高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数导学案

4．1　实数指数幂和幂函数

4．1.1　有理数指数幂

公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．

[问题]　若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎样表示？

知识点一　根式

1．n次方根

2．根式

(1)定义：式子叫作根式(n∈N，n≥2)，其中n叫作根指数，a叫作被开方数；

(2)性质：(n>1，且n∈N＋)

①()n＝；

②＝

注意与()n的区别

(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝

(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.　　　　

正数a的n次方根一定有两个吗？

提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1) ＝3－π.(　　)

(2)81的4次方根是±3.(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．(多选)若xn＝a(x≠0)，则下列说法中正确的有(　　)

A．当n为奇数时，x的n次方根为a

B．当n为奇数时，a的n次方根为x

C．当n为偶数时，x的n次方根为±a

D．当n为偶数时，a的n次方根为±x

答案：BD

3．若有意义，则x的取值范围是________；若有意义，则x的取值范围是________．

答案：　R

知识点二　分数指数幂

1．分数指数幂的意义

2．指数幂的运算性质

(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；

(2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；

(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．

1．为什么分数指数幂的底数规定a>0?

提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义；若n为奇数，则a，a－有意义．

②当a＝0时，a0无意义．

2．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？

提示：①ar÷as＝ar－s；②＝.

判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)＝x(x>0)．(　　)

(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　)

(3)0的任何指数幂都等于0.(　　)

(4)化简式子[(－)2]－的结果是.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

[例1]　(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________；

(2)已知x7＝6，则x＝________．

[解析]　(1)∵(±4)2＝16，

∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.

(2)∵x7＝6，∴x＝.

[答案]　(1)±4　　(2)

判断关于n次方根的结论应关注两点

(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；

(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　　　　

[跟踪训练]

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．16的4次方根是2

B.的运算结果是±2

C．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义

D．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义

解析：选CD　16的4次方根应是±2；＝2，所以正确的应为C、D.

2．已知m10＝2，则m等于(　　)

A.　　　　　　　　　 B．－

C.  D．±

解析：选D　∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.

　　[例2]　(链接教科书第94页例1)化简与求值：

(1) ；

(2)

(3) ；

(4) ＋.

[解]　(1) ＝－5.

(2) ＝＝＝3.

(3)∵a≤，∴1－2a≥0，

∴＝＝＝.

(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.

当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；

当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．

∴ ＋＝

根式化简的思想和注意点

(1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的；

(2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　　　

[跟踪训练]

计算 ＋4＝________．

解析：原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29.

答案：29

[例3]　(链接教科书第95页例3)用根式或分数指数幂表示下列各式：a，a(a>0)，，(a>0), (a>0)．

[解]　a＝；a(a>0)＝；＝a＝a2；

(a>0)＝＝a； (a>0)＝ ＝

 ＝a.

根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

[跟踪训练]

1．(多选)下列结论中正确的有(　　)

A．(－2)＝(－2)

B．[(－2)×(－3)]＝(－2)(－3)

C．当a>0时，(ar)s＝(as)r

D.＝()

解析：选CD　对于A选项，(－2)>0，而(－2)无意义，错误；对于B选项，左侧＝，右侧无意义，错误．C、D均正确．

2．用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：

(1)；(2)a3·；(3) .

解：(1)＝＝a.

(2)a3·＝a3·a＝a＝a.

(3) ＝＝b·＝b·(－a－2)＝－ba.

[例4]　(链接教科书第95页例4)计算下列各式：

(1)＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0；

(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)．

[解]　(1)原式＝(－1)×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.

(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.

指数幂运算的解题通法

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；

(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；

(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．　　　　

[跟踪训练]

计算下列各式(式子中字母都是正数)：

(1)0.027＋－；

(2)÷.

解：(1)0.027＋－＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.

(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.

1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　)

A．x＞0，y＞0  B．x＞0，y＜0

C．x≥0，y≥0  D．x＜0，y＜0

解析：选B　∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.

2．(多选)下列运算结果中，一定正确的是(　　)

A．a3·a4＝a7  B．(－a2)3＝a6

C.＝a  D．＝－π

解析：选AD　a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；当a＝1时，(－12)3＝－1，显然不成立，故B不正确；＝|a|，故C不正确； ＝－π，故D正确．故选A、D.

3．若2<a<3，则 ＋ 的化简结果是(　　)

A．5－2a  B．2a－5

C．1  D．－1

解析：选C　原式＝|2－a|＋|3－a|，∵2<a<3，∴原式＝a－2＋3－a＝1.

4．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：

(1)x＝________；(2)x＝________；(3)xy＝________．

答案：(1)　(2)　(3)

5．计算：(0.008 1)－×－10×(0.027)＝________．

解析：原式＝－3×－3＝－.

答案：－