高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.4 函数与方程练习题

课时跟踪检测(三十二)　方程的根与函数的零点

[A级　基础巩固]

1．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(　　)

A．y＝|x|　　　　　　 B．y＝2x2－3

C．y＝x3－x  D．y＝

解析：选C　对于选项A，y＝|x|是偶函数，与题意不符；对于选项B，y＝2x2－3是偶函数，与题意不符；对于选项C，y＝x3－x是奇函数，且存在零点x＝－1，0，1与题意相符；对于选项D，y＝是奇函数，但不存在零点，与题意不符．故选C.

2．已知函数f(x)＝方程f(x)·[f(x)－b]＝0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选D　由f(x)[f(x)－b]＝0，得f(x)＝0或f(x)＝b，作出f(x)的图象如图．

由图象知，f(x)＝0有2个根，f(x)＝b(0<b<1)有3个根，因此方程共有5个根，故选D.

3．函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)  B．(－1，0)

C．(0，1)  D．(1，2)

解析：选A　f(－2)＝－5，f(－1)＝1，f(0)＝1，f(1)＝1，f(2)＝7.因为f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)>0，f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，所以函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(－2，－1)，故选A.

4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上的零点(　　)

A．至多有一个  B．有一个或两个

C．有且仅有一个  D．一个也没有

解析：选C　若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故选C.

5．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>1  B．a<1

C．a<－1或a>1  D．－1<a<1

解析：选C　函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则f(－1)·f(1)<0，即(1－a)·(1＋a)<0，解得a<－1或a>1，故选C.

6．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．

解析：作出函数f(x)的图象，由图象知，当0<k≤1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实数根，所以0<k≤1.

答案：(0，1]

7．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，

∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，

∴g(x)的零点为1和－.

答案：1和－

8．函数f(x)＝|x－2|－ln x的零点的个数为________．

解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)在(0，＋∞)内的零点就是方程|x－2|－ln x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程|x－2|－ln x＝0有2个根，即对应函数有2个零点．

答案：2

9．已知函数f(x)＝2x－x2，方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？

解：有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，

f(0)＝20－02＝1>0，

且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．

10．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.

(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；

(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．

解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．

需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.

故b的取值范围为(4，＋∞)．

[B级　综合运用]

11．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法中错误的有(　　)

A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

C．若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

D．若f(a)f(b)<0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

解析：选ABD　对函数f(x)＝x2，f(－1)f(1)>0，但f(0)＝0，故A错误；对于函数f(x)＝x3－x，f(－2)<0，f(2)>0，但f(0)＝f(－1)＝f(1)＝0，故B错误；函数f(x)＝x2满足C，故C正确；由函数零点存在定理知D错误．

12．(2021·浙江嘉兴一中高一月考)已知函数f(x)＝|log2x|，g(x)＝则方程|f(x)－g(x)|＝1的实数根的个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选C　由|f(x)－g(x)|＝1得，f(x)－g(x)＝±1，∴f(x)＝g(x)＋1或f(x)＝g(x)－1.在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)＋1的图象，如图所示．

由图象知，f(x)＝g(x)＋1有3个不同的实数根．

在同一坐标系作出y＝f(x)与y＝g(x)－1的图象，如图所示．

由图象知，f(x)＝g(x)－1有一个实数根．

因此，|f(x)－g(x)|＝1的实数根的个数为4，故选C.

13．函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点的个数为3，则a＝________.

解析：令函数f(x)＝|x2－4x|－a＝0，可得|x2－4x|＝a.由于函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y＝|x2－4x|的图象和直线y＝a有3个交点，如图所示：

故a＝4.

答案：4

14．已知函数f(x)＝|x2－4|＋x2＋ax，a∈R.

(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；

(2)当a＝4时，求函数f(x)的零点；

(3)若方程f(x)＝0在(0，4)上有两个不同的实数根x1，x2(x1<x2)，求实数a的取值范围．

解：(1)由f(－x)＝f(x)得|x2－4|＋x2－ax＝|x2－4|＋x2＋ax，即2ax＝0对任意实数x都成立，∴a＝0.

(2)当x∈[－2，2]时，f(x)＝4＋4x，令4＋4x＝0，解得x＝－1；

当x>2或x<－2时，f(x)＝2x2＋4x－4，

令2x2＋4x－4＝0，解得x＝－1±，∴x＝－1－.

综上，函数f(x)的零点为－1和－1－.

(3)当|x|≤2时，f(x)＝ax＋4，方程ax＋4＝0在(0，4)上最多有一个实数根；

当|x|>2时，f(x)＝2x2＋ax－4，可得方程2x2＋ax－4＝0，

若x1，x2均为该方程的两个根，则x1·x2＝－2，不合题意．

故x1∈(0，2]，x2∈(2，4)．

由ax1＋4＝0得a＝－，∴a≤－2；

由2x＋ax2－4＝0得a＝－2x2，∴－7<a<－2.

综上所述，a的取值范围为－7<a<－2.

[C级　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．

(1)若函数的两个零点分别是－1和－3，求k的值；

(2)若函数的两个零点分别是α和β，求α2＋β2的取值范围．

解：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，

∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数解．

则解得k＝－2.

(2)由题意知α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数解，∴

则

∴α2＋β2在区间内的取值范围为.故α2＋β2的取值范围为.