第七讲  圆的有关性质（一）

【教学目标】

1、  了解圆的有关定义--弧、弦、圆心角和圆周角。

2、  掌握圆心角、弧、弦之间的关系。

3、  掌握圆周角定理及其推论。

【教学重点】

1、  圆心角、弧、弦之间的关系。

2、  圆周角定理及其推论。

【教学难点】

 圆周角定理及其推论。

【知识梳理】

1、 圆的有关概念

形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫          ，线段OA叫做           。

描述性定义：圆是到定点的距离等于        的点的集合。

注意：（1）在一个圆中，圆心决定圆的         ，半径决定圆的        。（2）直径是圆中        的弦，弦不一定是直径。

   弦：连接圆上任意两点的            叫做弦。

  弧：圆上任意两点间的         叫做弧，弧可分为       、      、      三类。

圆的对称性：（1）轴对称性：圆是轴对称图形，有            条对称轴，                 的直线都是它的对称轴。（2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是      。

【例题1】下列说法中，不正确的是（　　）

A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形   B．圆有无数条对称轴 

C．圆的每一条直径都是它的对称轴    D．圆的对称中心是它的圆心

【变式训练1】下列说法错误的是（　　）

A．圆有无数条直径    B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦 

C．过圆心的线段是直径    D．能够重合的圆叫做等圆

【例题2】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式训练】1、下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、下列说法错误的是（　　）

A．长度相等的两条弧是等弧   B．直径是圆中最长的弦 

C．面积相等的两个圆是等圆    D．半径相等的两个半圆是等弧

【例题3】如图，在⊙O中，弦的条数是（　　）

A．2 B．3 

C．4 D．以上均不正确

【变式训练3】点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【例题4】1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

2、如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）

A．42° B．28° C．21° D．20°

【变式训练4】1、点A、B在⊙O上，若∠AOB＝40°，则∠OAB＝　　　　．

2、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是　　　　．

3、如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝　　　°．

【例题5】（2017年中考）下列所述图形中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.等边三角形         B.平行四边形         C.正五边形           D.圆

2、圆心角、弧、弦之间的关系

圆心角：圆是中心对称图形，它的对称中心是____.顶点在圆心的角叫做____.

三者关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_   ___，所对的弦也__   __；在同圆或等圆中，如果两条弧___    _，那么它们所对的圆心角_    ___，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角___     _，所对的弧_     ___.

【例题6】下面四个图中的角，是圆心角的是(  )

【例题7】图中圆心角∠AOB=30°，点B是弧AD的中点，则∠BOD=30°，∠C=____.

【变式训练7】1、如图所示，在⊙O中，AC，BC是弦，根据条件填空：

(1)若AC=BC，则____；(2)若弧AC=弧BC，则____    ；(3)若∠AOC=∠BOC，则____.

2、如图，AB是⊙O的直径，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°

【例题8】1、如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是弧BE上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是(  )

  A.40°  B.60°  C.80°  D.120°

2、如图，弦AE∥直径CD，连AO，∠AOC＝40゜，则所对的圆心角的度数为（　　）

A．40゜ B．50゜ C．60゜ D．30゜

【变式训练8】1、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1=∠2，则下列结论中正确的有(  )

①弧AB=弧CD;②弧BD=弧AC;③AC=BD;④∠BOD=∠AOC.

A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

2、如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD的度数为(  )

  A.100°  B.110°  C.120°  D.135°

3、圆周角

概念：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半。

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用。

【例题9】下列图形中的角是圆周角的是(  )

【例题10】1、下列说法：

①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数是圆心角的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．

其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、如图，BC是⊙O的直径，点A是的中点，则∠ADB的度数是（　　）

A．22.5° B．30° C．37.5° D．45°

【变式训练10】1、如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠DEB＝85°，∠B＝35°，则∠A为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°

2、如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝3，则BC长为（　　）

A．    B．3   C．    D．

【例题11】如图，AB是半圆的直径，D是的中点，∠B＝40°，则∠A等于（　　）

A．60°   B．50°   C．80°   D．70°

【变式训练11】1、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.

2、如图，在⊙O中，∠AOB＝∠BOC＝120°，则△ABC的形状为（　　）

A．等腰三角形 B．等边三角形 

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

4、圆内接四边形

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做____，这个圆叫做____；圆内接四边形对角____.

【例题12】若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（　　）

A．2：3：4：5 B．1：2：3：4 C．2：5：4：1 D．4：3：3：2

【变式训练12】圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的比值可能为（　　）

A．1：2：3：4 B．1：4：3：2 C．2：1：3：4 D．1：2：1：2

【例题13】1、如图，已知∠BCD＝130°，则∠BOD＝　　　　．

2、如图，A、B、C、D四点在⊙O上，若四边形ABCD的一个外角∠DCE＝70°，你能求出∠BOD和∠BAD的大小吗？

【变式训练】1、已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝　　　　．

2、如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD＝98°，求∠A和∠C的度数．

【课堂练习】

1、下面3个命题：①半径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧.其中真命题的个数为(  )

  A.0  B.1  C.2  D.3

2、如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为(  )

  A.50°  B.60°  C.70°  D.80°[来源:学*科*网]

3、已知，如图，OA,OB为⊙O的半径，C,D分别为OA,OB的中点.求证：AD=BC.

4、下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中正确命题有(  )[来源:学科网]

  A.1个  B.2个    C.3个  D.4个

5、如图，在⊙O中，已知弦AB=DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为(  )

①∠DOE=∠AOB；②弧AB=弧DE；③OF=OC；④AC=EF.

  A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

6、如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.在下列结论中：①弧AM=弧MN=弧BN;②ME=NF；③AE=BF;④ME=2AE.正确的有____.

7、如图，A，B，C为圆O上的三等分点.

（1）求∠BOC的度数；

（2）若AB=3，求圆O的半径长及S△ABC.

8、(宜昌中考)如图，点A、B、C、D都在⊙O上，AC、BD相交于点E，则∠ABD=(  )

  A.∠ACD  B.∠ADB  C.∠AED  D.∠ACB

9、(湛江中考)如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D=(  )

  A.25°  B.35° ` `C.55°  D.70°

10、(重庆中考)如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是(  )

  A.30°  B.45°  C.60°  D.70°

11、(南昌中考)如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为(  )[来源:学.科.网]

  A.40°  B.45°  C.50°  D.55°

12、东营中考)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8 cm，弧AC=弧CD=弧BD，M是AB上一动点，CM+DM的最小值为____

13、如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点.

(1)求证：△ABC为等边三角形;

(2)求DE的长.

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

【课后练习】

1.下列说法中，正确的是(    )

A.等弦所对的弧相等                           B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等，所对的弦相等                   D.弦相等所对的圆心角相等

2.下列各角中，是圆心角的是（　　）

A． B． C． D．

3.如图，∠APB是圆周角的是（　　）

A．  B． C． D．

4.A，B，C，D，依次是⊙O上的四个点，，弦AB，CD的延长线交于P点，若∠ABD＝60°，则∠P等于（　　）

A．40° B．10° C．20° D．30°

5.在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，有以下结论：①为60°，②∠AOB＝60°，③∠AOB＝＝60°，④△ABO为等边三角形，⑤弦AB的长等于这个圆的半径．其中正确的是（　　）

A．①②③④⑤  B．①②④⑤  C．①②  D．②④⑤

6.若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数是（　　）

A．120° B．60° C．120°或240° D．60°或300°

7.如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为(    )

A.3∶2             B.∶2            C.∶               D.5∶4

8.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于(    )

A.2∶1                B.3∶2                 C.2∶3                 D.0

9．如图，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于（　　）

10一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.

11.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.

12．如图，在⊙O中，∠BOC=50°，OC∥AB．则∠BDC的度数为_______　度．

13．如图，AB是⊙O的直径，=，若∠BOD=50°，则∠A的度数为　_________　．

14.如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

15．已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD∥BC．试判断四边形ABCD的形状，并加以证明．

16．如图，已知在半圆AOB中，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2，求AD的长度．