初中数学湘教版七年级上册1.2.1数轴教学设计

数轴

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。

第一步：画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点O，叫做原点，用这点表示数0；（相当于温度计上的0℃。）

第二步：规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。相反的方向就是负方向；（相当于温度计0℃以上为正，0℃以下为负。）

第三步：适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在0的右面取一点表示1，0与1之间的长就是单位长度。（相当于温度计上1℃占1小格的长度。）

在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示–1，–2，–3，…。

例1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？

分析：原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。

解答：都不正确，（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4）单位长度不一致。

例2：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：

     （1）2，-1，0，，+3.5

      (2)―5，0，+5，15，20；

  (3)―1500，―500，0，500，1000。

例3：借助数轴回答下列问题

    (1)有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来；

(2)有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它标出来。

通过数轴，我们可以得到：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

例4：比较―3，0，2的大小。

分析一：先在数轴上分别找到表示―3、0、2的点，由“右边的数总比左边的数大”得到―3＜0＜2；

分析二：直接由“正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数”的规律得出―3＜0＜2。

例5：把下列各组数用“＜”号连接起来．

(1) ―10， 2，―14；  (2)  ―100，0，0.01；   (3) ，―4.75，3.75。

说明：按题意用“＜”号连接，解题中不能用“＞”号连接，否则与题意不符，更不能把“＜”与“＞”混用，如第（1）小题不能写成“―10＜2＞―14”或者写成“2＞―14＜―10”的形式。

例6： 将有理数3，0，，―4按从小到大顺序排列，用“＜”号连接起来。

解：正数＜3，由正、负数大小比较法则，得―4＜0＜＜3。

例7：比较下列各数的大小： ―1.3，0.3，―3，―5

解：将这些数分别在数轴上表示出来：

所以 ―5＜―3＜―1.3＜0.3

比较有理数大小法则是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置，然后用“＜”号连接，这种方法比较直观，但画图表示数较麻烦。另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，则比较更方便些。

相反数

1．发现、总结相反数的定义：

象这样只有符号不同的两个数称互为相反数 (opposite number)。

理解：

代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。

几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0的相反数是0。

说明：“互为相反数”的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“―6是相反数”。“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。这是因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等于它本身的唯一的数。

2．例题；

例1：判断下列说法是否正确：

①―5是5的相反数；   (   )            ②5是―5的相反数；       (   ) 

③5与―5互为相反数；  (   )            ④―5是相反数；        (   ) 

⑤正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。   (   )  

例2：（1）分别写出5、―7、―3、+11.2的相反数；

（2）指出―2.4是什么数的相反数。

我们通常把在一个数前面添上“―”号，表示这个数的相反数。例如―(―4)=4, ―(+5.5)=―5.5，同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身。例如 +(―4)=―4，+(+12)=12。

    例3：化简下列各数：

(1)―(+10)； (2)+(―0.15)； (3)+(+3)； (4)―(―20)。

小结：

1．只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；

2．相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不能被称为相反数，相反数是成对出现的；

3．正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“―”的功能是对一个数的符号予以改变。

绝对值

1．发现、总结绝对值的定义：

我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值( absolute value )。记作|a|。

例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。

2．试一试：你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道：

(1)|+2|=    ，=    ，|+8.2|=   ； (2)|0|=    ；(3)|―3|=    ，|―0.2|=    ，|―8.2|=    。

概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数a的绝对值的一般规律： 

1. 一个正数的绝对值是它本身；

2.  0的绝对值是0；

3. 一个负数的绝对值是它的相反数。

即：①若a＞0，则|a|=a；            ②若a＜0，则|a|=–a；

③若a=0，则|a|=0；                 或写成：。

3．绝对值的非负性：

由绝对值的定义可知：不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0。

4．例题；

例1：求下列各数的绝对值：，，―4.75，10.5。

    解：=；=；|―4.75|=4.75；|10.5|=10.5。

例2： 化简：(1)； (2)。解：(1) ；    (2) 。

 例3：计算：（1）|0.32|+|0.3|；  （2）|–4.2|–|4.2|；  （3）|–|–（–）。

 分析：求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数，然后由绝对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。

解答：（1）0.62；           （2）0；            （3）。

小结：

1．对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看，一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

2．求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。