2021学年7.1 条件概率与全概率公式精练

7.1.1 条件概率 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：条件概率

（1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．

①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.

②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的.

③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率.

④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率.

（2）特别说明：

①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替；

②在条件概率的表示中，“1”之后的部分表示条件；

③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率；

④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，.

知识点2：乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．

知识点3：条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则

①；

②如果和是两个互斥事件，则；

③设和互为对立事件，则．

④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：.

知识点4：事件的相互独立性

（1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.

（2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, .

（3）易混淆“相互独立”和“事件互斥”

两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.

二、重点题型分类研究

题型1: 条件概率的求法

1．（2021·全国·高二课时练习）已知某产品的品质是由，两项指标决定的，现有100件这样的产品，其中指标达到优秀的有80件，B指标达到优秀的有75件，，两项指标都达到优秀的有70件．从这批产品中任取一件，当已知所抽取的产品指标优秀时，求指标也优秀的概率．

【答案】

【详解】

记事件为“指标优秀”，事件为“指标优秀”，

则，，，

所以.

即当已知所抽取的产品A指标优秀时，B指标也优秀的概率为.

2．（2021·江西·横峰中学高二期中（理））甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：

甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；

乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．

（1）用茎叶图表示两小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更稳定；

（2）现从这20名学生中随机抽取1人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件，“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分记为事件，求，．

【答案】（1）茎叶图见解析，甲组成绩更稳定；（2），.

【详解】

（1）甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如下：

由茎叶图可以看出甲组成绩较集中，即甲组成绩更稳定．

（2）从这20名学生中随机抽取1人，样本点总数为20，事件B包含的样本点有9个，

故，

事件AB包含的样本点有5个，故，

所以．

3．（2021·全国·高二课时练习）一个口袋内装有个白球和个黑球，那么：

（1）先摸出个白球不放回，再摸出个白球的概率是多少？

（2）先摸出个白球后放回，再摸出个白球的概率是多少？

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）设“先摸出个白球不放回”为事件，“再摸出个白球”为事件，则“先后两次摸出白球”为事件，“先摸一球不放回，再摸一球”共有种结果，

，，.

（2）设“先摸出个白球放回”为事件，“再摸出个白球”为事件，则“两次都摸出白球”为事件，“先摸一球放回，再摸一球”共有种结果，

，，.

4．（2021·全国·高二课时练习）在100件产品中，有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取1件产品.试求：

（1）第一次取到不合格品的概率；

（2）在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.

【答案】（1）0.05；（2）.

【详解】

设第一次取到不合格品为事件A，第二次取到不合格品为事件B，则有：

（1）.

（2）方法一：第一次取到一件不合格品，还剩下99件产品，其中有4件不合格品，95件合格品，于是第二次又取到不合格品的概率为，由于这是一个条件概率，所以=.

方法二：根据条件概率的定义，先求出事件A，B同时发生的概率=，

所以=.

题型2：乘法公式的应用

1．（2022·全国·高二）已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（    ）

A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285

【答案】A

【详解】

记A为“甲厂产品”，B为“合格产品”，则，，

所以．

故选：A．

2．（2021·全国·高二课前预习）某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，

所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.

3．（2021·全国·高二课时练习）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为，，

所以.

故选：D.

4．（2021·山东胶州·高二期中）某机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞机准点的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

记事件A=“飞机准点”，记事件B=“机场降雨”

根据题意，，在降雨的情况下飞机准点的概率为：

根据条件概率计算公式，

所以某时降雨且飞机准点的概率为，

选项ABC错误，选项D正确

故选：D.

5．（2021·新疆昌吉·高二期末（理））甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（    ）

A．50% B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：记明天下雨为事件，后天下雨为事件，依题意可得，，所以

故选：C

题型3：条件概率的性质及应用

1．（2021·全国·高二课时练习）现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率．

【答案】

【详解】

设事件为“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”，事件为“取出的两瓶中另一瓶是红色”，事件为“取出的两瓶中另一瓶是黑色”，事件为“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥．

又，，，

故．

故取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是红色或黑色的概率为．