专题31 幂函数的性质-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

幂函数的性质

一．选择题（共14小题）

1．（2019秋•南平期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为　　

A． B．1 C．2 D．1或2

【解析】解：幂函数的图象关于轴对称，

且在上是减函数，

，

解得．

故选：．

2．（2019秋•太和县校级期末）幂函数在为减函数，则的值为　　

A．1或3 B．1 C．3 D．2

【解析】解：为幂函数

，

解得或．

由当时为减函数，

则，

解得．

，

故选：．

3．（2019•大武口区校级三模）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由点在幂函数的图象上，得，即．

，单调递增，

又，，

．

故选：．

4．（2020秋•济南期中）设，则，，的大小顺序是　　

A． B． C． D．

【解析】解：，

，

；

且，函数在上是单调增函数，

所以，

所以；

综上知，．

故选：．

5．（2019秋•黄山期末）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为　　

A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3

【解析】解：当时，函数的定义域为，不满足定义域为；

当时，函数的定义域为且为奇函数，满足要求；

当函数的定义域为，不满足定义域为；

当时，函数的定义域为且为奇函数，满足要求；

故选：．

6．（2019秋•琼海校级月考）若函数是幂函数且为奇函数，则的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．2或4

【解析】解：函数为幂函数，

，

或，

当时，是奇函数，满足题意，

当时，是奇函数，满足题意；

或4，

故选：．

7．（2020春•工农区校级期末）已知幂函数在上为增函数，则值为　　

A．4 B．3 C． D．或4

【解析】解：幂函数中，

令，解得或；

当时，在上为增函数，

当时，在上为减函数，不合题意；

综上知值为4．

故选：．

8．（2019•陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解析】解：点在幂函数图象上，

（2），解得，，

设，

，

，

，

，，的大小关系是．

故选：．

9．（2020春•清江浦区校级期末）已知，，，，若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则的值为　　

A． B． C． D．2

【解析】解：幂函数为奇函数，且在上单调递减，

为奇数且，

，

故选：．

10．（2020春•兴庆区校级期末）已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间是　　

A． B． C． D．

【解析】解：设幂函数的解析式为，图象过点，即，

可得，

可知幂函数是偶函数，且，在单调递增；在单调递减；

故选：．

11．（2020秋•南昌县校级月考）幂函数为单调函数，则实数的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．2或4

【解析】解：幂函数中，

令，得，

解得或．

当时，，在定义域内的每个区间上是单调函数，不满足题意；

当时，，在定义域上是单调增函数，满足题意．

故选：．

12．（2020秋•贵池区校级期中）已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解析】解：函数，其中，

函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，

，

解得，

．

故选：．

13．（2020秋•湖北期中）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值是　　

A． B． C．或 D．

【解析】解：由题意，

或

当时，幂函数为，图象不过原点，且关于轴对称，不合题意；

当时，幂函数为，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；

故选：．

14．（2019•沈阳校级模拟）已知幂函数的图象经过点，，，，，是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：

①；

②；

③；

④．

其中正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．②④ D．②③

【解析】解：依题意，设，则有，即，所以，，于是．

由于函数在定义域，内单调递增，

所以当时，必有，从而有，故①错误，②正确；

又因为，分别表示直线、的斜率，由于函数的增长速度越来越慢，

结合函数图象，容易得出直线的斜率大于直线的斜率，故，所以③正确，

故选：．

二．填空题（共17小题）

15．（2019•武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则是　或　．

【解析】解：幂函数的图象不过原点，

，

解得或．

故答案为：或．

16．（2019•上海模拟）已知，幂函数为偶函数，且在上是增函数，则（2）的值为　16　．

【解析】解：幂函数为偶函数，且在上是增函数，

则指数是偶数且大于0，

，

因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得非整数，

，，

（2）．

17．（2019春•烟台期末）幂函数在上为增函数，则　2　．

【解析】解：函数是幂函数

可得

解得或2，

当时，函数为在区间上单调递减，不满足题意；

当时，函数为在上单调递增，满足条件．

故答案为：2．

18．（2019秋•宛城区校级月考）已知幂函数为奇函数，则不等式的解集为　　．

【解析】解：幂函数为奇函数，

且为奇数；解得；

，且在上为增函数；

由不等式，；

不等式；

不等式；．

所以不等式的解集为．

故答案为：．

19．（2019秋•和平区校级期中）函数是幂函数且在上单调递减，则实数的值为　2　．

【解析】解：函数是幂函数，

，

解得或；

当时，，

函数在上单调递减，满足题意；

当时，，

函数不满足题意；

综上，实数的值为2．

故答案为：2．

20．（2019•杨浦区校级三模）幂函数的图象经过点，则它的单调减区间为　　

【解析】解：幂函数的图象经过点，

，解得，

幂函数，它的单调减区间为．

故答案为：．

21．（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数为偶函数，且在上是减函数，则　3　．

【解析】解：幂函数，在上是减函数，

，且，

，，

又，，1，2，

又幂函数为偶函数，，

，

故答案为：3．

22．（2019秋•沙依巴克区校级期中）已知函数，且，则的取值范围是　　．

【解析】解：函数是增函数，且，

解得

故答案为

23．（2019秋•海淀区校级期末）函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值是　3　．

【解析】解：由函数是幂函数，

得，即，

解得或；

又为偶函数，即为偶数，

所以实数的值是3．

故答案为：3．

24．（2019秋•小店区校级月考）已知，则的取值范围　．　．

【解析】解：幂函数当时为偶函数，

在上是减函数，在上是增函数，

所以由，有，

解得且，

故答案为：．

25．（2019秋•衡阳县期末）已知幂函数的图象过点，则　　．

【解析】解：，

解得，

故答案为：

26．（2019秋•徐汇区校级期末）已知幂函数是上的增函数，则的值为　3　．

【解析】解：函数是幂函数，则，

即，

解得或；

当时，不是上的增函数，不满足题意；

当时，是上的增函数，满足题意．

则的值为3．

故答案为：3．

27．（2019•福田区校级一模）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是　　．

【解析】解：，则，

由，；

则满足不等式的实数的取值范围是，

故答案为：．

28．（2019春•如皋市期末）已知幂函数的图象过点，则的单调减区间为　　．

【解析】解：设幂函数为常数），

图象过点，，解得．

．

则的单调减区间为．

故答案为：．

29．（2019秋•武昌区校级期中）已知幂函数为偶函数，且满足（3）（5），则　2　．

【解析】解：幂函数为偶函数，，

求得，且，3，5，

满足（3）（5），即，故为正偶数，．

则，

故答案为：2．

30．（2020秋•红岗区校级期中）幂函数在上为减函数，则的值为　1　；

【解析】解：函数是幂函数，

，即，解得或．

又幂函数在上为减函数，

，即，

故．

故答案为：1．

31．（2019秋•沙坪坝区校级期末）幂函数在单调递减，则实数的值为　1　．

【解析】解：幂函数在单调递减，

，

解得．

实数的值为1．

故答案为：1．

三．解答题（共7小题）

32．（2019秋•舒城县期末）已知幂函数在上单调递增，函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当，时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）依题意得：，

解得或

当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，，单调递增，

，，，，

，

解得，

故实数的取值范围为，

33．（2019秋•襄阳期末）已知函数为幂函数，且为奇函数．

（1）求的值；

（2）求函数在，的值域．

【解析】解：（1）函数为幂函数，

，

或，

当时，是偶函数，不满足题意，

当时，是奇函数，满足题意；

，

（2），

，

令，解得，

当时，即时，函数为减函数，

函数在，为减函数，

即

故函数的值域为，

34．（2019秋•杨浦区校级期末）已知幂函数是奇函数，且（1）（2）．

（1）求的值，并确定的解析式；

（2）求，，的值域．

【解析】解：（1）幂函数是奇函数，且（1）（2）．

是正奇数，且，

，．

（2）

，

，，

当时，取最小值，

当时，取最大值11．

，的值域为，．

35．（2019秋•龙华区期末）已知幂函数在上单调递增，又函数．

（1）求实数的值，并说明函数的单调性；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）因为是幂函数，所以，解得或，（2分）

又因为在上单调递增，所以，即，

即，则，（4分）

因为与均在上单调递增，

所以函数在上单调递增．（6分）

（2）因为，

所以是奇函数，（8分）

所以不等式可变为，（9分）

由（1）知在上单调递增，所以，

解得．故实数的取值范围是，．（12分）

36．（2019秋•南关区校级期末）已知幂函数的图象经过点．

（1）求幂函数的解析式；

（2）试求满足的实数的取值范围．

【解析】解：（1）幂函数的图象经过点，

，

解得，

幂函数；

（2）由（1）知在定义域，上单调递增，

则不等式可化为

，

解得，

实数的取值范围是，．

37．（2019秋•红岗区校级期末）已知幂函数，且在上为增函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围．

【解析】解：（1），即，则，解得或，

当时，，

当时，，

在上为增函数，；

（2）由（1）得定义域为，且在上为增函数，解得：，

所以的取值范围为：．

38．（2020秋•大武口区校级月考）已知幂函数．

（1）求的解析式；

（2）若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间．

若图象经过坐标原点，解不等式．

【解析】解：（1）幂函数中，

令，得，

解得或；

当时，；

当时，；

（2）若图象不经过坐标原点，则；

所以函数的单调减区间是和．

若图象经过坐标原点，则；

不等式即为，

化简得，

解得，

所以不等式的解集为．