第20讲《一元二次方程》全章复习与巩固(提高) 知识点练习

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.了解一元二次方程及有关概念；

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；

3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、一元二次方程的有关概念

1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　 
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
要点诠释：

判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.

对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．

要点二、一元二次方程的解法

1．基本思想

    一元二次方程一元一次方程

2．基本解法

    直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

要点诠释：

解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．

要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1.一元二次方程根的判别式 

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

要点诠释：

1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
   2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

要点四、列一元二次方程解应用题

1.列方程解实际问题的三个重要环节：
　　一是整体地、系统地审题；
　　二是把握问题中的等量关系；
　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
　　　答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
 

要点诠释：

　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.

【典型例题】

类型一、一元二次方程的有关概念

1．已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.

【答案与解析】

依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，

解得m＝±1，

又∵m－1≠0，∴m≠1，

故m＝－1.

【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.

特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.

举一反三：

【变式】若方程是关于的一元二次方程，求m的值．

【答案】 根据题意得  解得

所以当方程是关于的一元二次方程时，．

类型二、一元二次方程的解法

2．解下列一元二次方程．

    (1)； (2)；  (3)．

【答案与解析】

    (1)原方程可化为：，

       即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，

       ∴  (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，

       即(7x-16)(-3x+4)＝0，

       ∴  7x-16＝0或-3x+4＝0，∴  ，．

    (2)，

       ，

       ∴  (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，

       即(x-3)(4x-18)＝0，∴  x-3＝0或4x-18＝0，

∴  ，．

(3)，

∴  ．即，

       ∴  ．

【总结升华】 (1)方程左边可变形为，因此可用平方差公式分解因式；

(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，

可移项后提取公因式(x-3)后解题；

(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．

举一反三：

【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x；      (2)x2-3x＝(2-x)(x-3)．

【答案】 

(1)移项，得3x+15+(2x2+10x)＝0，∴  3(x+5)+2x(x+5)＝0，

         即(x+5)(3+2x)＝0，∴  x+5＝0或3+2x＝0，

∴  ，．

      (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，

         ∴  (x-3)(2x-2)＝0，∴  x-3＝0或2x-2＝0，

∴ ，．

类型三、一元二次方程根的判别式的应用

3．关于x的方程有实数根．则a满足（   ）

A．a≥1    B．a＞1且a≠5    C．a≥1且a≠5    D．a≠5

【答案】A；

【解析】①当，即时，有，，有实数根；

②当时，由△≥0得，解得且．

综上所述，使关于x的方程有实数根的a的取值范围是．

答案：A

【总结升华】注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．

4． 为何值时，关于x的二次方程

（1）满足              时,方程有两个不等的实数根；

（2）满足              时,方程有两个相等的实数根； 

（3）满足              时,方程无实数根.

【答案】（1）；（2）；（3）.      

【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.

【总结升华】根据判别式及k≠0求解.

类型四、一元二次方程的根与系数的关系

5．（2020•凉山州）已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣，x1•x2=﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．

【答案】D．

【解析】

解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，

∴x1+x2=﹣=﹣，x1•x2==﹣2，

∴x1﹣x1x2+x2=﹣﹣（﹣2）=．

故选D．

【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣，x1•x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．

举一反三：

【变式】已知关于x的方程有两个不相等的实数根、．

      (1)求k的取值范围； 

(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，

请说明理由．
【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝，

所以．由k-1≠0，得k≠1.

当且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；

    (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则

，解得．

当时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．

所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．

类型五、一元二次方程的应用
6．（2020•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？

【答案与解析】

解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：

10（1+2x）2﹣15（1+x）2=10，

解得 x1=60%，x2=﹣1（舍去）．

2x=120%．

答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．

【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型．

举一反三：

【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.

求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；

(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.

【答案】（1）1000m2；（2）20%.