人教版八年级上册14.1.3 积的乘方学案及答案

幂的运算（提高）

【学习目标】

1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；

2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.

【要点梳理】

【高清课堂396573 幂的运算 知识要点】

要点一、同底数幂的乘法性质

(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

即（都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.

要点二、幂的乘方法则

    (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)

（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.

要点三、积的乘方法则

  (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).

         （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：

要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.

（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、同底数幂的乘法性质

【高清课堂396573 幂的运算 例1】

1、计算：

(1)；

(2) ．

【答案与解析】

解：（1）．

   （2）．

【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．

（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：

  ．

类型二、幂的乘方法则

【高清课堂396573 幂的运算 例2】

2、计算：

（1）；        （2）；

（3）；   （4）．

【答案与解析】

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．

3、（2015春•南长区期中）已知2x=8y+2，9y=3x﹣9，求x+2y的值．

【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解．

【答案与解析】

解：根据2x=23（y+2），32y=3x﹣9，

列方程得：，

解得：，

则x+2y=11．

【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则．

举一反三：

【变式】已知，则＝          ．

【答案】－5；

提示：原式　

　　　　  ∵∴ 原式＝＝－5.

类型三、积的乘方法则

4、计算：

（1）   （2）

【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.

【答案与解析】

解：（1）．

（2）．

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．

举一反三：

【变式1】下列等式正确的个数是(    )．

①  ②  ③

④  ⑤

    A. 1个          B. 2个             C. 3个             D. 4个

【答案】A；

       提示：只有⑤正确；；；；

【变式2】（2015春•泗阳县校级月考）计算：

（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2

（2）（2）20•（）21．

【答案】

（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2

=a4•9a6＋16a10

=9a10＋16a10

=25a10；

（2）（2）20•（）21．

=（×）20•

=1×

=．

5、（2016秋•济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．

【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．

【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m

=4（x2m）3﹣9x2m

=4×23﹣9×2

=14．

【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．

【巩固练习】

一.选择题

1．下列计算正确的是(    )．

   A.                           B.

C.                          D.

2．的结果是(    )．

   A.0          B.         C.        D.

3．下列算式计算正确的是(    )．

   A.                  B.

C.               D.

4．可以写成(    )．

   A.       B.        C.         D.

5．下列计算中，错误的个数是(    )．

①  ②  ③ 

④ ⑤

   A. 2个          B. 3个             C. 4个             D. 5个

6．（2016•盐城）计算（﹣x2y）2的结果是（　　）

A．x4y2         B．﹣x4y2       C．x2y2          D．﹣x2y2

二.填空题

7．化简：(1)＝_______；(2)＝_______．

8.直接写出结果：

(1)＝；  (2)＝；

(3)若，则＝______．

9.（2016春•靖江市期末）已知2m+5n+3=0，则4m×32n的值为　         ．

10.若，用，表示可以表示为               ．

11.（2015•杭州模拟）已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是　              　．

12.若整数、、满足，则＝    ，＝    ，＝    ．

三.解答题

13.若，求的值．

14.（春•吉州区期末）已知ax=﹣2，ay=3．求：

（1）ax+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值．

15. 已知，则        .

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】B；

【解析】；；.

2. 【答案】A；

   【解析】.

3. 【答案】D；

   【解析】；；.

4. 【答案】C；

【解析】；；.

5. 【答案】B；

   【解析】①②④错误.

6. 【答案】D；

【解析】解：∵a•a3=a4，∴选项A不正确；

∵a4+a3≠a2，∴选项B不正确；

∵（a2）5=a10，∴选项C不正确；

∵（﹣ab）2=a2b2，∴选项D正确．

故选：D．

二.填空题

7. 【答案】；；

   【解析】；

           .

8. 【答案】；；；

   【解析】（3）.

9. 【答案】；

   【解析】4m×32n=22m×25n=22m+5n，∵2m+5n+3=0，∴2m+5n=﹣3，∴4m×32n=2﹣3=．

10.【答案】；

【解析】

11.【答案】b＞c＞a＞d；

【解析】解：a=255=3211，b=8111，c=6411，d=2511，

∵81＞64＞32＞25，

∴b＞c＞a＞d．

故答案为：b＞c＞a＞d．

12.【答案】＝6，＝6，＝3；

【解析】

           .

三.解答题

13.【解析】

解：

∵，

∴

∴原式＝.

14.【解析】

解：（1）ax+y=ax•by=﹣2×3=﹣6；

（2）a3x=（ax）3=（﹣2）3=﹣8；

（3）a3x+2y=（a3x）•（a2y）

=（ax）3•（ay）2

=（﹣2）3•32

=﹣8×9

=﹣72．

15.【解析】

解：∵

∴；

∴；

∴，