第四讲 函数的概念-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第四讲 函数的概念

【基础知识】

1.函数的概念

设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2.函数的定义域、值域

(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

【考点剖析】

考点一　求函数的定义域

【典例1-1】（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由题意得解得或.

所以原函数的定义域为.

故选：C.

【典例1-2】（2020·福建福州市·高三月考）函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

函数有意义，则必有，解得且．

函数的定义域为．

故选：C

【跟踪训练1】（2021·广东高三其他模拟）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

函数的定义域为，即，

函数的定义域为，则，

所以，

故选：C.

【跟踪训练2】（2021·全国高三其他模拟）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：由题意可得，解得．

因为有定义，所以当时，由，得；

当时，由，得；

当时，，恒成立．

综上，实数的取值范围是．

故选：D．

【跟踪训练3】（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）函数的图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

∵令g(x)=，x>0时，x2是递增的，cosx在(0,)上递减，

则有g(x)在(0,)上单调递增，而，

所以存在使得，

中，排除C、D，

∵时，排除B，所以选A.

考点二　求函数的解析式

【典例2-1】（2021·贵州贵阳市·高三期末（文））函数可以表示为奇函数与偶函数的和，则等于（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【详解】

是奇函数，，

是偶函数，，

由题可得①，

则，即②，

由①+②可得，

，.

故选：D.

【典例2-2】（2020·河南高三月考（理））已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

令，则，，

因为，

所以，，

即当时，，

取，则，，

当时，，此时无解；

当时，，此时无解；

当时，，

若，则，解得，

故即，解得，实数的取值范围为，

故选：B.

【跟踪训练1】（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中高三期中（理））已知，则的值为（　　）

A．15 B．7 C．31 D．17

【答案】C

【详解】

令，则，所以即，

所以.

故选：C．

【跟踪训练2】（2020·重庆巴蜀中学高三其他模拟）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（    ）．

A．         B．

C．           D．

【答案】C

【详解】

由题意得三次函数过两点，，所以可设

又，所以

【跟踪训练3】（2020·全国高三专题练习）已知，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

设，则，，

所以，

即.

考点三　分段函数

【典例3-1】（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因函数在R上单调递增，

则有在上递增，在上也递增，

根据增函数图象特征知，点不能在点上方，

于是得 ，解得，

所以实数a的取值范围是.

故选：A

【典例3-2】（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知函数，则（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】D

【详解】

由题意．

故选：D．

【跟踪训练1】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，所以且，

当时，在时单调递增，所以；

又在时单调递增，且，

因为方程有两解，所以，所以；

当时，在时单调递减，；

又在时单调递增，，

因为方程要有两解，所以，此时不成立.

综上可得，

故选：B.

【跟踪训练2】（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数，且，则（    ）

A．﹣16 B．16 C．26 D．27

【答案】C

【详解】

解：若f(m)=3m﹣1﹣1=﹣2，

则3m﹣1=﹣1，方程无解，

故f(m)=﹣1﹣log3(m+5)=﹣2，

可得log3(m+5)=1，

解得m=﹣2，

所以f(6+m)=f（4）=34﹣1﹣1=26.

故选：C.

【跟踪训练3】（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．无数

【答案】C

【详解】

作出f（x）的函数图象如图所示：

表示点和点所在直线的斜率，即曲线上只有一个点且是整数和点所在直线的斜率大于零.

如图所示，动点在直线上运动.

因为,

当时，只有点这个点满足，

当时，只有点这个点满足.

所以.

所以满足条件的整数有4个.

【真题演练】

1．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

2．（2021·全国高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

3．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

4．（2021·全国高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．

①；②当时，；③是奇函数．

【答案】（答案不唯一，均满足）

【详解】

取，则，满足①，

，时有，满足②，

的定义域为，

又，故是奇函数，满足③.

故答案为：（答案不唯一，均满足）

5．（2021·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.

【答案】2

【详解】

，故，

故答案为：2.

 【过关检测】

1．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，，所以.

故选：A.

2．已知，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则（    ）

A．5 B．6 C．3 D．2

【答案】C

【详解】

由题意，，所以．

故选：C．

3．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

根据题意可得，所以.

故选：C.

4．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【详解】

对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；

对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；

对于C中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以两函数是同一函数；

对于D中，函数与，两函数的对应法则不同，所以两函数不是同一函数.

故选：C.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

令，

，

则.

故选：C.

6．已知，则（    ）

A． B． C．9 D．

【答案】C

【详解】

由题意，函数，可得，

所以.

故选：C.

7．函数的图象是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

依题意的定义域为，由此排除CD选项.

当时，，由此排除A选项.

故选：B

8．已知，则的值为（    ）

A． B． C．-1 D．1

【答案】D

【详解】

因为，，

所以.

9．若，，则的值为（    ）

A．1 B．3 C． D．6

【答案】B

【详解】

由题设，令，解得：，

，

，

故选：B.

10．已知函数，若，，则的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

根据图象有两个交点，，，

，，

时，，令，，故，所以；

时，，令，，故，根据题意，所以

所以，．

11．设函数为偶函数，且当时，当时，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【详解】

为偶函数，知：，而

∴

12．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，曲线上存在点，使得，所以．记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以

记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，，因为，所以，所以的最大值为

13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，，

所以是上的奇函数.

当时，，

所以当时，，

从而的值域为.

故选：B

14．已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由，得，于是

.

又当时，，所以，

所以.

故选：D.

15．定义函数，若函数，，且对任意的，都有成立，函数的图象与自左向右有四个交点、、、，则的范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由可得关于对称，因为，则关于对称，

所以关于对称，且，得，．则图象如下图所示，

则，，，所以，

令，则，

令，则，

由得；由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以．