湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数优质课件ppt

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1.通过具体实例,了解幂函数的概念,体会蕴含的运算规律.(数学运算)2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y= 的图象,理解它们的变化规律.(直观想象)3.能利用幂函数模型解决简单的实际问题.(数学运算)
给出下列5个说法:①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.③如果正方体的棱长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a= ,这里a是S的函数.
⑤如果某人t秒内骑车行进了1米,那么他骑车的平均速度v=t-1米/秒,这里v是t的函数.问题:上述5个说法中,若自变量都用x表示,函数值用y表示,则对应的函数解析式分别是什么?
知识点一:幂函数的定义一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数 y=xα 叫作(α次)幂函数.正整数次幂函数的倒数y= 是负整数次幂函数.一般写成y=x-n,这里n是正整数,x≠0.负整数次幂函数和正整数次幂函数,统称为整数次幂函数.
名师点析 幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数.
微练习在函数y= ,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为　　　　　. 
解析 函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一个函数,所以y=1不是幂函数.
知识点二:幂函数的性质与图象1.幂函数的性质一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0)
名师点析 1.因为幂函数的定义域受α的影响,所以上述性质仅仅是归纳了共有的性质,即当α>0时,归纳了在[0,+∞)上所有幂函数共有的性质,切不要以为此时幂函数在定义域上的值域就是[0,+∞);同理,当α<0时,归纳了在(0,+∞)上所有幂函数共有的性质.2.对于具体幂函数的性质通常借助幂函数图象获取.作幂函数简图通常遵循以下步骤:(1)求定义域;(2)作函数在第一象限内的简图;(3)借助奇偶性作出整个函数图象.
微拓展观察幂函数的图象在第一象限内的特征:
(1)当α>0时,第一象限内的图象是上升的,当α<0时,第一象限内的图象是下降的;(2)当x>1时,α值大,图象在上方;当0微思考(1)幂函数的图象一定过定点吗?提示 因为无论α取何值,y=xα,当x=1时,1α=1,因此幂函数的图象一定过定点(1,1).(2)幂函数在第四象限内有图象吗?提示 因为当x>0时,xα一定大于0,不符合第四象限内点的坐标的特征,故幂函数在第四象限内没有图象.
微练习比较下列各式的大小:
例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,试确定m的值.解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2;当m=-2时,f(x)=x-3.故m=3或-2.
要点笔记幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点,求实数m的取值.
解 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.
例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为(　　)A.c答案 A解析 由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0反思感悟 函数y=xα(α为常数)的图象特点(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象
(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都单调递减.
变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)A.nm>0D.m>n>0
解析 画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n例3比较下列各组中两个数的大小:
反思感悟 1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
例4(2021黑龙江哈尔滨高一期末)函数y=(m2-m-1) 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m为(　　)A.1B.-1C.2D.-1或2
要点笔记1.幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.2.正整数次幂函数的奇偶性与幂指数的奇偶性一致.
变式训练3幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,且f(-x)=f(x),则m=　　　　　. 
解析 ∵幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,∴3m-5<0,即m< ,又m∈N,∴m=0,1.∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,故m=1.
数形结合法求解含幂的不等式
方法点睛已知xm与xn的大小,求x的取值范围时,应借助幂函数y=xm与y=xn的图象,利用数形结合的方法来解决.
∴f(x)=x2,g(x)=x-1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知,(1)当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);(2)当x=1时,f(x)=g(x);(3)当x∈(0,1)时,f(x)1.(2021广东实验中学高一期中)已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于(　　)
答案 D解析 ∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故选D.
2.(2021山东邹城高一期中)下列函数是幂函数且在(0,+∞)上单调递减的是(　　)
3.(多选题)(2021湖南长沙望城期末)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有(　　)A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x≥9,则f(x)≥3
5.比较下列各组中两个值的大小: