y－1)2＝eq \f(5,4)，即c的轨迹为圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，半径为eq \f(\r(5),2)的圆，
则|c|的最大值为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋12)＋eq \f(\r(5),2)＝eq \r(5).
14．(2022·杭州模拟)已知平面向量a，b满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1，a·b＝1，记b与a＋b的夹角为θ，则
cs θ的最小值为________．
答案 eq \f(2\r(2),3)
解析 设eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝x，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(1＋2＋x2)＝eq \r(x2＋3)，
cs θ＝eq \f(b·a＋b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)))＝eq \f(a·b＋b2,x·\r(x2＋3))＝eq \f(1＋x2,x\r(x2＋3))＝eq \r(\f(x2＋12,x2x2＋3)).
令x2＋1＝t，则t>1，cs θ＝eq \r(\f(t2,t－1t＋2))＝eq \r(\f(t2,t2＋t－2))＝eq \r(\f(1,－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2＋\f(1,t)＋1))，
由t>1得0∴当eq \f(1,t)＝eq \f(1,4)时，－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2＋eq \f(1,t)＋1取得最大值eq \f(9,8)，
∴cs θ的最小值为eq \r(\f(1,\f(9,8)))＝eq \f(2\r(2),3).