专题32 函数的零点-2022新高考二轮复习高中数学技巧之函数专题汇编

函数的零点

一．选择题（共11小题）

1．（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：对于，定义域为，所以是非奇非偶的函数；

对于，是偶函数，但是不存在零点；

对于，，是奇函数；

对于，，是偶函数并且有无数个零点；

故选：．

2．（2019•河南模拟）已知实数，满足，，则函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

【解析】解：实数，满足，，

，，

函数，

单调递增，

，

根据函数的零点判定定理得出函数的零点所在的区间，

故选：．

3．（2019•龙凤区校级模拟）已知函数，若存在，使得，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解析】解：①当时，．故当时，．

②当时，，故当时，．

若存在，使得，则，

如图所示：

显然当时，取得最小值，

此时，，，的最小值为．

显然，当趋于1时，趋于最大，

此时，趋于，趋于，趋于．

故的取值范围为，

故选：．

4．（2019•榆林一模）对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为　　

A． B． C．， D．，

【解析】解：函数的零点为．

设的零点为，

若函数与互为“零点关联函数”，

根据零点关联函数，则，

，如图．

由于必过点，

故要使其零点在区间，上，则

（2）或，

解得，

故选：．

5．（2019•广西校级学业考试）若函数在区间，上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是　　

A．若（a）（b），不存在实数使得（c） 

B．若（a）（b），存在且只存在一个实数使得（c） 

C．若（a）（b），有可能存在实数使得（c） 

D．若（a）（b），有可能不存在实数使得（c）

【解析】解：由零点存在性定理可知选项不正确；

对于选项，可通过反例“在区间，上满足（2），但其存在三个解，0，”推翻；

同时选项可通过反例“在区间，上满足（2），但其存在两个解，”推翻；

故选：．

6．（2019•安徽三模）已知，，，，若函数不存在零点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：因函数不存在零点，

当时，考察 的零点，因它不存在零点，说明没有实数根，

△，

即．

那就排除答案中，，选项，从而得出正确选项．

故选：．

7．（2020•云南学业考试）函数的零点所在的区间为　　

A． B． C． D．

【解析】解：（1），

（2），

（3），

（4），

（2）（3），

的所在区间为．

故选：．

8．（2010•浙江）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：在同一坐标系中画出与的图象

如下图示：

由图可知与的图象在区间，上无交点，

由图可知函数在区间，上没有零点

故选：．

9．（2019秋•濮阳期末）方程的解所在的区间为　　

A． B． C． D．

【解析】解：令，由于，（1），

（1），根据函数零点的判定定理可得的零点所在的区间为，

故方程的解所在的区间为，

故选：．

10．（2019春•常德期末）方程的解所在区间为　　

A． B． C． D．

【解析】解：构建函数，函数的定义域为

，

函数在上为单调增函数

（2），（3）

方程的解所在区间是

故选：．

11．（2019春•楚雄州期末）已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意可知：函数在区间内有唯一零点，

（2）（4），

，

，

则的取值范围．

故选：．

二．填空题（共15小题）

12．（2015•湖南）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：由函数有两个零点，可得有两个零点，

从而可得函数函数的图象有两个交点，

结合函数的图象可得，时符合条件，

故答案为：

13．（2015•北京）设函数．

①若，则的最小值为　　；

②若恰有2个零点，则实数的取值范围是　　．

【解析】解：①当时，，

当时，为增函数，，

当时，，

当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，

故当时，，

②设，

若在时，与轴有一个交点，

所以，并且当时，（1），所以，

而函数有一个交点，所以，且，

所以，

若函数在时，与轴没有交点，

则函数有两个交点，

当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），

当（1）时，即时，的两个交点满足，，都是满足题意的，

综上所述的取值范围是，或．

14．（2019•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为　3　．

【解析】解：，

，，

，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

，，

，或，或，

故零点的个数为3，

故答案为：3

15．（2015•湖南）已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是　或　．

【解析】解：有两个零点，

有两个零点，即与的图象有两个交点，

由可得，或

①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意

②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意

③当时，函数单调递增，故不符合题意

④时，单调递增，故不符合题意

⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点

综上可得，或

故答案为：或

16．（2019秋•锡山区校级期末）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是　，　．

【解析】解：作出函数的图象如图，由图象可知，则，

即，

要使函数的图象与轴有公共点，

则，解得．

故答案为：，．

17．（2019秋•石河子校级期末）已知函数，则函数的零点是　0，2　．

【解析】解：函数，

时，或，

函数同比较是函数的图象向右平移一个单位，

的零点是，，

故答案为：0，2

18．（2019秋•镜湖区校级期末）已知函数有零点，则的取值范围是　，　．

【解析】解：，可得的根为

当时，，可得函数在区间上为减函数；

当时，，可得函数在区间上为增函数，

函数在处取得极小值，

并且这个极小值也是函数的最小值，

由题设知函数的最小值要小于或等于零，即，可得，

故答案为：，．

19．（2019•防城港一模）已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为　　．

【解析】解：函数有且只有一个零点，

函数与的图象有且只有一个交点，

作函数与的图象如下，

结合图象知，当时成立，

当时，相切时成立，

故；

故；

故；

综上所述，实数的取值范围为．

故答案为：．

20．（2020春•集宁区校级期末）设函数，则满足的的值是　或16　．

【解析】解：根据题意，函数，

若，

当时，，解可得；

当时，，解可得；

综合可得：或16；

故答案为：或16

21．（2020春•天山区校级月考）已知函数，若，则（a）　　．

【解析】解：若，即时，．解得，不合题意．

当，即时，，即，

所以（a）．

故答案为：．

22．（2019秋•定海区校级期中）若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是　或　．

【解析】解：关于的方程有4个不相等的实数根

等价于函数与的图象有4个不同的公共点，

而函数为偶函数，轴右边的图象为抛物线的一部分，

作图如下：

由图象可知：当或时，两函数的图象有4个不同的公共点，

故答案为：或

23．（2019秋•天山区校级期末）函数的零点是　1，　．

【解析】解：由可得或．

故答案为：1或

24．（2019秋•红塔区校级期末）若关于的方程有两个根，则的取值范围是　　．

【解析】解：设，的方程有两个根，

即，

根据题意，与，有两个不同的交点，

故，

25．（2019春•葫芦岛期中）已知关于的方程在，上有两个不同的实数根，则的取值范围是　　．

【解析】解：，

即，

，即，

，，，

由三角函数图象可知，要使方程有两个不同的实数根

则，即，

的取值范围是．

故答案为：．

26．（2019•常州校级模拟）是实数，函数．如果函数在区间，上有零点，则的取值范围是　，，　．

【解析】解：时，不符合题意，所以，

在，上有解，在，上有解

在，上有解，

问题转化为求函数在，上的值域．

设，，，则，，，

，

设，，，时，，此函数单调递减，

，时，，此函数单调递增，

的取值范围是，，

，，

或．

故答案为，，．

三．解答题（共9小题）

27．（2019•长沙校级模拟）已知二次函数．

（1）若函数在区间，上存在零点，求实数的取值范围；

（2）问是否存在常数，当，时，的值域为区间，且的长度为．（注：区间，的长度为．

【解析】解：（1）二次函数的对称轴是，

函数在区间，上单调递减，

则函数在区间，上存在零点须满足（1）．

即，解得．

（2）假设存在常数满足题意，分三种情况求解：

①当时，即时，

当时，取到最小值（8）；当时，取到最大值，

的值域为：（8），，即，．

区间长度为．

，，经检验不合题意，舍去，故．

②当时，即时，

当时，取到最小值（8）；当时，取到最大值，

的值域为：（8），，即，

区间长度为，．经检验不合题意，舍去．

③当时，函数在，上单调递增，

的值域为：，，即，．

区间长度为，

，或．经检验或满足题意．

综上知，存在常数或，

当，时，的值域为区间，且的长度为．

28．（2019秋•崂山区校级期末）已知奇函数的定义域为，．

（1）求实数，的值；

（2）若，，方程有解，求的取值范围．

【解析】解：（1）由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即，可得：，①，

由在定义域内，又是奇函数，所以，

所以可得：，解得，

将代入①可得：，

所以；

（2）由（1）得：，若，，即，，

在，单调递增，

所以，，

设，

所以方程有解可得，有解，

令，，开口向上的抛物线，对称轴，

函数先减后增，且离对称轴较远，

所以，最小且为：，

时，最大，且为，

综上所述的取值范围为：，．

29．（2019秋•杨浦区校级期末）已知函数的定义域为，当时，．

（1）求函数的零点；

（2）若为偶函数，当时，解不等式．

【解析】解：（1）求的零点，即是求方程的解，

由题意可得：，整理可得：，，所以解得，

所以的零点为：1；

（2）若为偶函数，设，则，由题意可得，

由于为偶函数，所以，

所以，，

由题意可得：，．

整理可得：，，

解得：，

所以不等式的解集为：．

30．（2019秋•长治校级期中）对于定义域为，的函数同时满足：（1）对于任意，，；（2）（1）；（3）若，，则．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）问函数在，上是否有零点？

【解析】解：（Ⅰ）由条件（3）知，令，，

得．

即，

由条件（1），

；

（Ⅱ）由条件（3）知，令，

则，

即．

，

，

，

即，

在，上递增，

的最大值为（1）．

若存在，使得（a），与的最大值1矛盾，

对任意的，都有，

恒有，

即，

在，上没有有零点．

31．（2020春•红桥区校级期中）已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在上最小值为

（1）求的解析式；

（2）当，，时，求函数的最小值（用表示）；

（3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围．

【解析】解：（1）设函数，

由对称轴为，函数在上最小值为

得，将代入得：，

故；

（2）的对称轴为，

时，在，递减，

，

时，在，递减，在，递增，

故，

时，在，递增，

故；

综上，；

（3）法一：若函数在上只有一个零点，

则和在上只有1个交点，

时，显然和在上没有交点，

时，时，，（3），

故只需（3）即可，

即，解得：，

当和相切时，联立，

得：，则△，

解得：，

将代入方程，得：，

解得：，

故时，函数和在只有1个交点，

即函数在上只有一个零点

综上：的取值范围是，．

法二：在上只有一个零点，

当△时，解得或（舍，

当△时，若要使得在上只有一个零点，

需满足（3），解得，

综上：的取值范围是，．

32．（2019秋•杨浦区校级期末）已知常数，函数

（1）若，解方程；

（2）设函数．若在，上单调递减，求的取值范围；

（3）设集合，的元素个数为，求关于的函数（a）在的表达式．

【解析】解：（1）时，所以方程为：，

所以可得：解得：或（舍，

所以方程的解为：．

（2）设函数．若在，上单调递减可得：

，且在，单调递减，

所以可得解得，即

所以的取值范围为：；

（3）显然不是方程的解．

当时，原方程可变为，

令，，则，

所以当时，方程无解；

当时，方程只有一解；

当时，方程有两解；

当时，方程只有一解．

故（a）．

33．（2019秋•宝山区校级期末）已知函数，其中为实常数；

（1）若，解关于的方程；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．

【解析】解：（1）由，即，可得，那么，

，

解得或．

（2）由，

当时，可得

此时是偶函数，

当时，

此时是奇函数，

当时，是非奇非偶函数．

34．（2020春•临高县校级期末）已知函数．

（Ⅰ）解方程；

（Ⅱ）求满足的的取值范围．

【解析】解：（Ⅰ）函数，

因为，所以当时，，解可得，

当时，，解可得，舍去；

故；

（Ⅱ）若，

当时，即恒成立，此时有，

当时，即，

变形可得，解得，

又由，则有；

综上，的取值范围为，．

35．（2019•浙江二模）已知数列的相邻两项，是关于的方程的两实根，且．

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式．

【解析】（Ⅰ）解：，是关于的方程的两实根，

，

，

，，．

（Ⅱ）证明：．

故数列是首项为，公比为的等比数列．

，

即．

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日期：2020/12/14 16:55:25；用户：王霞；邮箱：hngsgz045@xyh.com；学号：25355893