2021学年第七章 随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式同步训练题

7.1.2 全概率公式 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：

（1）一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.

（2）全概率公式的理解

全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和 .

“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和.

知识点2：贝叶斯公式

（1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，，

则对任意的事件,，有，.

二、重点题型分类研究

题型1: 全概率公式的应用

1．（2021·全国·高二单元测试）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为1:2，货车与客车中途停车修理的概率分别为0.002，0.001.求该公路上行驶的汽车停车修理的概率.

【答案】

【详解】

解：设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，

则根据题意得，，

所以由全概率公式得：.

即该公路上行驶的汽车停车修理的概率为

2．（2021·全国·高二课时练习）盒中有4个红球、5个黑球．随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上3个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，求第二次取出的是黑球的概率．

【答案】

【详解】

设第一次取出的球为黑球为事件A，第一次取出的球为红球为事件B，第二次取出的球是黑球为事件C，则，，，

由全概率公式可得：

3．（2021·全国·高二课时练习）某工厂有4个车间生产同一种计算机配件，4个车间的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%．已知这4个车间的次品率依次为0.04，0.03，0.02，0.01，现在从该厂生产的这种产品中任取1件，恰好抽到次品的概率是多少？

【答案】0.0215

【详解】

4个车间依次记为第号车间，记事件为从号车间取得产品，事件为取得1件产品为次品．则

0.0215．

4．（2021·全国·高二课时练习）某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人．一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2．求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率．

【答案】0.645

【详解】

设事件表示“射手能通过选拔进入比赛”，事件表示“射手是级射手”．

显然，，，，构成一完备事件组，

且，，，；

，，，．

由全概率公式得，

．

5．（2021·全国·高二课时练习）现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.张君从这道题中随机选择题，求他做对该题的概率.

【答案】

【详解】

记事件张君选择的是有思路的题，记事件答对该题，

则，，，，

由全概率公式可得.

6．（2021·全国·高二课时练习） 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．

（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

【答案】（1）；（2）．

试题解析：（1）从甲箱中任取2个产品的事件数为=28，这2个产品都是次品的事件数为

所以这2个产品都是次品的概率为．

（2）设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．

所以

即取出的这个产品是正品的概率．

题型2：贝叶斯公式的应用

1．（2021·全国·高二专题练习）假定患有疾病中的某一个的人可能出现症状中一个或多个，其中：

食欲不振；胸痛；

呼吸急促；发热．

现从20000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数据：

试问当一个具有中症状的病人前来要求诊断时，在没有别的可依据的诊断手段情况下，推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？

【答案】推测病人患有疾病d1较为合适

【详解】

以A表示事件“患者出现S中的某些症状”，Di表示事件“患者患有疾病di”(i=1，2，3)，由于该问题数据很多，用事件的频率近似作为概率，由统计数据可知，

P==0.3875，P==0.2625，

P==0.35，P=≈0.9677，

P==0.8，P==0.5，

所以P=P+P+P

=0.3875×0.9677+0.2625×0.8+0.35×0.5≈0.76．

由贝叶斯公式可得，

P==≈0.4934，

P==≈0.2763，

P==≈0.2303．

从而推测病人患有疾病d1较为合适．

2．（2021·全国·高二课时练习）设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率.

【答案】

【详解】

设表示“被诊断为肺结核”，表示“患有肺结核”.

由题意得，，

.

由贝叶斯公式知，

.

3．（2021·江苏·高二课时练习）在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．

（1）分别求接收的信号为0和1的概率；

（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．

【答案】

（1）0.475，0.525（2）

（1）

设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得

，，，

，．

；

．

（2）

．

4．（2021·全国·高二课时练习）12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取的1件为次品的概率．

【答案】

【详解】

解：令事件“先取的1件为次品”，则A，为完备事件组，，，令事件“后取的2件皆为正品”，则，．

由贝叶斯公式得．

5．（2021·全国·高二课时练习）某人下午5：00下班，他所积累的资料如表所示.

某日他抛一枚硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率.

【答案】

【详解】

解：以事件表示“乘地铁回家”，则事件表示“乘汽车回家”.

因为到家时间为5：47，属于区间5：45至5：49，所以事件以表示“到家时间在5：45至5：49之间”，则所求概率为.

又，，因为他是由掷硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，所以.

由贝叶斯公式得.

所以他是乘地铁回家的概率为.

题型3：全概率公式和贝叶斯公式的综合应用

1．（2021·全国·高二专题练习）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.

（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？

【答案】（1）0.0125；（2）答案见解析.

【详解】

设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．

则，，是样本空间的一个划分，且，，，

，，.

（1）由全概率公式得.

（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：

由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：

由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：

2．（2021·全国·高二课时练习）计算机中心有三台打字机，，，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用，，打字的概率分别为多少.

【答案】0.24；0.6；0.16

【详解】

设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件，

“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，

“该打字员用打字”为事件，

则根据全概率公式有

，

根据贝叶斯公式，可得该打字员使用，，打字的概率分别为：

，

，

.

3．（2021·全国·高二课时练习）在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0．现假设发送信号为0和1的概率均为；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．求已知收到信号0时，发出的信号是0（即没有错误接收）的概率．

【答案】0.875

【详解】

解：设事件“发送信号为0”，事件“发送信号为1”，事件“收到信号为0”，事件“收到信号为1”．

因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号0，因此导致事件发生的原因有事件与，且它们互不相容，故与构成一完备事件组．

由题意有，，，

故．

由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为．