第二课时　周期性与奇偶性

课标要求　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.

素养要求　利用y＝sin x，y＝cos x的图象，探索y＝sin x，y＝cos x的周期性、奇偶性，发展学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.

自 主 梳 理

1.周期函数

2.最小正周期

温馨提醒　(1)周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期.

(2)并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，而最小的正数是不存在的，故常数函数没有最小正周期.

3.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R).(×)

提示　周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.

(2)函数f(x)＝sin 2x是奇函数.(√)

(3)函数f(x)＝sin是偶函数.(√)

(4)y＝sin x与y＝cos x既是中心对称图形又是轴对称图形.(√)

2.(多选)下列函数中是周期为2π的偶函数的是(　　)

A.y＝sin x B.y＝cos x

C.y＝sin D.y＝cos

答案　BC

解析　由于y＝cos＝－sin x，所以A，D中的函数都是奇函数；y＝sin＝cos x符合题意，故选BC.

3.函数f(x)＝|sin x|是(　　)

A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

答案　B

解析　f(x)的定义域为R，

且f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，

所以f(x)是偶函数.

4.函数f(x)＝sin(2x)的最小正周期是______.

答案　π

解析　由f(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin(2x)＝f(x)得f(x)的最小正周期为π.

题型一　三角函数的周期

例1 求下列函数的周期：

(1)y＝2sin，x∈R；

(2)y＝1－2cos，x∈R；

(3)y＝|sin x|，x∈R.

解　(1)∵2sin

＝2sin＝2sin，

∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，

函数y＝2sin，x∈R的值才能重复出现，

∴函数y＝2sin，

x∈R的周期是4π.

(2)∵1－2cos＝1－2cos＝1－2cos，

∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos，x∈R的值才能重复出现，

∴函数y＝1－2cos，x∈R的周期是4.

(3)作图如下：

观察图象可知最小正周期为π.

思维升华　求三角函数周期的方法

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.

(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.

(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.

训练1 求下列函数的最小正周期：

(1)y＝sin；

(2)y＝.

解　(1)∵sin＝sin＝sin.

∴自变量x只要并且至少要增加到x＋，函数y＝sin，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝sin，x∈R的周期是.

(2)∵函数y＝cos的最小正周期为π，而函数y＝|cos|的图象是将函数y＝cos的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝.

题型二　三角函数的奇偶性

例2 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝sin；

(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；

(3)f(x)＝.

解　(1)显然x∈R，f(x)＝cos x，

f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，

∴f(x)是偶函数.

(2)由得－1<sin x<1.

解得定义域为

.

∴f(x)的定义域关于原点对称.

又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)

∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x).

∴f(x)为奇函数.

(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，

∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.

∵定义域不关于原点对称，

∴该函数是非奇非偶函数.

思维升华　判断函数奇偶性的两个关键点

(1)看函数的定义域是否关于原点对称；

(2)看f(－x)与f(x)的关系.

对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.

训练2 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；

(2)f(x)＝＋.

解　(1)函数的定义域为R，

又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数.

(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.

题型三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用

例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)

A.y＝cos|2x|   B.y＝|sin x|

C.y＝sin   D.y＝cos

(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)

A.－   B. 

C.－   D.

答案　(1)D　(2)D

解析　(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.

(2)f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.

迁移1 若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？

解　f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－sin＝－.

迁移2 若将例3(2)题条件不变，求f＋f的值.

解　f＝f＝f＝f＝f＝sin＝，

f＝f(674π)＝f(2π)＝0，

所以f＋f＝＋0＝.

思维升华　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.

训练3 设f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝sin x＋x，则1<x<2时，f(x)＝________.

答案　sin(x－2)＋x－2

解析　当1<x<2时，－2<－x<－1，则0<2－x<1，

因为当0<x<1时，f(x)＝sin x＋x，

所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.

因为f(x)是周期为2的奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.

[课堂小结]

1.求函数的最小正周期的常用方法：

(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.

(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.

(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.

2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.

一、基础达标

1.下列函数中，周期为2π的是(　　)

A.y＝sin    B.y＝sin 2x

C.y＝   D.y＝|sin 2x|

答案　C

解析　y＝sin 的周期为T＝＝4π；y＝sin 2x的周期为T＝＝π；y＝的周期为T＝2π；y＝|sin 2x|的周期为T＝.

2.(多选)下列关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法正确的是(　　)

A.对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数

B.存在φ，使f(x)是偶函数

C.存在φ，使f(x)是奇函数

D.对任意的φ，f(x)都不是偶函数

答案　BC

解析　当φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数，故A错误，C正确；当φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数，D错误，B正确，故选BC.

3.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

答案　B

解析　由f(－x)＝f(x)，

则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.

由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2，故选B.

4.定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)

A.1   B.－1 

C.0   D.2

答案　B

解析　f＝f＝f＝－f＝－1.

5.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于(　　)

A.1   B. 

C.0   D.－

答案　B

解析　f＝f＝f＝sin＝.

6.函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________.

答案　

解析　f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝.

7.已知函数f(x)＝－sin，ω≠0，φ∈(－π，π)为奇函数，则φ＝________.

答案　－或

解析　由题意知＋φ＝kπ，k∈Z，

即φ＝－＋kπ，k∈Z.

∵φ∈(－π，π)，

∴当k＝0时，φ＝－；

当k＝1时，φ＝.

8.设函数f(x)＝sin ，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.

答案　

解析　函数f(x)＝sin 的最小正周期T＝＝6.

f(1)＝sin ＝，f(2)＝sin ＝，

f(3)＝sin π＝0，f(4)＝sin ＝－，

f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin 2π＝0，

故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝16[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]

＝16×0＋＋＋0－＝.

9.判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)＝sin；

(2)f(x)＝x·cos x.

解　(1)f(x)的定义域是R，

且f(x)＝sin＝－cosx，

所以f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数.

(2)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数.

10.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式.

解　x∈时，3π－x∈，

∵x∈时，f(x)＝1－sin x，

∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.

又∵f(x)是以π为周期的偶函数，

∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.

二、能力提升

11.函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)

A.10   B.11 

C.12   D.13

答案　D

解析　因为T＝＝≤2，所以k≥4π，

又k∈N*，所以正整数k的最小值为13.

12.若函数f(x)对于定义域内的任意x都有f(m＋x)＝f(m－x)，则函数f(x)关于直线______对称；若f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，则实数a的值为________.

答案　x＝m　－1

解析　根据函数的对称性可知，若f(m＋x)＝f(m－x)，则函数f(x)关于直线x＝m对称.因为f(x)的图象关于x＝－对称，所以f＝f，

即f(x)＝f.

令x＝0，则f(0)＝f，所以a＝－1.

13.已知函数f(x)＝.

(1)求函数f(x)的定义域并判断函数的奇偶性；

(2)求函数f(x)的最小正周期.

解　(1)由cos x＋1≠0，得x≠2kπ＋π，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，

x≠2kπ＋π，k∈Z}，

f(x)＝＝＝

＝＝2－cos x.

因为f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数.

(2)因为f(x)＝2－cos x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，所以 f(x)的最小正周期为2π.

三、创新拓展

14.已知函数y＝5cos(其中x∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k的值为________.

答案　2或3

解析　因为5cos＝，

所以cos＝.

因为函数y＝cos x在每个周期内出现函数值的次数为2次，而区间[a，a＋3]长度为3，为使长度为3的区间内出现函数值的次数不少于4次且不多于8次，必须使区间长度不小于2个周期长度，且不大于4个周期长度，即2×≤3且4×≥3，所以≤k≤.又k∈Z，故k＝2或3.