【最新版】高中数学高三培优小题练第43练　等差数列

专题6　数列与推理证明

第43练　等差数列

考点一　等差数列基本量的运算

1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

答案　C

解析　设公差为d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d＝24，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝48，联立解得d＝4.

2．已知数列{an}满足an－2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，且前n项和为Sn，若2a11＝a9＋7，则S25等于(　　)

A.  B．145  C.  D．175

答案　D

解析　对任意的n∈N*，an－2an＋1＋an＋2＝0，

即2an＋1＝an＋an＋2，∴数列{an}为等差数列，

∵a9＋7＝2a11，

∴a1＋8d＋7＝2(a1＋10d)，

∴a1＋12d＝7，

由等差数列的求和公式可得S25＝25a1＋×d＝25(a1＋12d)＝25×7＝175.

3．程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一个“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注]六升六：6.6升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为(　　)

A．2.3升   B．2.4升

C．3.4升   D．3.6升

答案　C

解析　设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，由题意知{an}为等差数列，设公差为d，

因为

解得所以a4＋a5＝2a1＋7d＝3.4.

考点二　等差数列的判定与证明

4．已知数列{an}，{bn}满足bn＝an＋an＋1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的 (　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若数列{an}是等差数列，设其公差为d1，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d1，所以数列{bn}是等差数列，充分性成立；若数列{bn}是等差数列，设其公差为d2，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝d2，不能推出数列{an}是等差数列，必要性不成立．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＝2an＋1－an(n∈N*)，若S5＝λa10，则λ的值为(　　)

A．－  B．－3  C．－  D．－2

答案　D

解析　由an＋2＝2an＋1－an(n∈N*)，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，

∴数列{an}为等差数列，设其公差为d，

∵a1＝8，a4＝2，∴3d＝2－8＝－6，

解得d＝－2，

∴a10＝a1＋9d＝8－18＝－10，S5＝5a1＋d＝40－20＝20，

∴λ＝＝＝－2.

6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak成立，则{an}的前n项和Sn等于(　　)

A．n(3n－1)   B.

C．n(n＋1)   D.

答案　C

解析　因为am＋k＝am＋ak，所以令k＝1，可得am＋1＝am＋a1＝am＋2，即am＋1－am＝2恒成立，据此可知，数列{an}是一个首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，故其前n项和Sn＝na1＋d＝2n＋×2＝n(n＋1)．

考点三　等差数列的性质及应用

7．已知{an}为等差数列，前3项和为18，后3项和为54，其前n项和Sn＝480，则该等差数列的项数为(　　)

A．20  B．24  C．30  D．40

答案　D

解析　依题意a1＋a2＋a3＝18，

an＋an－1＋an－2＝54，

∵3(a1＋an)＝72，

∴a1＋an＝24，

又Sn＝＝480，

∴n＝40.

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　根据等差数列的性质，若数列{an}为等差数列，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也成等差数列；又＝，则数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12是以S4为首项，以3S4为公差的等差数列，则S8＝5S4，S16＝22S4，所以＝.

9．两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　∵＝＝＝，且＝＝，∴＝，

又＝，＝＝.

∴＝.

10．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是(　　)

A．9   B．10

C．10和11   D．11和12

答案　C

解析　∵等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，

∴a1＝－a21，即a1＋a21＝0，∴a11＝0，

∴S10或S11取得最大值．

∴Sn取得最大值时的项数n是10和11.

11．若干个连续奇数的和3＋5＋7＋…＋(4n－1)等于(　　)

A．2n2＋n   B．n2＋2n

C．4n2＋2n   D．4n2－1

答案　D

解析　方法一　用特殊值检验法．当n＝1时，和为3，可排除C；当n＝2时，和为15，可排除A，B.

方法二　设4n－1为等差数到{an}的第m项，

即am＝4n－1.

由am＝a1＋(m－1)d＝3＋(m－1)×2＝2m＋1，

∴2m＋1＝4n－1，∴m＝2n－1.

∴Sm＝＝＝4n2－1.

12．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，a5＝3，则数列的前24项和为(　　)

A.  B．3  C．3  D．6

答案　C

解析　∵{an}是方公差为4的等方差数列，

∴a－a＝4，a＝18，

∴a＝a＋4(n－5)＝18＋4n－20＝4n－2，

∴an＝，

∴＝

＝

＝(－)，

S24＝(－)＋(－)＋…＋(－)

＝(－)＝(7－)＝3.

13．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，下列4个命题中正确的有(　　)

A．若S10＝0，则S2＋S8＝0

B．若S4＝S12，则使Sn>0的最大的n为16

C．若S15>0，S16<0，则中S8最大

D．若S7<S8，则S8<S9

答案　C

解析　A选项，若S10＝10a1＋d＝0，则2a1＋9d＝0，那么S2＋S8＝＋＝10a1＋29d＝－16d≠0.故A不正确；

B选项，若S4＝S12，则a5＋a6＋…＋a11＋a12＝4＝0，又因为a1>0，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为S16＝＝8＝0，所以使Sn>0的最大的n为15.故B不正确；

C选项，若S15＝＝15a8>0，S16＝＝8<0，则a8>0，a9<0，则中S8最大．故C正确；

D选项，若S7<S8，则a8>0，而S9－S8＝a9，不能判断a9的正负情况．故D不正确．

14．已知数列的各项均为正数，其前n项和Sn满足4Sn＝a＋2an(n∈N*)，设bn＝(－1)n·

anan＋1，Tn为数列的前n项和，则T20等于(　　)

A．110  B．220  C．440  D．880

答案　D

解析　由4Sn＝a＋2an，得4Sn－1＝a＋2an－1(n≥2)，作差可得an－an－1＝2，又a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n，

则bn＝(－1)n·2n·2(n＋1)＝4(－1)n·n(n＋1)，

所以b1＋b2＝4[(－1)×1×2＋2×3]＝8×2，

b3＋b4＝4[(－1)×3×4＋4×5]＝8×4，

b5＋b6＝4[(－1)×5×6＋6×7]＝8×6，…，

b19＋b20＝4[(－1)×19×20＋20×21]＝8×20，

所以T20＝8×＝880.