数学人教B版 (2019)1.2.1 命题与量词优秀导学案

这是一份数学人教B版 (2019)1.2.1 命题与量词优秀导学案，共8页。

1.2.1 命题与量词








知识点1 命题


命题：能够判断真假的陈述句. 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题.


[微体验]


1.思考辨析


(1)“梯形是不是平面图形？”是命题.( )


(2)“若a＝b，则ac＝bc”是命题.( )


(3)“x2－3x＋2＞0”不是命题.( )


(4)命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是“若一个三角形是直角三角形”.( )


(5)命题“平行四边形的对角线相交于一点，且互相平分”的结论是“对角线互相平分”.( )


答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×


2.下列命题中，是真命题的是( )


A.{x∈R|x2＋1＝0}不是空集


B.若x2＝1，则x＝1


C.空集是任何集合的真子集


D.方程x2－5x＝0的根是自然数


答案 D


知识点2 量词


1.全称量词与全称量词命题


(1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，称为全称量词命题.


(2)全称量词命题的一般形式：∀x∈M，r(x).


2.存在量词与存在量词命题


(1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，称为存在量词命题.


(2)存在量词命题的一般形式：∃x∈M，s(x).


[微思考]


“有理数都是实数”是全称量词命题吗？此命题是真命题还是假命题？


提示 是全称量词命题.是真命题.


[微体验]


思考辨析


(1)“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＜0”是存在量词命题.( )


(2)“∀x∈R，－x2－1＜0”是真命题.( )


(3)将“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为“∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy”.( )


(4)若命题“∀x∈M，p(x)成立”是真命题，则“∃x0∈M，使p(x0)成立”也是真命题.( )


答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√








探究一 命题及其真假判断


(1)下列语句中，命题的个数为( )


①中国航天人真伟大！②空集是任何集合的真子集；③3x－2＞0；④把门关上；⑤自然数是偶数；⑥垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑦在2030年之前，人类能登上火星.


A.1 B.2


C.3 D.4


C [①是感叹句，不能判断真假，不是命题；③中含有未知数x，不能判断真假，不是命题；④是祈使句，不能判断真假，不是命题；⑥是疑问句，不能判断真假，不是命题.②⑤可以判断真假，都是命题.⑦虽然目前还不能确定真假，但随着时间的推移，总能判断它的真假，故也是命题.]


(2)判断下列命题的真假：


①已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；


②对任意的x∈N，都有x3>x2成立；


③若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；


④存在一个三角形没有外接圆.


解 ①假命题.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.[来源:Z&xx&k.Cm]


②假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.


③真命题.因为m>1⇒Δ＝4－4m<0，所以方程x2－2x＋m＝0无实数根.


④假命题.因为不共线的三点确定一个圆.


[方法总结]


(1)判断一个语句是否是命题的方法


判断一个语句是不是命题，要根据命题的定义进行判断，关键看它是否同时具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.一般地，祈使句、感叹句等都不是命题.


(2)判断命题真假的策略


①要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.


②要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.


[跟踪训练1] (1)下列语句不是命题的有( )


①2＜1；②x＜1；③若x＜2，则x＜1；④y＝x2是二次函数.


A.0个 B.1个


C.2个 D.3个


B [①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题.]


(2)判断下列命题的真假：


①正n边形(n≥3)的n个内角全相等.


②菱形的对角线相等且互相平分.


解 ①真命题. ②假命题.


探究二 全称量词命题和存在量词命题的判定


(1)下列命题中全称量词命题的个数是( )


①任意一个自然数都是正整数；


②有的三角形是等腰三角形也是等边三角形；


③三角形的内角和是180°.


A.0 B.1


C.2 D.3


C [观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词. 命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题.]


(2)下列语句不是存在量词命题的是( )


A.有的无理数的平方是有理数


B.有的无理数的平方不是有理数


C.对于任意x∈Z,2x＋1是奇数


D.存在x0∈R,2x0＋1是奇数


C [因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题. ]


[方法总结]


判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路





[跟踪训练2] 用全称量词或存在量词表示下列语句.


(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；


(2)当x为有理数时，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1也是有理数；


(3)方程3x－2y＝10有整数解.


解 (1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立.


(2)对任意有理数x，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数.


(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.


探究三 全称量词命题和存在量词命题的真假判断


给出下列四个命题.


①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；


③∃x∈Z，x3<1；④∃x∈Q，x2＝3.


其中真命题是________(填序号).


①③ [由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.


②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立.


所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.


③由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立.


所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题.


④由于使x2＝3成立的数只有±eq \r(3)，±eq \r(3)都不是有理数，


因此没有任何一个有理数的平方等于3.


所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题.]


[方法总结]


全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧


(1)全称量词命题的真假判断


要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).


(2)存在量词命题的真假判断


要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题.


[跟踪训练3] 判断下列命题的真假.


(1)∀x∈{1,3,5},3x＋1是偶数；


(2)∃x∈R，x2－6x－5＝0；


(3)∃x∈R，x2－x＋1＝0；


(4)∀x∈R，|x＋1|＞0.


解 (1)因为3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,3×5＋1＝16，它们均为偶数，所以该命题是真命题.


(2)因为方程x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0，


所以方程有两个不相等的实根.所以该命题是真命题.


(3)因为方程x2－x＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3＜0，


所以x2－x＋1＝0无实数解.所以该命题是假命题.


(4)因为x＝－1时，|－1＋1|＝0，所以该命题是假命题.








1.判断一个语句是否为命题的关键是看它能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题.


2.判断真命题要经过推理证明结论正确，判断假命题只需举出一反例说明即可.


3.判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称量词命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断.








课时作业(五) 命题与量词





1.下列语句是命题的是( )


①三角形的内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！


A.①②③ B.①③④


C.①②⑤ D.②③⑤


A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，所以④⑤不是命题.]


2.下列命题中是存在量词命题的是( )


A.所有的整数都是有理数


B.三角形的内角和都是180°[来源:ZXXK]


C.有些三角形是等腰三角形


D.正方形都是菱形


C [ A、B、D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.]


3.下列命题中全称量词命题的个数为( )


①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边互相平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等.


A.0 B.1


C.2 D.3


C [易知①②是全称量词命题，③是存在量词命题.]


4.给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )


A.4 B.2


C.0 D.－3


C [方程无实数根时，应满足Δ＝a2－4＜0，故当a＝0时适合条件.]


5.下列语句不是全称量词命题的是( )


A.任何一个实数乘以零都等于零


B.自然数都是正整数


C.高二(一)班绝大多数同学是团员


D.每一个向量都有大小


C [ “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题.]


6.命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为______________.


∀x∈R，x2＋2x＋1≥0 [将文字语言用符号语言表示为∀x∈R，x2＋2x＋1≥0.]


7.(多空题)下列命题中是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________.


①正方形的四条边相等；


②有些等腰三角形是正三角形；


③正数的平方根不等于0；[来源:学*科*网]


④至少有一个正整数是偶数.


①③ ②④ [①③是全称量词命题，②④是存在量词命题.]


8.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断其真假.


(1)没有一个实数α，tan α无意义；


(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？


(3)圆外切四边形，其对角互补.


解 (1)中命题的实质是“所有的实数α，tan α有意义”，含有全称量词，所以(1)为全称量词命题，是假命题.


(2)是疑问句，不是命题.


(3)“圆外切四边形，其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称量词命题，是假命题.


9.已知命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题.求实数a的取值范围.


解 因为ax2－2ax－3＞0不成立，


所以ax2－2ax－3≤0恒成立.


①当a＝0时，－3≤0成立；


②当a≠0时，应满足：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ≤0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,－2a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0.


由①②得a的取值范围为[－3,0].





1.有下列四个命题，其中真命题是( )


A.∀n∈R，n2≥n


B.∃n0∈R，∀m∈R，m·n0＝m


C.∀n∈R，∃m0∈R，meq \\al(2,0)

D.∀n∈R，n2

B [对于选项A，令n＝eq \f(1,2)，即可验证其不正确；对于选项C、D，可令n＝－1，加以验证，均不正确.]


2.命题“若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0”的真假性为________.(填“真”或“假”)


假 [若a2＋b2≠0，则a＝0或b＝0有可能成立.如a＝0，b＝1，显然a2＋b2≠0，但a＝0，故原命题是假命题.]


3.用全称量词把下列语句写成全称量词命题，并判断真假：


(1)x2＋2x＋3≥2；


(2)负数都没有对数；


(3)非负实数有两个偶次方根.


解 (1)∀x∈R，x2＋2x＋3≥2.


因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，所以它是真命题.


(2)所有的负数都没有对数.它是真命题.


(3)所有的非负实数都有两个偶次方根.它是假命题.


4.(拓广探索)已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围.


解 由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1,2]上恒成立.


所以a≤(x2)min，x∈[1,2].所以a≤1.


若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解.


所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0.


所以a≥1或a≤－2.


又因为p，q都为真命题，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a≥1或a≤－2.))


所以a≤－2或a＝1.


所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}.


课程标准
学科素养
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
通过对全称量词与存在量词的学习，提升“数学抽象”“逻辑推理”的核心素养.