2020-2021学年4.3 对数函数导学案及答案

4．3　对数函数

4．3.1　对数的概念

薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零．经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．

现在，设经过t年后，薇甘菊的侵害面积会增长到原来的5倍．可得S0·1.057t＝5S0，

即1.057t＝5.

[问题]　用什么样的方式表示出t的值呢？

知识点一　对数的概念

1．定义：如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么叫作以a为底，(正)数N的对数．记作b＝logaN(这里a叫作对数的底数，叫作对数的真数)．

2．对数恒等式

(1)a＝N(N>0，a>0且a≠1)；

(2)b＝log(b∈R，a>0且a≠1)．

对数与指数的关系

指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：

(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；

(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．　　　　

1．式子logmN中，底数m的范围是什么？

提示：m>0且m≠1.

2．对数式logaN是不是loga与N的乘积？

提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)对数式log32与log23的意义一样．(　　)

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)

(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为________．

答案：logaM＝2

3．把对数式loga49＝2写成指数式为________．

答案：a2＝49

知识点二　对数的基本性质

1．负数和0没有对数；

2．loga1＝(a>0，且a≠1)(1的对数为0)；

3．logaa＝(a>0，且a≠1)(底的对数为1)．

1．log3＝0，则x＝________．

答案：3

2．若6log6(5x＋1)＝36.则x＝________．

解析：由6 log6(5x＋1)＝36得5x＋1＝36，解得x＝7.

答案：7

[例1]　(链接教科书第112页例1)(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16，2－5＝；

(2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3，log16＝－4.

[解]　(1)log216＝4，log2＝－5.

(2)53＝125，＝16.

指数式与对数式互化的方法

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　　　

[跟踪训练]

　下列指数式与对数式的互化不正确的一组是(　　)

A．100＝1与log101＝0

B．27＝与log27＝－3

C．log39＝2与32＝9

D．log55＝1与51＝5

解析：选B　100＝1即log101＝0，A正确；27＝即log27＝－，B不正确；log39＝2即32＝9，C正确；log55＝1即51＝5，D正确．故选B.

[例2]　(链接教科书第113页练习3题)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值：

(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；

(3)log5x2＝2；(4)2＝4.

[解]　(1)由log2x＝－，得2＝x，∴x＝.

(2)由logx25＝2，得x2＝25.

∵x>0，且x≠1，∴x＝5.

(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.

∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.

(4)由2＝4＝22，得log3x＝2，∴x＝32，即x＝9.

利用指数式与对数式的互化求变量值的策略

(1)已知底数与指数，用指数式求幂；

(2)已知指数与幂，用指数式求底数；

(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．　　　　

[跟踪训练]

1．若logx4＝2，则x的值为(　　)

A．±2　　　　　　　　 B．2

C．－2  D．

解析：选B　∵logx4＝2，∴x2＝4，又x>0，∴x＝2.故选B.

2．若log5x＝2，logy8＝3，则x＋y＝________．

解析：∵log5x＝2，∴x＝52＝25.

∵logy8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27.

答案：27

[例3]　(链接教科书第113页例2)求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；

(2)2＝2；

(3)log3(log4(log5x))＝0.

[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，

∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.

(2)∵2＝2，∴x＋1＝2，∴x＝1.

(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625.

[母题探究]

1．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？

解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.

2．(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3＝1”，又如何求解x呢？

解：由3＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.

利用对数性质求解的2类问题的解法

(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值；

(2)已知多重对数式的值求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　　　　

[跟踪训练]

　已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为(　　)

A．1  B．－1

C．5  D．

解析：选A　由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故＝1.

1．若7x＝8，则x＝(　　)

A.  B．log87

C．log78  D．log7x

解析：选C　由7x＝8⇔x＝log78.故选C.

2．若loga＝c(a>0，且a≠1，b>0)，则有(　　)

A．b＝a7c  B．b7＝ac

C．b＝7ac  D．b＝c7a

解析：选A　∵loga＝c，∴ac＝.∴(ac)7＝()7.

∴a7c＝b.

3．在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)

A．a>5或a<2  B．2<a<5

C．2<a<3或3<a<5  D．3<a<4

解析：选C　由题意得解得2<a<3或3<a<5.

4．已知6a＝8，则(1)log68＝________；(2)log62＝________；(3)log26＝________．(用a表示各式)

解析：(1)log68＝a.(2)由6a＝8得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.(3)由6＝2得2＝6，所以log26＝.

答案：(1)a　(2)　(3)