高中数学4.3 对数函数第一课时课堂检测

课时跟踪检测(三十)　对数函数的图象与性质

[A级　基础巩固]

1．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log4x　　　　　　　 B．y＝logx

C．y＝logx  D．y＝log2x

解析：选D　设该函数为y＝logax，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.

2．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为(　　)

A．0  B．10

C．1  D．

解析：选C　由已知，得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.

3．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6，3)，则f(2)的值为(　　)

A．－2  B．2

C.  D．－

解析：选B　将点(6，3)代入f(x)＝loga(x＋2)中，

得3＝loga(6＋2)＝loga8，即a3＝8，∴a＝2，

∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.

4．函数y＝的图象大致是(　　)

解析：选D　函数y＝的定义域是{x|x≠0}，且易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A，B，当x＝1时，y＝lg 1＝0，故图象与x轴相交，且其中一个交点为(1，0)，只有D中图象符合．

5．(多选)(2021·烟台高一质量考试)关于函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)，下列说法正确的是(　　)

A．定义域为(－1，4)

B．定义域为(－∞，－1)∪(4，＋∞)

C．值域为[－2，＋∞)

D．递增区间为

解析：选ACD　令－x2＋3x＋4>0，得－1<x<4，

即函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为(－1，4)，A正确，B错误；

∵－x2＋3x＋4＝－＋，

∴－x2＋3x＋4∈，

∴y＝log0.4(－x2＋3x＋4)∈[－2，＋∞)，C正确；

令t＝－x2＋3x＋4，则其在上单调递增，上单调递减，

又y＝log0.4t在(0，＋∞)上单调递减，由复合函数的单调性得y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的递增区间为，D正确；故选A、C、D.

6．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是________．

解析：反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

7．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________(填序号)．

①m＞0，0＜n＜1;  ②m＜0，0＜n＜1；

③m＞0，n＞1;  ④m＜0，n＞1.

解析：由图象知函数为增函数，故n＞1.又当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0.

答案：③

8．已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f(x)＝________，f＝________．

解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f＝loga＝－2，得a＝，所以f(x)＝logx，所以f＝log＝－4.

答案：logx　－4

9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0)．

(1)求a的值；

(2)求函数的定义域．

解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)中，

有0＝loga(－1＋a)，

则－1＋a＝1，所以a＝2.

(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，

所以函数的定义域为{x|x>－2}．

10．已知f(x)＝|log3x|.

(1)画出这个函数的图象；

(2)当0<a<2时f(a)>f(2)，利用函数图象求出a的取值范围．

解：(1)图象如图所示：

(2)令f(a)＝f(2)，即|log3a|＝|log32|，

解得a＝或a＝2.

从图象可知，当0<a<时，满足f(a)>f(2)，

所以a的取值范围是.

[B级　综合运用]

11．函数f(x)＝logax(0<a<1)的图象大致为(　　)

解析：选B　在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(0<a<1)，故选B.

12．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________．

解析：因点在y＝f(x)的图象上，所以点在y＝ax的图象上，则有＝a，又因a>0，所以a2＝2，a＝.

答案：

13．若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是________．

解析：令u＝2－ax，因为a>0，所以u是关于x的减函数，当x∈[0，1]时，umin＝2－a×1＝2－a.因为2－ax>0在x∈[0，1]时恒成立，所以umin>0，即2－a>0，a<2.

在[0，1]上，随着x的增大，u＝2－ax减小，要使函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则y＝logau在其定义域上必须是增函数，故a>1.

综上可知，1<a<2.

答案：(1，2)

14．设函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋a)的定义域为M.

(1)若1∉M，2∈M，求实数a的取值范围；

(2)若M＝R，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意M＝{x|ax2＋2x＋a>0}．

由1∉M，2∈M可得

化简得解得

所以a的取值范围为∅.

(2)由M＝R可得ax2＋2x＋a>0恒成立．

当a＝0时，不等式可化为2x>0，解得x>0，显然不合题意；

当a≠0时，由二次函数的图象可知Δ＝22－4×a×a<0，且a>0，即化简得解得a>1.

所以a的取值范围为(1，＋∞)．

[C级　拓展探究]

15．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：

①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1，1)；

②同学乙发现：函数f(x)是偶函数；

③同学丙发现：对于任意的x∈(－1，1)都有f＝2f(x)；

④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝f；

⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足＞0.

其中所有正确研究成果的序号是__________．

解析：在①中，因为f(x)＝lg ，所以＞0，解得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；在②中，f(x)＝lg ＝－lg ＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1，1)，有f＝lg＝lg ＝lg ，又2f(x)＝2lg ＝lg ，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1，1)，有f(a)＋f(b)＝lg ＋lg＝lg＝lg，又f＝lg ＝lg，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足＞0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)＝lg ＝lg是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，正确研究成果的序号为①③④.

答案：①③④