第十一讲 函数与方程-【暑假辅导班】2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第三讲 基本不等式

【基础知识】

1.函数的零点

(1)函数零点的概念

如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.

(2)函数零点与方程根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.

2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

【考点剖析】

考点一　函数零点所在区间的判定

【例1】 (1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为(　　)

A.(0，1)   B.(1，2)   C.(2，3)   D.(3，4)

(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.

【解析】　(1)因为y＝ln x与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数，

所以f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上是增函数，

又f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，

根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.

(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.

因为f(1)＝1－＝－1<0，

f(2)＝8－＝7>0，

所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).

规律方法　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

考点二　确定函数零点的个数

【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A.3   B.2   C.1   D.0

(2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有(　　)

A.3个   B.2个   C.1个   D.0个

【解析】　(1)法一　　由f(x)＝0得或

解得x＝－2或x＝e.

因此函数f(x)共有2个零点.

法二　函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.

图1

 (2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2.

在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图2).

图2

由于两函数图象有2个交点.

所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点.

规律方法　函数零点个数的判断方法：

(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；

(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.

考点三　函数零点的应用

【例3】 (1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)    B.(－∞，1)

C.(－1，0)    D.[－1，0)

(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A.[－1，0)    B.[0，＋∞)

C.[－1，＋∞)    D.[1，＋∞)

【解析】　　(1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.

因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.

(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.

规律方法　1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.

2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

【真题演练】

1．（2021·安徽淮北市·高三二模（文））若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：原不等式可化简为，设，，

由得，，易知函数在单调递减，在单调递增，

作出的图象如下图所示，

而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有两个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），又，，

∴，，

∴，

∴．

故选：C．

2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数在上有唯一零点，若，，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【详解】

因，，则，

时，恒有，在上单调递增，，在上无零点，

时，，而在上单调递增，从而在上单调递减，在上单调递增，

，

因函数在上有唯一零点，则，即，

令，则，在单调递减，而，

于是得的零点，所以.

3．（2021·湖南高三其他模拟）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（    ）

A．函数不是偶函数

B．函数的最小正周期为4

C．函数在上有3个零点

D．

【答案】AC

【详解】

对于A：因为是奇函数，图象关于（0,0）对称，

所以图象关于（-1,0）对称，

因为为偶函数，图象关于x=0对称，

所以图象关于x=1对称，

又因为时，，作出图象，如下图所示

所以函数图象不关于y轴对称，即不是偶函数，故A正确；

对于B：因为是奇函数，

所以，即，

因为为偶函数，

所以，即，

所以，即，

所以，即，

所以函数的最小正周期为8，故B错误；

对于C：由图象可得：在上图象与x轴有3个交点，所以函数在上有3个零点，故C正确；

对于D：由题意得：，，

所以，故D错误.

4．（2021·全国高三其他模拟（理））方程实数根的个数为___________.

【答案】2

【详解】

因为，所以，即，

因此，解得（舍）或，又因为，

所以或，所以方程实数根的个数为2个，

故答案为：2.

5．（2021·北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：

①若，则有两个零点；

②，使得有一个零点；

③，使得有三个零点；

④，使得有三个零点．

以上正确结论得序号是_______．

【答案】①②④

【详解】

对于①，当时，由，可得或，①正确；

对于②，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，存在，使得只有一个零点，②正确；

对于③，当直线过点时，，解得，

所以，当时，直线与曲线有两个交点，

若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，

直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，

因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；

对于④，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，当时，函数有三个零点，④正确.

 【过关检测】

1．函数在上的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

当时，由.

若，可得、、；

若，可得、、、.

综上所述，函数在上的零点个数为.

2．已知函数满足对任意都成立，且，若方程在区间上有6个根，则实数的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由函数满足对任意都成立，

即，所以函数的周期，

在区间上有6个根，

即在区间上有6个根，

作出函数在区间上图象，如图：

由图象可知，当的图象与的图象在区间上有6个根，-1一定是方程的根，则，故实数的范围是.

故选：B

3．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）

【答案】B

【详解】

因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，

所以，即，解得，

所以实数a的取值范围是.

4．已知函数y=f（x），若对其定义域内任意x1和x2均有，则称函数为“凸函数”；若均有，则称f（x）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于A，因为，，所以不符合“凹函数”的定义；

对于B，任意，，，

因为，

所以，符合“凹函数”的定义；

对于C，因为，，所以不符合“凹函数”的定义；

对于D，因为，所以不符合“凹函数”的定义；

5．是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（    ）

A．的值域为

B．当时，

C．图象的对称轴为直线

D．方程恰有5个实数解

【答案】ABD

【详解】

根据周期性，画出的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；

根据周期为，当时，，故B正确.

故选：ABD.

6．已知函数(即，)则（    ）

A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数

C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解

【答案】ABD

【详解】

：当时，，即，

所以，所以是偶函数，故正确；

：当时，，的对称轴为，开口向上，

此时在上是增函数，

当时，，的对称轴为，开口向上，

此时在上是增函数，

综上，在上是增函数，故正确；

：当时，，

当时，，

因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；

：令，

当时，，有2个解，故正确.

7．已知函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_________.

【答案】

【详解】

令，则由函数的定义域知，解得，且为增函数，

所以函数有两个不同的零点转化为关于t的方程在区间上有两个不等实根，

即曲线（个单位圆）与经过定点的直线有两个不同交点.

如图，设过点P的直线与曲线相切于点A，连接OA.

设切线的方程为，即.

由，得，解得（正值已舍去）.

又易得直线的斜率是，

故，解得，

即实数k的取值范围是.

故答案为：

8．已知函数则函数的所有零点之和为___________.

【答案】

【详解】

解：时，，，由，可得或，或；

时，，，由，可得或，或；

函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为

9．已知，则满足的的取值范围为_______．

【答案】

【详解】

根据题意，，

则为奇函数且在R上为增函数，

则，

解可得，即的取值范围为；

故答案为．

10．已知函数的最小正周期为．

（I）求函数的解析式；

（II）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的零点个数．

【详解】

（I）由题意得：．

∵的最小正周期，故，

∴．

（II）由（I）得：，．

求函数在上的零点个数，即求方程的根的个数．

和的图象，如下图示，

∴在上单调递减，在上单调递增，且，又，

∴由图象知：函数在上有个零点．