高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第1课时教学设计

《3.1.1函数的概念》教学设计

第1课时

一．教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》的第一节《函数的概念及其表示》（第一课时）。以下是本节两个课时的安排：

 二，学情分析

    学生在初中已经学习过函数的概念。初中函数的概念把函数看成是两个变量之间的依赖关系。根据这个观点，有些函数很难进行深入研究。例如，对于这个函数，如果用变量观点来解释，会显得特别勉强。但用高中集合、对应的观点来解释就十分自然。但是有具体的实例归纳出函数的概念对学生的要求很高，也是一个挑战。

三．学习目标

1、学生能通过观察、辨析具体实例的共同属性，逐步抽象出用集合的语言刻画的函数的概念；

2、函数的概念及函数的三要素；

3、学生能求出一些简单函数的定义域及具体的函数值；

4、通过从实例中抽象概括函数概念的过程，提高抽象概括能力。

四．教学重点

重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养。

难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系。

五．教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

    比萨斜塔是意大利的标志性建筑，更是世界建筑史上的一大奇迹。比萨斜塔位于比萨城北面的一个名字叫奇迹广场上。奇迹广场的大片草坪上有一组宗教建筑，它们是比萨大教堂、洗礼堂、比萨斜塔和墓园。它们的外墙面均为乳白色大理石砌成，各自相对独立但又形成统一的罗马式建筑风格。1987年12月，奇迹广场（包括大教堂、洗礼堂、比萨斜塔和墓园）被联合国教科文组织列入《世界文化遗产》.比萨斜塔位于大教堂后面右侧，它从地面到塔顶高55米，直径16米，总重约14453吨。塔身向东南方向倾斜，倾斜角度3.99度。

某物体从比萨斜塔的塔顶自由下落，物体下落的高度(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为＝gt2，其中g取9.8 m/s2 .   

【想一想】 物体下落的高度(m)是所用时间t(s)的函数吗？

【提 示】   是.

2. 探索交流，解决问题

【问题】 ① 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为S=350t.   其中，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数.

② 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每

人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？ 一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？

显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是w=350d.

其中，d的变化范围是数集A={1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B={350，700，1 050，

1400，1 750，2 100}.对于数集A中的任一个工作天数d，按照对应关系w=350d，在数集B中都有唯一确定的工资w与它对应.

③ 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)变化 图.如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数(AQI)的值I?你认为这里的Ⅰ是t的函数吗？ 

【思考1】（1）根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km/h之后，运行一小时就前进350 km，

这种说法对吗？

（2）①和②中的函数有相同的对应关系，他们是同一个函数吗？

（3）你能根据图3.1-1，找到中午12时的AQI值吗？

（4）上述3个例子有什么共同特征？

【提示】  （1）错误；没有关注到t的取值范围。

（2）不是；自变量的取值集合不同。

（3）中午12时，空气质量指数为良好，数值介于50到100之间。

（4）上述问题的共同特征有：

 ① 都包含两个非空的数集，用A,B来表示；

② 都有一个对应关系；

③ 尽管对应关系的表示方法不同，但是集合A中的任意一个数，

根据对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它相对应。

【设计意图】 数学中的概念通常是用符号来表示的。学生总结三个实例的共同属性，能够认识到函数的本质，这时及时地引进数学符号，不仅可以引导学生把符号和它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的本质特征，从而可以提高学生的抽象能力、概括能力。

（二）函数的概念

1. 函数：一般地， 设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2. 对概念的深度剖析：

（1）函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x都有(存在性)数集B唯一(唯一性)的数y与之对应.

这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.

（2）值域是集合的子集。

（3）函数的三要素是定义域、对应关系、值域。

【做一做】  下列哪些是的函数，为什么？

；             

（5）某位学生的几次考试成绩情况如下：

【设计意图】

对函数概念正例与反例的辨析，通过学生比较、分析、概括，可以使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的一种思维载体。

【探究1】 确定一个函数需要几个要素？

【提示】  两个，一个函数的定义域和对应关系确定，函数唯一确定。

（三）函数概念的应用

1.函数的概念

例1  下面对应是函数关系的是________. 

(1)y=1(x∈R);

(2)y=± (x≥0);

(3)y→   ,x≠0,x∈R;

(4)路程s与时间t之间的关系.

[解析]   (2)不是函数关系.如当x=4时,y=±2,其不满足函数的定义,

而(1)(3)(4)是函数关系.

【延伸拓展】  设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是              (　　)

【提示】  选C.由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中图象不表示y是x的函数.

【类题通法】

判断一个对应关系是否为函数的步骤:

(1)判断A,B是否是非空实数集.

(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应;

(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应.

提醒：1.函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x都有(存在性)数集B唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.

2.由函数定义知,任意作一条直线x=a,当与函数图象至多有一个交点时,才是函数的图像.

【巩固练习1】  下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是(　　)

[解析]   D 

y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象．

2.求函数的定义域

【类题通法】1.求函数的定义域,其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值集合.

2.函数的定义域和值域都是集合。

常见函数的定义域：

【巩固练习2】求常见函数的定义域。

(1)y=2x+1.                  (2)y=+1.

[解析] （1）y=2x+1,是一次函数，故定义域为R.

(2)    因为是偶次根式,所以函数的定义域为{x|x≥0}.

（四）操作演练  素养提升

1．（多选题）下列四种说法中，正确的是(　　)

A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应

B．函数的定义域和值域一定是无限集合

C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了

D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素

2. 函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．  B．

C．   D．

3.设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A不可能是(　　)

A．{1}  B．{－1}  C．{－1,1}  D．{－1,0}

【答案】1.ACD  2.D  3.D

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（七）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

六．布置作业

完成教材：第63页  练习1,2,3

第72页  习题3.1  第1题