【最新版】高中数学高三培优小题练第57练 空间点、直线、平面之间的位置关系
展开第57练 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点一 平面基本性质的应用
1.能确定一个平面的条件是( )
A.空间三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
答案 D
解析 A项,三个点可能共线,B项,点可能在直线上,C项,无数个点也可能在同一条直线上.
2.设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题:
①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α;
②若α,β不重合且A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;
③若l⊄α,A∈l,则A∉α;
④若A,B,C∈α,A,B,C∈β,则α与β重合.
则上述命题中,正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,根据公理1,得l⊂α,①正确;
若α,β不重合且A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则直线AB既在平面α内,又在平面β内,所以α∩β=AB,②正确;
若l⊄α,则直线l可能与平面α相交于点A,所以A∈l时, A∈α,③不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,当A,B,C共线时,α与β可能不重合,④不正确;
3.如图所示,平面α∩平面β=l, A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是( )
A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
答案 C
解析 由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.
4.(2022·南昌模拟)如图,E,F,G,H分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,现将△ABD沿BD折起,得到空间四边形ABCD,在折起过程中,下列说法正确的是( )
A.直线EF,HG有可能平行
B.直线EF,HG一定异面
C.直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上
D.直线EF,HG一定相交,但交点不一定在直线AC上
答案 C
解析 ∵BE=2AE,DH=2HA,
∴==,则EH∥BD,且EH=BD,
又CF=2FB,CG=2GD,
∴==2,则FG∥BD,且FG=BD,
∴EH∥FG,且EH≠FG,
∴四边形EFGH为平面四边形,故直线EF,HG一定共面,故B错误;
若直线EF与HG平行,则四边形EFGH为平行四边形,可得EH=GF,与EH≠FG矛盾,故A错误;
由EH∥FG,且EH≠FG,EH=BD,FG=BD,可得直线EF,HG一定相交,设交点为O,则O∈EF,又EF⊂平面ABC,可得O∈平面ABC,同理,O∈平面ACD,
而平面ABC∩平面ACD=AC,
∴O∈AC,即直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上,故C正确,D错误.
考点二 空间位置关系的判断
5.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则( )
A.a∥c
B.a,c是异面直线
C.a,c相交
D.a,c平行或相交或异面
答案 D
解析 若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c可以平行,可以相交,可以异面.
6.已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
答案 B
解析 在空间中,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,故A错误;两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,故B正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错误;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错误.
7.下列关于点、线、面位置关系的命题中正确的是( )
A.若两个平面有三个公共点,则它们一定重合
B.空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内
C.两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,则直线a,b也是异面直线
D.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则A,M,O三点共线,且A,O,C,M四点共面
答案 D
解析 对于选项A,如图A,D,E三个公共点在一条直线上,平面ABCD与平面ADD1A1相交不重合,故选项A不正确;
对于选项B,正方体中从点A出发的三条棱AA1,AB,AD不在同一个平面内,故选项B不正确;对于选项C,若a∥b,则a,b确定一个平面,且a,b与直线c,d的交点都在此平面内,则c,d共面,与c,d是异面直线矛盾,故直线a,b可能是异面直线,也可能是相交直线.故选项C不正确;平面ACC1A1∩平面AB1D1=AO,因为直线A1C交平面AB1D1于点M,所以M∈AO,即A,M,O三点共线,因为A,M,O三点共线,直线和直线外一点可以确定一个平面,所以A,O,C,M四点共面,故选项D正确.
考点三 异面直线所成的角
8.如图,在直棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=CB,则异面直线BC1与A1C所成的角为( )
A.60° B.75°
C.45° D.90°
答案 A
解析 如图,延长AC到E,使得A1C∥C1E,
易知∠BC1E即为所求异面直线BC1与A1C所成的角,
不妨设A1A=AC=1,又∠BCE=90°,可证△BC1E为等边三角形,
于是所求异面直线所成的角为60°.
9.如图是棱长为a的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,直线EF与MN所成角的余弦值为( )
A.0 B. C. D.
答案 B
解析 作出正方体的直观图,连接BF,BE,易证△BEF是正三角形,而MN∥BF,故直线EF与MN所成角为,则直线EF与MN所成角的余弦值为.
10.已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=1,BC=2,PA=2,E为BC的中点,则异面直线AE与PD所成的角为( )
A. B.
C. D.π
答案 C
解析 如图,分别取AD,PA的中点F,G,连接CF,AC,FG,CG,
∵四边形ABCD为矩形,E,F分别为BC,AD的中点,
∴AF綊EC,
∴四边形AFCE为平行四边形,
∴CF∥AE.
∵F,G分别为AD,PA的中点,
∴FG∥PD,
∴异面直线PD与AE所成的角即为CF与FG所成的角.
∵PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴PA⊥AC,
∴CG===,
又CF==,FG==,
∴cos∠CFG===-,
∴∠CFG=,
∴CF与FG所成的角为π-=,即异面直线PD与AE所成的角为.
11.(2022·海口模拟)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均相等,∠ADC=120°,M是BB1上一动点,当A1M+MC取得最小值时,直线A1M与B1C所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图,设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
当A1M+MC取得最小值时,M为BB1的中点,则A1D∥B1C,则∠DA1M为直线A1M与B1C所成角(或其补角),此时,A1D=2,A1M=,
∵∠ADC=120°,
∴△ABD为等边三角形,得BD=2,
∴DM=,则△A1MD为等腰三角形,
可得cos∠DA1M==.
12.下列说法中正确的个数是( )
①若三个平面两两相交有三条交线,则三条交线相互平行;②三个平面最多将空间分为8个部分;③一平面截一正方体,则截面不可能为五边形;④过空间任意一点有且只有一条直线与两条异面直线垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 ①若三个平面两两相交有三条交线,则三条交线相互平行或交于一点(如三棱锥的三个侧面),故①错;
②一块豆腐切三刀,最多可切8块,因此,三个平面最多可将空间分为8个部分,故②正确;③过正方体的一个顶点,作如图所示截面,即可得出截面为五边形,故③错;④记直线a,b为空间中两条异面直线,则必存在直线c,使得c∥a且c与b相交,过直线b,c作平面α,若直线l⊥α,则l必分别垂直于直线 a,b,根据线面垂直的性质,过空间中任意一点,有且只有一条直线与平面垂直,因此过空间任意一点有且只有一条直线与两条异面直线垂直,故④正确.
13.已知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB,BC,DA,CD上的点,且AE=EB,BF=FC,CH=2HD,AG=2GD,则下列说法错误的是( )
A.AC∥平面EFH
B.EF∥GH
C.直线EG,FH,BD相交于同一点
D.BD∥平面EFG
答案 D
解析 ∵AE=EB,BF=FC,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,且EF=AC,
∵EF⊂平面EFH,AC⊄平面EFH,
∴AC∥平面EFH,故A正确;
∵CH=2HD,AG=2GD,∴GH∥AC,且GH=AC,
则EF∥GH,故B正确;
∵四边形EFHG是梯形,则直线FH,EG相交,设交点为M,
则M∈EG,M∈平面ABD,M∈FH,M∈平面BCD,
则M是平面ABD和平面BCD的公共点,则M∈BD,
即直线EG,FH,BD相交于同一点,故C正确;
∵AE=EB,AG=2GD,
∴直线BD与EG必相交,故D错误.
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.
答案 无数
解析 在EF上任意取一点M,如图,
直线A1D1与M确定一个平面,
这个平面与CD有且仅有1个交点N,
当M取不同的位置就确定不同的平面,
从而与CD有不同的交点N,
而直线MN与这3条异面直线都有交点.
故在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有无数条.
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