数学七年级上册1.2.4 绝对值学案

七年数学专项复习系列之

绝对值专项训练及解析

（一）知识整理

绝对值定义：

在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

绝对值用“||”来表示。

在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。

绝对值的意义：

1、几何的意义：

在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。

2、代数的意义：

非负数（正数和0,）

非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。

实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。

互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。

若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.

绝对值的有关性质：

①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；

②绝对值等于0的数只有一个，就是0；

③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；

④互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的化简：

绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。

①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：

│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）

②整数就找到这两个数的相同因数；

③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；

④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。

（二）专项训练

1、若|a|=4，|b|=3，且|a+b|=a+b，则b-a的值为（　　）

A．-1 B．7 C．-1或-7 D．1或7

【答案】

∵|a|=4，|b|=3，

∴a=4或-4，b=3或-3，

∵|a+b|=a+b，∴a+b≥0，

∴a=4，b=3；a=4，b=-3，

则b-a=-1或-7．

故选C

2、如图，图中数轴的单位长度为1，如果点B、C所表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是______．

【答案】如图，BC的中点即数轴的原点O．

根据数轴可以得到点A表示的数是-5．

故答案为：-5．

3、若|a|=4，|b|=3，且|a+b|=a+b，则b-a的值为（　　）

A．-1 B．7 C．-1或-7 D．1或7

【答案】

∵|a|=4，|b|=3，

∴a=4或-4，b=3或-3，

∵|a+b|=a+b，∴a+b≥0，

∴a=4，b=3；a=4，b=-3，

则b-a=-1或-7．

故选C

4、有理数a，b在数轴上的位置如上图所示，且|a|=3，则b=______．

【答案】由于|a|=3，且a在原点的右侧，则a=3．

由图可得，b与a之间有5个单位长度，且在a的左侧，则b=3-5=-2．

5、下列说法中正确的是（　　）

A．最小的整数是0

B．互为相反数的两个数的绝对值相等

C．有理数分为正数和负数

D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等

【答案】

A、∵-1是整数，但-1＜0，故A错误；

B、∵|a|=|-a|，∴互为相反数的两个数的绝对值相等，故B正确；

C、∵0也是有理数，故C错误；

D、∵|-1|=|1|，但-1≠1，故D错误。

6、若|3a+5|=|2a+10|，求a的值．

【答案】

∵|3a+5|=|2a+10|，

∴3a+5=2a+10或3a+5=-（2a+10），

解得a=5或a=-3．

7、已知|a|=|-3|，则a等于（　　）

A．3 B．-3 C．0 D．±3

【答案】因为|a|=|-3|=3，

所以a=±3．

故选D．

8、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数一定是（　　）

A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数

【答案】

∵一个数的绝对值等于这个数的相反数，

∴这个数为0或负数．

故选C．

9、写出绝对值小于5的所有整数，并在数轴上表示出来．

【答案】绝对值小于5的所有整数是：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

在数轴上表示为：

10、绝对值不小于2而小于4的整数是______．

【答案】绝对值不小于2而小于4的整数是：-2、-3、2、3．

故【答案】为：-2、-3、2、3．

11、若|a|=a，则a是（　　）

A．负数 B．正数 C．非负 D．非正数

【答案】

当|a|=a时，a≥0，即a是非负数；

故选C．

12、若|y+2|=0，则y-2的值为______．

【答案】

∵|y+2|=0

∴y+2=0，

∴y=-2，

∴y-2=-2-2=-4．

故答案为-4．

13、化简：|π-4|+|3-π|=______．

【答案】

∵π≈3.414，

∴π-4＜0，3-π＜0，

∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1．

故答案为1．

14、|x|=4，|y|=6，且xy＞0，则|x-y|=______．

【答案】

∵|x|=4，|y|=6，且xy＞0，

∴x=4，y=6；x=-4，y=-6，

当x=4，y=6时，|x-y|=|4-6|=2；当x=-4，y=-6时，|x-y|=|-4+6|=2，

则|x-y|=2．

故答案为：2．

15、实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简|a|+|a-b|=______．

【答案】

根据数轴图形可知：a＜0，b＞0，

∴|a|=-a，|a-b|=b-a；

∴|a|+|a-b|=-a+b-a=b-2a．

16、如图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数最接近的整数是（　　）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】由A、F两点所表示的数可知，AF=11+5=16，

∵AB=BC=CD=DE=EF，

∴EF=16÷5=3.2，

∴E点表示的数为：11-3.2=7.8；点C表示的数为：7.8--3.2-3.2=1.4；

∴与点C所表示的数最接近的整数是1．

故选：C．

17、a，b为有理数，a，b在数轴上的位置如图，化简：|a+b|-|a-b|=______．

【答案】根据图形可知：b＜0，a＞0

∴|a+b|-|a-b|=-a-b-a+b=-2a

因此答案为：-2a．

18、已知|m+n|=-m-n、|m|=5、|n|=2，则m+n=______．

【答案】

∵|m|=5，|n|=2，

∴m=±5，n=±2．

∵|m+n|=-m-n，

∴m≤-n，

∴m=-5，n=±2．

∴m+n=-7或-3．

19、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：

若m=|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|，则1000m=______．

【答案】由图示可知，b＜a＜0，1＞c＞0，

∴|a+b|=-（a+b），|b-1|=1-b，|a-c|=c-a，|1-c|=1-c，

∴1000m=1000×（-a-b-1+b-c+a-1+c）

=1000×（-2）

=-2000．

故答案为：-2000．

20、点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；

（2）数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为______；

（3）若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．

【答案】

（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是|5-2|=3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；

（2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x-（-2）|=|x+2|或|-2-x|=|x+2|；

（3）根据绝对值的定义有：|x-1|+|x+3|可表示为点x到1与-3两点距离之和，根据几何意义分析可知：

当x在-3与1之间时，|x-1|+|x+3|有最小值4．