湘教版（2019）必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质课后复习题

课时跟踪检测(四十五)　正切函数的图象与性质

[A级　基础巩固]

1．已知x∈[0，2π]，则函数y＝＋的定义域为(　　)

A.　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选C　由题意知∴函数的定义域为，故选C.

2．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是(　　)

A．x＝  B．y＝

C．x＝  D．y＝

解析：选C　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．令k＝0，得x＝.

3．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A.，k∈Z

B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

解析：选C　由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

4．函数y＝tan在一个周期内的图象是下图中的(　　)

解析：选A　由函数周期T＝＝2π，排除选项B、D；将x＝代入函数式中，得tan＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为.故选A.

5．函数y＝tan(cos x)的值域是(　　)

A.  B．

C．[－tan 1，tan 1]  D．以上均不对

解析：选C　∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1，1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x≤tan 1.

即－tan 1≤tan x≤tan 1.

6．比较大小：tan ________tan .

解析：tan ＝tan ，且0<<<，

又y＝tan x在上单调递增，

所以tan <tan ，即tan <tan .

答案：<

7．函数y＝tan的单调递增区间是___________________________________．

解析：令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，解得－<x<＋，k∈Z.

答案：，k∈Z

8．若tan x＞tan且x在第三象限，则x的取值范围是________．

解析：∵tan x＞tan＝tan，又x为第三象限角，

∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

9．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝xtan 2x＋x4.

解：(1)由得

x≠kπ＋且x≠kπ＋(k∈Z)．

即定义域为，

不关于原点对称，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)函数定义域为，关于原点对称．

又f(－x)＝(－x)tan[2(－x)]＋(－x)4＝xtan 2x＋x4＝f(x)，所以函数是偶函数．

10．设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的最小正周期，图象的对称中心；

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．

解：(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π.

令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的图象的对称中心是(k∈Z)．

(2)令－＝0，得x＝；令－＝，得x＝；令－＝－，得x＝－.

∴函数f(x)＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图，如图所示．

[C级　拓展探究]

11．(多选)函数y＝tan的性质有(　　)

A．在上单调递增

B．为奇函数

C．以π为最小正周期

D．定义域为

解析：选AB　令x∈，则∈，所以y＝tan 在上单调递增，所以A正确；

tan＝－tan ，故y＝tan 为奇函数，所以B正确；

T＝＝2π，所以C不正确；

由≠＋kπ，k∈Z，得函数的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以D不正确．

12．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)

A．①②③④  B．①③④②

C．③②④①  D．①②④③

解析：选D　y＝tan(－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③.故选D.

13．若函数f(x)＝tan x在区间上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：∵>－，∴a>0，∴>0，－<0，

∴解得0<a≤1，

答案：(0，1]

14．在锐角△ABC中，求证：

(1)sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C；

(2)tan A·tan B·tan C>1.

证明：(1)在锐角△ABC中，必有A，B∈，且A＋B>，∴0<－B<A<，

∴cos>cos A，即sin B>cos A，

同理可证sin C>cos B，sin A>cos C，

∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.

(2)在锐角△ABC中，必有A，B∈，且A＋B>，

∴0<－B<A<，

∴tan<tan A，

又∵tan＝＝＝，

即<tan A.

∴tan A·tan B>1，

同理可证tan B·tan C>1，tan C·tan A>1，

∴(tan A·tan B·tan C)2>1，

又tan A>0，tan B>0，tan C>0，

∴tan A·tan B·tan C>1.

[C级　拓展探究]

15．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，

即＝.

因为ω>0，所以ω＝2，

从而f(x)＝tan(2x＋φ)．

因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，

所以2×＋φ＝，k∈Z，

即φ＝＋，k∈Z.

因为0<φ<，取k＝0，所以φ＝，

故f(x)＝tan.

(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，

得－＋kπ<2x<kπ＋，k∈Z，

即－＋<x<＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．

(3)由(1)知，f(x)＝tan.

由－1≤tan≤，

得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，

即－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以不等式－1≤f(x)≤的解集为