初中数学1.3.1 有理数的加法教案设计

1.3有理数的加减法

指向关键点

加减法一直伴随着我们的数学学习，知识运算的对象在不断发生变化．我们现在的加减法运算对象是有理数．

当数的范围拓展到有理数，减法运算转化为加法运算，加减运算统一成代数和．

灵活运用运算律，可以简化运算．

寻找支撑点

有理数加法运算，应确定两点，其一，和的符号，其二，和的绝对者．同号两数相加，和的符号与加数的符号已知，和的绝对值是两个加数的绝对值的和；异号两数相加，和的符号取绝对值大的那个加数的符号，和的绝对值是两个加数的绝对值的差（用较大的绝对值减去较小的绝对值）

减去一个数等于加上这个数的相反数，有理数的加减运算统一成代数和．

对于带分数的运算，可以将整数部分和分数部分分开进行．

运用交换律、结合律的原则为：将同分母或通分较易得分数放在一起，将同号得放在一起，将能凑整的放在一起．

例1对于有理数a，b，如果a＞0，b＜0，且＜，那么下列等式成立的是（）

A．a＋b＝＋                    B．a＋b＝﹣（＋）

C．a＋b＝﹣（﹣）              D．a＋b＝﹣（﹣）

分析本题实质是用符号语言来描述异号两数的加减法法则，我们只需将异号两数相加的文字语言翻译成符号语言即可判断．

解：异号两数相加，异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，因为＜，b＜0，所以和的符号为负，绝对值做减法，故选D．

例2将下列算式改写成省略加号的形式，然后计算．

（1）

（2）

（3）

分析加减法运算先同意成代数和的运算，再按运算顺序进行．对于带分数的加减，不要化为假分数，整数部分和分数部分分开算，适当运算律将同分母的放在一起

解（1）

（2）

（3）

有理数的运算又是要用到一些技巧，所谓技巧，就是通过观察，将加数作适当的拆分，运用运算律，重新组合，达到简化计算的目的．技巧是运算法则的创造性的运算．我们可以适当的积累一些计算技巧，但不能被技巧所束缚，熟练掌握运算法则才是最重要的

例3计算：

（1）···

（2）

分析观察（1），从第二项开始，2的指数一次增加，我们不妨整体变换；观察（2）发现每个加数的分母为两数之积，而分子为这两数的和，属于的结构，可以拆分成的形式

解：（1）令···＝a,则2a＝···，

则原式＝＝1＋2a

所以a＝－1，所以，原式＝．

（2）

例4 若有理数a＜b＜c，且a＋b＋c＝0，是判断a，c，a＋b及b＋c的符号

分析三个互不相等的数的和为0，则三个数中至少一个整数，至少一个负数，根据这三个数的大小，可以作具体判断．

解：因为a＜b＜c，所以3a＜a＋b＋c＝0＜3c，即，a＜0＜c；所以a，c，a＋b，b＋c的符号分别为负、正、负、正．

【拓展阅读】观察一组等式：

；

；

（1）第四个算式是

（2）＋···＋；

（3）先阅读下面的解答：

设＋···＋①

两边都乘以2，得

2S＝②

②－①得，

S＝

即···＋＝

追问延伸点

两数和、差的绝对值与两数绝对值的和、差比较大小

两数和、差的绝对值与两数绝对值的和、差比较大小

因为，，所以，即，a，b同号或有一个为0时取等号．

因为，即．

所以

例5不能使式子成立的数是（）

A．任意一个数

B．任意一个正数

C．任意一个负数

D．任意一个非负数

分析当a，b同号或有一个为0时

解：当括号里填负数或0时，等式成立，反之，括号里填任意一个正数，不能使式子成立．

选B．

当我们把整数按魔2的同余分类，可以把整数分成奇数、偶数两类，两个数的和与它们的差的奇偶性是一致的．因为，两个奇数的和与差都是偶数，两个偶数的和与差都是偶数，一个奇数与一个偶数的和与差都是奇数．

推而广之，奇数个奇数的和与差都是奇数，偶数个奇数的和与差都是偶数．

例6在数1,2,3，···，2014前添加符号“＋”，“－”并依次运算，所得的可能的最小非负数是多少？

分析随意添加运算符所得的结果不尽相同，但奇偶性是确定的，1到2014之间有1007个奇数，因此其结果为奇数，最小的非负奇数为1.

解从1到2014有1007个奇数，无论加、减，其代数和为奇数，，最小的非负奇数为1，我们可以将4个相邻的数位一组，将2014个数分为503个组，每个组适当添加符号后代数和为0，比如．最后剩两个数，比如2和1，则2－1＝1.

分级训练题

A级

1．一个数加上12得﹣5，那么这个数为（）．

A．7             B．﹣7             C．17            D．﹣17

2．下列计算正确的是（）

A．                      B．

C．                       D．

3．若a＋b＝0，那么有理数a，b的取值一定（）

A．都是0                B．互为倒数

C．互为相反数            D．至少有一个是0

4．若两个数的和为整数，则这两个数（）

A．至少有一个为正数      B．只有一个正数

C．两个数都是整数        D．必有一个数是0

5．冬季某天我国三个城市的最高气温分别是﹣10℃，1℃，﹣7℃，它们任意两城市中最大的温差是（）

A．11℃        B．17℃      C．8℃        D．3℃

6．世纪测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A－C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（）m

A．210        B．130        C．390        D．﹣210

7．将拆成整数部分和分数部分＝（）＋（）

8．计算：

（1）﹣3.4－（－4.7）；（2）（－50.9）＋（－123.7）；

（3）；（4）．

9．计算：

（1）23＋（－17）＋（＋7）＋（－13）；

（2）（－1.76）＋（－19.15）＋（－8.24）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）

10．一口井水面比井口低3m，一蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5m，往下滑了0.3m；第二次往上爬了0.42m，却又下滑了0.15m；第三次往上爬了0.7m，却又下滑了0.15m；第四次往上爬了0.75m，却又下滑了0.2m；第五次往上爬了0.55m，没有下滑；第六次往上爬了0.48m，此时蜗牛有没有爬出井口？请通过列式计算加以说明．

B级

11．下列说法正确的是（）

A．若x＋y＝0，则x与y互为相反数            B．若x－y＞0，则x<y

C．若x－y＝0，则则x与y互为相反数          D．若x－y＜0，若x＞y

12．已知x＞0，y＜0.且x＋y＜0，那么有理数x，y，﹣x，﹣y的大小关系为．

13．已知a，b，c，d都是有理数，若，，且，则a＋b＋c＋d＝

14．某检修小组乘汽车检修供电线路，约定前进为正，后退为负．某天自A地出发到手工时，所走路程（单位：km）为：﹢22，﹣3，＋4，﹣2，﹣8，＋17，﹣2，﹣3，﹢12，﹢7，﹣5，问：收工时距A地多远？若每千米耗油4L，问从A地出发到收工共耗油多少升？

15．将分数，分别输入下边的流程图，在输入圈的括号内一次填入输出的数．并写出计算结果

16．已知数轴上有A，B两点，A，B间的距离是2，点A与原点的距离是3.

（1）B点表示的数是什么？

（2）B点表示的这些数的和是多少？

（3）所有满足条件的B点与原点的距离之和是多少？

17．已知，，求a－b的值．

18．试用“＞”，“＜”，“＝”填空：

（1）

（2）

（3）

（4）

请通过以上各式总结任意两个不为0的有理数的和的绝对值与其绝对值的和的大小关系．

 C级

19．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差卸载这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后可能产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8；继续一次操作下去，则从数串3,9,8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是

20．若，则n的负倒数为

21．甲、乙两同学做“投球进筐”的游戏．商定:每人玩5局，每局在指定线外将一个皮球投往筐中，一次未进可再投第二次，以此类推，但最多只能投6次，当投进后，该局结束，并记下投球次数；当6次都未投进时，该局也结束，并记为“×”．两人5局投球情况如下

（1）为计算得分，双方约定：记“×”的该局得0分，其他局得分的计算方法要满足两个条件：①投球次数越多，得分越低；②得分为正数．请你按约定的要求，用公式或表格的方式或表格的方式，写出一个将其他局的投球次数n换算成得分M的具体方案．

（2）请根据上述约定和你写出的方案，计算甲、乙两人的每局得分，并从平均分的角度来判断谁投的更好．

参考答案

1.3有理数的加减法

1．A．      2．C．      3．C      4．A       5．A        6．A．

7．－5， .           8．1.3;174.6;347 ;.

9．0；－29.15；61；－3；2.3；－5；－2；－3．

10．0.5－0.3＋0.42－0.15＋0.7－0.15＋0.75－0.2＋0.55＋0.48＝2.6，没有爬出．

11．A．       12．y＜－x＜x＜－y．

13．±6.      14．前进39m；340L．

15．，．         16．（1）±1，±5；（2）0；（3）12

17．－9，－3，1，7.

18．＝，＝，＜，＜，和的绝对值小于等于绝对值的和．

19．520.提示：每操作一次其和增加一个（8－3）．

20．－0.9.

21．有许多方案，这里给出两种．解法一：（1）其他局投球次数n换成该局得分M的公式为：M＝7－n．

（2）

甲的平均分＝（分）

乙的平均分＝（分）

故以此方案来判断；乙投得更好，解法二：（1）其他局投球次数n换成该局得分M的公式为

（2）

甲的平均分＝（分）

乙的平均分＝（分）

故以此方案来判断：甲投得更好．