【最新版】高中数学高三培优小题练第74练　抛物线

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第74练　抛物线，共5页。试卷主要包含了若抛物线C，经过点P的抛物线的标准方程为，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

考点一 抛物线的定义
1．若抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,4)，y1))到它的焦点的距离为6，则p等于( )
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 由题意得，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,4)，y1))到准线的距离d＝eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)，则eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝6，解得p＝8.
2．已知动点M的坐标满足方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 C
解析 方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|可化为eq \r(x2＋y2)＝eq \f(|3x＋4y－12|,5)，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线．
3．已知P为抛物线y2＝4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，5))，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋d的最小值是( )
A．4 B.eq \r(74)
C.eq \r(17)－1 D.eq \r(34)－1
答案 D
解析 因为A在抛物线的外部，所以当点P，A，F共线时， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))最小，此时eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋d也最小， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))－1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))－1＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－1))2＋52)－1＝eq \r(34)－1.
考点二 抛物线的标准方程
4．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x或x2＝－8y
B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x
D．x2＝－8y
答案 A
解析 ∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下．当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，
∴p1＝eq \f(1,2)，
∴抛物线的方程为y2＝x.当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，
∴p2＝4，
∴抛物线的方程为x2＝－8y.
5．顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－12y或y2＝16x
B．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12x
D．x2＝－9y或y2＝－12x
答案 A
解析 对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点坐标为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则eq \f(p,2)＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
考点三 抛物线的性质
6．已知抛物线C：x2＝ay的准线方程为y＝－2，则抛物线C的焦点坐标为( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(0,4) D．(0，－4)
答案 B
解析 由题意得，准线方程为y＝－2，所以eq \f(p,2)＝2，且焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0,2)．
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))两点，如果x1＋x2＝6，那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))等于( )
A．6 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.
∵过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋2.
又∵x1＋x2＝6，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋2＝8.
8．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，2))，则该抛物线的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案 B
解析 由题意可知AB的中点的纵坐标为2，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝x－\f(p,2)，))可得y2－2py－p2＝0，则AB中点的纵坐标为eq \f(2p,2)＝2，解得p＝2，
则该抛物线的方程为y2＝4x.
9．拋物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于eq \f(π,3)的直线与拋物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 易知直线方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，))消去y得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝eq \f(1,3)，x2＝3.
∴点A的横坐标为3，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))＝4.
10.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
答案 C
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，
即3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3.
∴p＝|FG|＝eq \f(1,2)|FC|＝eq \f(3,2)，因此抛物线方程为y2＝3x.
11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则AB的中点M到C的准线l的距离的最小值为( )
A．2 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 如图，
分别过点A，M，B作准线的垂线，垂足分别为G，D，E，
则|MD|＝eq \f(|AG|＋|BE|,2)＝eq \f(|AF|＋|BF|,2)＝eq \f(|AB|,2)，
设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝8x，))整理得y2－8my－16＝0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16.
|AB|＝eq \r(1＋m2)·eq \r(y1＋y22－4y1y2)
＝8(1＋m2)≥8，
∴|MD|≥4.
12．若抛物线Γ：x＝－eq \f(y2,4)上有一动点P，则点P到Γ的准线的距离与到直线l：x＋y－5＝0的距离的和的最小值是( )
A.eq \f(81\r(2),32) B.eq \f(3\r(2),2)
C．2eq \r(2) D．3eq \r(2)
答案 D
解析 设点P到准线的距离为d1，到直线l的距离为d2，根据抛物线的定义知，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，则d1＋d2＝|PF|＋d2.过焦点F作FM⊥l于点M(图略)，则|PF|＋d2≥|FM|(当且仅当F，P，M三点共线且P在线段FM上时取等号)，又F(－1,0)，所以d1＋d2≥eq \f(|－1＋0－5|,\r(2))＝3eq \r(2).
13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 D
解析 易知D1C1⊥平面BCC1B1，则PC1为点P到直线C1D1的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹为抛物线．
14．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|＝6，则|EM|的长为( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(6) C．2 D.eq \r(3)
答案 B
解析 由已知得F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1，并与y2＝4x联立得y2－4my－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x0，y0)，y1＋y2＝4m，则y0＝eq \f(y1＋y2,2)＝2m，x0＝2m2＋1，∴E(2m2＋1,2m)，又|AB|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4＝6，解得m2＝eq \f(1,2)，线段AB的垂直平分线为y－2m＝－m·(x－2m2－1)，令y＝0，得M(2m2＋3,0)，从而|ME|＝eq \r(4＋4m2)＝eq \r(6).