【最新版】高中数学高三培优小题练第55练　空间几何体的结构特征、三视图、直观图

专题8　立体几何与空间向量

第55练　空间几何体的结构特征、三视图、直观图

考点一　空间几何体的结构特征

1．下列说法正确的是(　　)

A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C．棱柱中各条棱长都相等

D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

答案　A

解析　A显然正确；棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面，故B错误；棱柱的每条侧棱长都相等，而不是各条棱长都相等，故C错误；棱柱的底面可以是平行四边形，如长方体，故D错误．

2．下列说法正确的是(　　)

A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面

B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥

C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱

D．圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交

答案　A

解析　A是圆锥的性质，故正确；对于B，动手操作一下，发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故D错误．

3．在一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是①正三角形；②直角三角形；③正方形；④梯形，其中正确的有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

答案　C

解析　根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：

观察可知截面不可能出现直角三角形．

4．如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．

答案　①③④　⑥　⑤　

解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．

考点二　三视图

5．(2022·桂林模拟)M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，如图是用过M，N，A和D，N，C1的平面截去两个角后所得几何体，该几何体的正视图是(　　)

答案　B

解析　由正视图的定义可知，点A，B，B1在后面的投影点分别为D，C，C1，线段AN在后面的投影面的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，即答案B正确．

6．如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的是(　　)

A．(1)(2)   B．(1)(3)

C．(2)(3)   D．(1)(4)

答案　C

解析　正方体的三视图是相同的，故(1)不正确，

圆柱的正视图和侧视图相同，故(2)正确，

圆锥的正视图和侧视图相同，故(3)正确，

长、宽、高都不等的长方体的三视图都不相同，故(4)不正确．

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．4π＋40   B．4π＋16

C．16π＋40   D．16π＋36

答案　A

解析　由三视图可知该几何体为球与正四棱柱的组合体，球的直径为2，正四棱柱的高为4，底面是边长为2的正方形，所以该几何体的表面积为S＝4π×12＋4×2×4＋2×22＝4π＋40.

8．(2022·绍兴模拟)如图所示，某几何体的正视图与侧视图是直角三角形，俯视图是正方形，则这个几何体的体积是(　　)

A．1  B.  C.  D.

答案　C

解析　由三视图可得直观图如图所示，该几何体为四棱锥B－A1B1C1D1，

将四棱锥B－A1B1C1D1补成如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，所以VB－A1B1C1D1＝S正方形A1B1C1D1·BB1＝×1×1×1＝.

考点三　直观图

9．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中(　　)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AC，最短的是AD

答案　B

解析　由条件知，在原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.

10．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.

答案　矩形　8

解析　由斜二测画法的特点知，该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某正方体被一平面所截后，剩余部分几何体的三视图，其中C是正方体的一个顶点，则从点M沿该几何体表面到达C的最短路径长为(　　)

A．2  B．2  C．2  D．6

答案　C

解析　由三视图可知，正方体被截取一个三棱锥A－A1B1M，剩余部分几何体从点M沿该几何体表面到达C的最短路径长为平面AA1D1D与平面D1DCC1沿D1D展开后MC(如图所示)的距离，此时MC＝＝＝2.

12．(2022·上海市市西中学模拟)如图，E，F分别为正方体的侧面ADD1A1，侧面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下图中的________. (要求：把可能的图的序号都填上)

答案　②③

解析　根据图象知，四边形BFD1E在上、下平面的投影为②；在左、右平面的投影为③，在前、后平面的投影为②.

13．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面当中最大面的面积是________．

答案　2

解析　由三视图可知，该四面体为D－BD1C1，放在正方体中，由直观图可知，面积最大的面为△BDC1，在正三角形BDC1中，BD＝2，所以其面积S＝×(2)2×＝2.

14．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝________.

答案　∶2∶2

解析　由题意作图，如图所示，几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，

设棱长为1，四棱锥是棱长都相等的正四棱锥，三棱锥是一个正四面体，

令P在底面ADCB上的射影为O，连接AO，

则AO＝，故h1＝PO＝＝＝，

三棱锥的高就是P点到平面SBC的距离，令P点在平面SBC上的射影为M，则M是三角形的重心，

故SM＝×＝，

故h2＝PM＝＝＝，三棱柱的高也是PM＝＝h，

因而h1∶h2∶h＝∶∶＝∶∶＝∶2∶2.