必修 第一册2.2 基本不等式当堂检测题
展开基本不等式
[A级 基础巩固]
1.y=3x2+的最小值是( )
A.3-3 B.3
C.6 D.6-3
解析:选D y=3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时等号成立,故选D.
2.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( )
A. B.
C. D.
解析:选B 由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤×=,当且仅当3x=3-3x,即x=时取等号.
3.已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab的最大值为( )
A.1 B.
C. D.
解析:选C 已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab≤=,当且仅当a=b=时等号成立.故选C.
4.(多选)下列不等式一定成立的是( )
A.x2+>x(x>0) B.x+≥2(x>0)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)
解析:选BC 对于A,当x=时,x2+=x,
所以A不一定成立;
对于B,当x>0时,不等式成立,所以B一定成立;
对于C,不等式显然恒成立,所以C一定成立;
对于D,∵x2+1≥1,∴0<≤1,
所以D不成立.故选B、C.
5.若a,b都是正数,则的最小值为( )
A.5 B.7
C.9 D.13
解析:选C 因为a,b都是正数,所以=5++≥5+2 =9(当且仅当b=2a时等号成立).故选C.
6.当x>1时,则2x+的最小值为________.
解析:2x+=2+2,
∵x>1,∴x-1>0,
∴2x+≥2×2+2=10,
当且仅当x-1=,
即x=3时,取等号.
答案:10
7.若a>0,且a+b=0,则a-+1的最小值为________.
解析:由a+b=0,a>0,得b=-a,-=>0,
所以a-+1=a++1≥3,当且仅当a=1,b=-1时取等号.
答案:3
8.已知x>0,y>0,且满足+=1,则xy的最大值为________,取得最大值时y的值为________.
解析:因为x>0,y>0,且1=+≥2,
所以xy≤3.
当且仅当==,即x=,y=2时取等号.
答案:3 2
9.已知x,y,z为正数且满足x-2y+3z=0,求的最小值.
解:由x-2y+3z=0,得y=.因为x,y,z为正数,所以==·≥·=3,当且仅当x=3z时,等号成立.所以的最小值为3.
10.已知x,y都是正数.
(1)若3x+2y=12,求xy的最大值;
(2)若x+2y=3,求+的最小值.
解:(1)∵3x+2y=12,
∴xy=·3x·2y≤×=6,
当且仅当3x=2y,即x=2,y=3时,等号成立.
∴xy取得最大值为6.
(2)∵x+2y=3,∴1=+,
∴+==+++≥
1+2=1+,
当且仅当=,即x=3-3,y=3-时取等号,
∴+的最小值为1+.
[B级 综合运用]
11.若不等式a2+b2+2>λ(a+b)对任意正数a,b恒成立,则实数λ的取值范围是( )
A.λ< B.λ<1
C.λ<2 D.λ<3
解析:选C 不等式a2+b2+2>λ(a+b)对任意正数a,b恒成立,
∴λ<.
∵≥=+≥2=2,
当且仅当a=b=1时取等号,∴λ<2.
12.(多选)设正实数a,b满足a+b=1,则( )
A.+的最小值为4
B.的最大值为
C.+的最大值为
D.a2+b2的最小值为
解析:选ABCD 对于A,+=(a+b)=++2≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立,故A正确;对于B,0<≤(a+b)=×1=,当且仅当a=b=时等号成立,故B正确;对于C,∵(+)2=a+b+2=2+1≤a+b+1=2,∴+≤,当且仅当a=b=时等号成立,故C正确;对于D,∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1,∴a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,故D正确.故选A、B、C、D.
13.设x>0,则的最小值为________.
解析:由x>0,可得x+1>1.令t=x+1(t>1),则x=t-1,则==t+-1≥2-1=2-1,当且仅当t=,即x=-1时,等号成立.
答案:2-1
14.(1)已知a,b,x,y均为正数,且+=1,求x+y的最小值;
(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
解:(1)x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2,当且仅当即时,等号成立.
(2)法一:由x+2y+xy=30,可得y=(0<x<30).
xy===34-,
注意到x+2+≥2·=16,可得xy≤18,
当且仅当x+2=,即x=6时,等号成立,代入x+2y+xy=30中得y=3,故xy的最大值为18.
法二:∵x>0,y>0,
∴x+2y≥2=2·(当且仅当x=2y时,等号成立),
∴2·+xy≤x+2y+xy=30,
解此不等式得0≤xy≤18,即xy的最大值为18,此时即
[C级 拓展探究]
15.是否存在正实数a和b,同时满足下列条件:①a+b=10;②+=1(x>0,y>0)且x+y的最小值为18,若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.
解:因为+=1,
所以x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2,
又x+y的最小值为18,所以(+)2=18.
由得或
故存在实数a=2,b=8或a=8,b=2满足条件.
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