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【最新版】高中数学高三培优小题练第7练 函数的综合性质
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这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第7练 函数的综合性质，共6页。试卷主要包含了有以下三个条件等内容，欢迎下载使用。
第7练 函数的综合性质
考点一 函数的奇偶性与单调性相结合
1．奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )
A．－10 B．15 C．10 D．9
答案 D
解析 由题意，得f(6)＝8，f(3)＝－1，又f(x)为奇函数，所以f(－3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝9.
2．已知函数f(x)＝x2－cos x，则f ，f(0)，f 的大小关系是( )
A．f(0)
解析 ∵函数f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，
∴f ＝f ，又f′(x)＝2x＋sin x，
当00，
∴函数f(x)在上单调递增，
∴f(0)
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0,1)
D．(－1,0)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 由题意，对于任意x1，x2∈(－∞，0]，x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，
可得函数f(x)在(－∞，0]上为减函数，
又由函数f(x)是R上的偶函数，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
且f(－1)＝f(1)＝0，
由xf(x)<0可得，当x>0时，f(x)<0，
即f(x)
即f(x)>f(－1)，可得x<－1.
综上可得不等式xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
考点二 函数的奇偶性与周期性相结合
4．(2022·哈尔滨模拟)已知y＝f(x)为奇函数且对任意x∈R，f(x＋2)＝f(－x)，若当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 023)等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 因为y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
因为对任意x∈R，f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期函数，且周期T＝4.
当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，
所以f(0)＝log2a＝0，
所以a＝1，则f(2 023)
＝f(505×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－log22＝－1.
5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，恒有f(x＋4)＝f(x)成立，当x∈(－2,0)时，f(x)＝3x－1，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝______.
答案
解析 由题意，函数f(x)对任意x∈R，
恒有f(x＋4)＝f(x)成立，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝f(0)＋f(1)＋f(2)，又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，
且x∈(－2,0)时，f(x)＝3x－1，
所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－(3－1－1)＝，
因为f(x＋4)＝f(x)，
令x＝－2，
可得f(2)＝f(－2)＝－f(2)，
解得f(2)＝0，
所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝0＋＋0＝.
考点三 函数的奇偶性与对称性相结合
6．已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x－1，则函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的( )
A．最小值为－ B．最小值为－
C．最大值为0 D．最大值为
答案 A
解析 ∵函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，
∴f(6＋x)＝－f(－x)．
又函数f(x)为奇函数，
∴f(6＋x)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为6的周期函数，
又函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，
故f(0)＝0，f(－3)＝f(3)＝0，
依次类推，f(3n)＝0(n∈N)．
作出函数的大致图象，如图所示．
根据周期性可知，函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的图象与在区间[－3,2]上的图象完全一样，可知函数f(x)在(－3,2]上单调递减，且f(－3)＝0，
∴函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的最小值为f(2 024)＝f(2)＝－.
7．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－2)＝2，则f(2 022)＝________.
答案 2
解析 由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 022)＝f(6＋252×8)＝f(6)＝f(－2)＝2.
考点四 函数性质的综合应用
8．已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(1－x)＝0，且f(x－1)是奇函数，则下列说法不正确的是( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是周期函数
C．f(1)＝0
D．f(x＋1)是奇函数
答案 A
解析 ∵f＋f＝0，
∴f(x)关于点(1,0)对称，
令x＝0，有f(1)＝0，
且f(x＋1)由f(x)向左平移1个单位长度得到，
∴f关于(0,0)对称，
∴f(x＋1)是奇函数，
又f(x－1)是奇函数，∴f(x)关于(－1,0)对称，
∴f(x－3)＋f(1－x)＝0,
则f(x－3)＝f(x＋1)，
∴f(x)＝f(x＋4),
即f(x)是以4为周期的周期函数，
综上，选项BCD正确，A错误．
9．(2022·郑州模拟)有以下三个条件：①定义域不是R但值域为R；②在(－1,1)上单调递减；③是奇函数．写出一个同时满足以上三个条件的函数f(x)＝________.
答案 －tan x(答案不唯一)
解析 结合题中的三个条件可知，f(x)＝－tan x为满足题意的一个函数．
10．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，关于函数f(x)＝x－[x]有下列结论：
①f(x)是奇函数；
②f(x)的值域为[0,1]；
③f(x)在区间(1,2)上单调递增；
④∀x∈R，f(x＋1)＝f(x)．
其中正确结论的序号是________．
答案 ③④
解析 对于①，因为当x＝－0.5时，
[x]＝－1，[－x]＝0，
所以f(x)＝0.5，而f(－x)＝0.5，
于是f(－x)≠－f(x)，所以①错；
对于②，因为0≤x－[x]<1，所以f(x)≠1，所以②错；
对于③，因为在区间(1,2)上，f(x)＝x－[x]＝x－1，
所以f(x)在区间(1,2)上单调递增，所以③对；
对于④，因为f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－([x]＋1)＝x－[x]＝f(x)，所以④对．
11．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|－1，y＝，y＝中，与函数f(x)＝x4不是“亲密函数”的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝＝1－的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝≥0，故选B.
12．(2022·深圳模拟)已知定义域为R的函数y＝f(x)在[0,10]上有1和3两个零点，且y＝f(x＋2)与y＝f(x＋7)都是偶函数，则函数y＝f(x)在[0,2 023]上的零点个数为( )
A．404 B．406
C．804 D．806
答案 B
解析 因为y＝f(x＋2)与y＝f(x＋7)都为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，f(x＋7)＝f(－x＋7)，所以f(x)图象关于x＝2，x＝7轴对称，所以f(x)为周期函数，且T＝2×(7－2)＝10，所以将[0,2 023]划分为[0,10)∪[10,20)∪…∪[2 010,2 020)∪[2 020,2 023]．而[0,10)∪[10,20)∪…∪[2 010,2 020)，共202组，所以N＝202×2＝404，在[2 020，2 023]中，含有零点f(2 021)＝f(1)＝0，f(2 023)＝f(3)＝0，共2个，所以一共有406个零点．
13．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A．f ＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
答案 B
解析 因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，
因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
又f(1)＝0，故f(－1)＝f(5)＝f(1)＝0，其他三个选项未知．
14．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x1，x2∈R都有f(x1＋x2)＝100f(x1)·f(x2)，则下列结论一定正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是周期函数
C．存在常数k，对任意x∈R，都有f(x＋1)＝kf(x)
D．对任意m∈R，存在x0∈R，使得f(x0)＝m
答案 C
解析 令f(x)＝10x－2，
则对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝，
100f(x1)f(x2)＝100××＝100×＝，
∴f(x1＋x2)＝100f(x1)f(x2)，
∴f(x)＝10x－2满足题意．
对于A，由于f(x)＝10x－2不是偶函数，所以A不正确．
对于B，由于f(x)＝10x－2不是周期函数，所以B不正确．
对于D，由于f(x)＝10x－2>0，
∴当m≤0时，不存在x0∈R，使得f(x0)＝m成立，
∴D不正确．
对于C，在f(x1＋x2)＝100f(x1)f(x2)中，
令x1＝x，x2＝1，得f(x＋1)＝100f(1)f(x)，
令k＝100f(1)，则f(x＋1)＝kf(x)，
∴存在常数k＝100f(1)，对任意x∈R，都有f(x＋1)＝kf(x)，∴C正确．
第7练 函数的综合性质
考点一 函数的奇偶性与单调性相结合
1．奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )
A．－10 B．15 C．10 D．9
答案 D
解析 由题意，得f(6)＝8，f(3)＝－1，又f(x)为奇函数，所以f(－3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝9.
2．已知函数f(x)＝x2－cos x，则f ，f(0)，f 的大小关系是( )
A．f(0)
解析 ∵函数f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，
∴f ＝f ，又f′(x)＝2x＋sin x，
当0
∴函数f(x)在上单调递增，
∴f(0)
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0,1)
D．(－1,0)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 由题意，对于任意x1，x2∈(－∞，0]，x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，
可得函数f(x)在(－∞，0]上为减函数，
又由函数f(x)是R上的偶函数，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
且f(－1)＝f(1)＝0，
由xf(x)<0可得，当x>0时，f(x)<0，
即f(x)
即f(x)>f(－1)，可得x<－1.
综上可得不等式xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
考点二 函数的奇偶性与周期性相结合
4．(2022·哈尔滨模拟)已知y＝f(x)为奇函数且对任意x∈R，f(x＋2)＝f(－x)，若当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 023)等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 因为y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
因为对任意x∈R，f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期函数，且周期T＝4.
当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋a)，
所以f(0)＝log2a＝0，
所以a＝1，则f(2 023)
＝f(505×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－log22＝－1.
5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，恒有f(x＋4)＝f(x)成立，当x∈(－2,0)时，f(x)＝3x－1，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝______.
答案
解析 由题意，函数f(x)对任意x∈R，
恒有f(x＋4)＝f(x)成立，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝f(0)＋f(1)＋f(2)，又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，
且x∈(－2,0)时，f(x)＝3x－1，
所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－(3－1－1)＝，
因为f(x＋4)＝f(x)，
令x＝－2，
可得f(2)＝f(－2)＝－f(2)，
解得f(2)＝0，
所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝0＋＋0＝.
考点三 函数的奇偶性与对称性相结合
6．已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x－1，则函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的( )
A．最小值为－ B．最小值为－
C．最大值为0 D．最大值为
答案 A
解析 ∵函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，
∴f(6＋x)＝－f(－x)．
又函数f(x)为奇函数，
∴f(6＋x)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为6的周期函数，
又函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，
故f(0)＝0，f(－3)＝f(3)＝0，
依次类推，f(3n)＝0(n∈N)．
作出函数的大致图象，如图所示．
根据周期性可知，函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的图象与在区间[－3,2]上的图象完全一样，可知函数f(x)在(－3,2]上单调递减，且f(－3)＝0，
∴函数f(x)在区间[2 019,2 024]上的最小值为f(2 024)＝f(2)＝－.
7．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－2)＝2，则f(2 022)＝________.
答案 2
解析 由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2 022)＝f(6＋252×8)＝f(6)＝f(－2)＝2.
考点四 函数性质的综合应用
8．已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(1－x)＝0，且f(x－1)是奇函数，则下列说法不正确的是( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是周期函数
C．f(1)＝0
D．f(x＋1)是奇函数
答案 A
解析 ∵f＋f＝0，
∴f(x)关于点(1,0)对称，
令x＝0，有f(1)＝0，
且f(x＋1)由f(x)向左平移1个单位长度得到，
∴f关于(0,0)对称，
∴f(x＋1)是奇函数，
又f(x－1)是奇函数，∴f(x)关于(－1,0)对称，
∴f(x－3)＋f(1－x)＝0,
则f(x－3)＝f(x＋1)，
∴f(x)＝f(x＋4),
即f(x)是以4为周期的周期函数，
综上，选项BCD正确，A错误．
9．(2022·郑州模拟)有以下三个条件：①定义域不是R但值域为R；②在(－1,1)上单调递减；③是奇函数．写出一个同时满足以上三个条件的函数f(x)＝________.
答案 －tan x(答案不唯一)
解析 结合题中的三个条件可知，f(x)＝－tan x为满足题意的一个函数．
10．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，关于函数f(x)＝x－[x]有下列结论：
①f(x)是奇函数；
②f(x)的值域为[0,1]；
③f(x)在区间(1,2)上单调递增；
④∀x∈R，f(x＋1)＝f(x)．
其中正确结论的序号是________．
答案 ③④
解析 对于①，因为当x＝－0.5时，
[x]＝－1，[－x]＝0，
所以f(x)＝0.5，而f(－x)＝0.5，
于是f(－x)≠－f(x)，所以①错；
对于②，因为0≤x－[x]<1，所以f(x)≠1，所以②错；
对于③，因为在区间(1,2)上，f(x)＝x－[x]＝x－1，
所以f(x)在区间(1,2)上单调递增，所以③对；
对于④，因为f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－([x]＋1)＝x－[x]＝f(x)，所以④对．
11．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|－1，y＝，y＝中，与函数f(x)＝x4不是“亲密函数”的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝＝1－的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝≥0，故选B.
12．(2022·深圳模拟)已知定义域为R的函数y＝f(x)在[0,10]上有1和3两个零点，且y＝f(x＋2)与y＝f(x＋7)都是偶函数，则函数y＝f(x)在[0,2 023]上的零点个数为( )
A．404 B．406
C．804 D．806
答案 B
解析 因为y＝f(x＋2)与y＝f(x＋7)都为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，f(x＋7)＝f(－x＋7)，所以f(x)图象关于x＝2，x＝7轴对称，所以f(x)为周期函数，且T＝2×(7－2)＝10，所以将[0,2 023]划分为[0,10)∪[10,20)∪…∪[2 010,2 020)∪[2 020,2 023]．而[0,10)∪[10,20)∪…∪[2 010,2 020)，共202组，所以N＝202×2＝404，在[2 020，2 023]中，含有零点f(2 021)＝f(1)＝0，f(2 023)＝f(3)＝0，共2个，所以一共有406个零点．
13．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A．f ＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
答案 B
解析 因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，
因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
又f(1)＝0，故f(－1)＝f(5)＝f(1)＝0，其他三个选项未知．
14．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x1，x2∈R都有f(x1＋x2)＝100f(x1)·f(x2)，则下列结论一定正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是周期函数
C．存在常数k，对任意x∈R，都有f(x＋1)＝kf(x)
D．对任意m∈R，存在x0∈R，使得f(x0)＝m
答案 C
解析 令f(x)＝10x－2，
则对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝，
100f(x1)f(x2)＝100××＝100×＝，
∴f(x1＋x2)＝100f(x1)f(x2)，
∴f(x)＝10x－2满足题意．
对于A，由于f(x)＝10x－2不是偶函数，所以A不正确．
对于B，由于f(x)＝10x－2不是周期函数，所以B不正确．
对于D，由于f(x)＝10x－2>0，
∴当m≤0时，不存在x0∈R，使得f(x0)＝m成立，
∴D不正确．
对于C，在f(x1＋x2)＝100f(x1)f(x2)中，
令x1＝x，x2＝1，得f(x＋1)＝100f(1)f(x)，
令k＝100f(1)，则f(x＋1)＝kf(x)，
∴存在常数k＝100f(1)，对任意x∈R，都有f(x＋1)＝kf(x)，∴C正确．
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