2021学年2.1 实际问题的函数刻画同步达标检测题

实际问题的函数刻画

[A级　基础巩固]

1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y＝5x＋40 000.若手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本，至少日产手套(　　)

A．2 000双　　　　　　　 B．4 000双

C．6 000双  D．8 000双

解析：选D　由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即至少日产手套8 000双才不亏本．

2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为(　　)

A．30元  B．42元

C．54元  D．越高越好

解析：选B　设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．由题意得y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432.所以当x＝42时，利润最大，故选B.

3．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(　　)

A．人可在7 s内追上汽车

B．人可在10 s内追上汽车

C．人追不上汽车，其间距最少为5 m

D．人追不上汽车，其间距最少为7 m

解析：选D　设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值7，故选D.

4．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距离地面的高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距离地面的高度为(　　)

A．0.5 m  B．0.6 m

C．0.7 m  D．0.8 m

解析：选A　若以距离小明较近的那棵树的树根为原点、以水平线为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的对称轴为x＝1，设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5.当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，∴a＝2，y＝2(x－1)2＋0.5，∴绳子的最低点距地面的高度为0.5 m.

5．甲、乙两人准备在一段长为1 200 m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100 m处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是(　　)

解析：选C　设t s时，甲、乙两人距离起点分别是s1 m和s2 m，则s1＝4t＋100，s2＝6t，

它们到达终点所需时间分别为275 s和200 s，

∴经过200 s，乙先到达终点．

令s1＝s2，则t＝50 s，即经过50 s乙追上甲，此时两人间的距离为0.故选C.

6．某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分比相同，设为x，则求两次降价的百分比列出的方程为________．

解析：因为两次降价的百分比相同且均为x，故列出的方程为100(1－x)2＝81.

答案：100(1－x)2＝81

7．科学家发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(时间：分钟)的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21－x(0≤x≤4，m>0)．如果该物质温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________．

解析：由题意得m·2x＋21－x≥2对一切0≤x≤4恒成立，

则由m·2x＋21－x≥2，得出m≥－，

令t＝2－x，则≤t≤1，且m≥2t－2t2，

构造函数f(t)＝2t－2t2＝－2＋，

所以当t＝时，函数y＝f(t)取得最大值，则m≥.

因此，实数m的取值范围是.

答案：

8．已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖________个．

解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝ek，∴k＝2ln 2，

∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.

答案：2ln 2　1 024

9．为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费用y(元)的大致关系如图①、图②所示．(通话时长不足1 min按1 min计费)

(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；

(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．

解：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1，y2，得k1＝，k2＝.

∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)．

(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.

当x≤96时，y1>y2，即便民卡便宜；

当x≥97时，y1<y2，即如意卡便宜．

10．评估药物作用强度是研发药物的重要环节，已知药物作用强度与药物在血液中的浓度(简称血药浓度)成正比，血药浓度y(单位：ng/mL)随着时间x(单位：h)的变化而变化，以x(0≤x≤12)为自变量，y为函数值的函数称为血药浓度函数，其图象称为血药浓度曲线，某医药研发机构在研发某新药过程中，通过大量药理实验，收集数据经过处理，得到刻画单次服用该新药的血药浓度拟合曲线OABC(如图所示)，曲线OABC连续不断，其中A为曲线的最高点，B(5，150)，该曲线对应的函数解析式为y＝(k∈R，a>0，且a≠1)．

(1)求k，a的值；

(2)血药浓度不小于60 ng/mL的时段称为有效期t(单位：h)．药品的等级与t的关系如下表：

请根据以上信息评估该新药的等级，并说明理由．

解：(1)由B(5，150)在曲线OABC上，可知480·a5－3＋30＝150，解得a＝±，又a>0，故a＝.

∴y＝

所以点A的坐标为(3，510)，即3k＝510，解得k＝170.

(2)该新药对应的药品等级为“良”，理由如下：

由(1)得血药浓度函数为

y＝

故当0≤x≤3时，令y≥60，即170x≥60，解得≤x≤3，

当3<x≤12时，令y≥60，即480·＋30≥60，解得3<x≤7.

综上，可得有效期为7－＝6∈(6.5，7)，故该新药对应的药品等级为“良”．

[B级　综合运用]

11．一个高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图，其底部有一个小洞，满缸水从洞口流出，若鱼缸口高出水面的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象为(　　)

解析：选A　因为水量V不断减少，故B、D不正确；又由鱼缸的形状可知：在流出相同高度的水量时，开始和最后流出的水的体积小，而中间的大，即开始和最后的水的体积随高度h的变化较缓慢，故选A.

12．在工作状态下，饮水机会通过自动对水加热使饮水机中水的温度保持在一定范围内．如图表示在饮水机的水温达到最高后，饮水机处于工作状态中的水的温度的变化情况：根据此图，设计一个问题，并解答所设计的问题．

解：设计问题就是从图象中获取有关信息．例如，提出下列问题：

(1)饮水机中水的最高温度是多少？最低温度是多少？

(2)水温上升到最高温度后，再经过10分钟饮水机中水的温度多高？35分钟时水的温度多高？

(3)哪段时间水的温度在不断下降？哪段时间水的温度在持续上升？

(1)水的最高温度为96 ℃，最低温度约为91 ℃.

(2)10分钟后水的温度约为93 ℃，35分钟时水的温度约为95 ℃.

(3)约从开始到27分钟时水的温度在不断下降，从27分钟到32分钟时水的温度在不断上升，后面又一个相同的下降与上升的过程．